【教师版】第18讲 · 一次不等式
六年级奥数 · 教材第162–169页（第18讲全讲）
一、知识要点
ax>b 的三种解法
本质：两边除以a时必须看a的符号：a>0方向不变，a<0方向反转，a=0时退化为0·x>b，看b的正负。
适用：典例A1(2)：(2a+3)x>(2a+3)(a−1)，需对2a+3的正、零、负分类。水平测试A11：a(x−b²)>b(x+a²)整理成(a−b)x>ab(a+b)后同样分类。
- 去分母、去括号、移项、合并同类项，把不等式化为ax>b标准形。
- 判断a的符号：正、负、零分别处理。
- a<0时除以a不等号方向必须反转。
典型错误：两边除以字母a时不讨论符号，默认方向不变；a=0时忘记单独讨论。
由解集反求系数
本质：已知(mx+n)<0的解集为x>k，先由解集方向判断m<0（除以负数才变号），再由端点k=−n/m求比值。
适用：典例A2：(2a−b)x+3a−4b<0解集为x>4/9，推出2a−b<0且(4b−3a)/(2a−b)=4/9，得b=7/8 a。水平测试A12、B8同型。
- 把不等式整理成mx>c或mx<c标准形。
- 解集方向与不等号方向一致→m>0；相反→m<0。
- 解集端点=c/m，解出m与c的比值。
- 用比值化简目标不等式，再除以m（注意正负）得最终解集。
典型错误：只算比值不判断正负，导致目标不等式方向搞反。
整数离散性与夹逼
本质：若整数x>y，则x≥y+1；若整数x<y，则x≤y−1。利用这一点可把严格不等式变成带端点的不等式，从而夹逼出整数范围。
适用：典例B1：9x−a≥0与8x−b<0整数解仅1,2,3→0<a/9≤1且3<b/8≤4。典例B3：8/9<a/b<9/10→8b+1≤9a且10a+1≤9b。水平测试C7、C11同型。
- 整数解仅为1,2,3，说明下界a/9不能超过1（否则0也成解），且不能≤0（否则1不一定是解）。
- 上界b/8必须>3（让3成为解）且≤4（否则4也成解）。
- 化为0<a/9≤1和3<b/8≤4，直接定整数范围。
典型错误：端点是否取等号搞混：≤还是<；忘记整数解仅为三个意味着第0个和第4个都不能取到。
分式与连分数不等式
本质：分式不等式不能直接去分母（分母正负未知），要移项通分后化为分子分母同号；夹逼分数求最小分母用整数离散性。
适用：典例B3：8/9<a/b<9/10，化为8b<9a且10a<9b，再用整数离散性变8b+1≤9a、10a+1≤9b，解出b≥19。
- 交叉相乘时分母b>0方向不变，得两个严格不等式。
- a,b是整数，严格不等可改写为带+1的非严格不等。
- 联立消去a，解出b的下界，再验证最小b对应的a是否存在。
典型错误：直接去分母但不写整数离散+1；或求出b下界后不验证a是否为整数。
二、典例精讲
典例 A1
解下列关于x的一次不等式，必要时加以讨论。(1) 1 − x/2 + x/4 − x/8 + x/16 ≥ x；(2) (3x+3)/a² − 2 > (1−2x)/a。
训练点：(1)去分母合并；(2)系数含a，去分母后对2a+3分类讨论。
提示：
1. (1)两边同乘16消分母，合并x项。
2. (2)由题设a≠0，两边乘a²（正数），整理成关于x的标准形，再看x系数2a+3的正负。
1(1)去分母乘16：16−8x+4x−2x+x≥16x，即16≥21x。依据：16是公分母。
3(2)由a≠0乘a²：3x+3−2a²>a(1−2x)，整理(2a+3)x>(2a+3)(a−1)。依据：移项合并。
4当2a+3>0即a>−3/2(a≠0)时，x>a−1。依据：除以正数方向不变。
5当2a+3=0即a=−3/2时，0·x>0，无解。依据：0>0不成立。
6当2a+3<0即a<−3/2时，x<a−1。依据：除以负数方向反转。
答：(1)x≤16/21；(2)a>−3/2(a≠0)时x>a−1；a=−3/2时无解；a<−3/2时x<a−1
典型错法：第(2)题不分类，直接写x>a−1；忘记a≠0。
典例 A2
已知不等式(2a−b)x+3a−4b<0的解集为x>4/9，求不等式(a−4b)x+2a−3b>0的解集。
训练点：由解集反求系数：先定2a−b<0，再由端点求b与a的比。
提示：
1. 原不等式整理成(2a−b)x<4b−3a。解集是x>4/9（方向反了），说明2a−b是正还是负？
2. 端点4/9=(4b−3a)/(2a−b)，与2a−b<0联立解出b=?a。
1整理为(2a−b)x<4b−3a。解集x>4/9方向相反，故2a−b<0。依据：除以负数才变号。
2端点：(4b−3a)/(2a−b)=4/9。依据：解集端点=右端/系数。
39(4b−3a)=4(2a−b)，36b−27a=8a−4b，40b=35a，b=7/8 a。依据：交叉相乘。
4代入2a−b<0：2a−7a/8=9a/8<0，故a<0。依据：定a的符号。
5目标不等式(a−4b)x+2a−3b>0化为(a−7a/2)x+2a−21a/8>0，即−5a/2 x>5a/8。依据：代入b=7a/8。
6a<0，−5a/2>0，两边除以它方向不变：x> (5a/8)/(−5a/2)=−1/4。依据：a约掉。
答：x>−1/4
典型错法：不判断2a−b正负；最后除以−5a/2时忘记它是正数（因a<0）。
典例 B1
如果不等式组 {9x−a≥0, 8x−b<0} 的整数解仅为1、2、3，那么适合这个不等式组的整数a、b的有序数对(a,b)共有多少对？
训练点：整数离散性夹逼：在数轴上确定a/9和b/8的位置范围。
提示：
1. 解得a/9≤x<b/8。整数解只有1,2,3。
2. 为了让1是解而0不是，a/9应在哪个区间？为了让3是解而4不是，b/8应在哪个区间？
1解得 a/9 ≤ x < b/8。依据：分别解两个不等式。
2整数解仅1,2,3：0<a/9≤1（让1是解、0不是），3<b/8≤4（让3是解、4不是）。依据：数轴夹逼。
3即0<a≤9，24<b≤32。依据：乘9、乘8。
4a有9个值(1..9)，b有8个值(25..32)，有序对共9×8=72。依据：乘法原理。
答：72对
典型错法：端点写成0≤a/9<1或3≤b/8<4，导致a、b取值个数错。
典例 B2
设a、b、c、d均为整数，且关于x的方程(a−2b)x=1、(b−3c)x=1、(c−4d)x=1、x+100=d的解都是正数，试求a的最小值。
训练点：链式不等式：每个方程解为正数推出系数差为正，整数再+1，层层放大。
提示：
1. (a−2b)x=1的解是正数，右边1>0，所以a−2b>0即a>2b。a,b整数→a≥2b+1。
2. 同理b>3c, c>4d。最后x+100=d的解为正→d>100→d≥101。
1由(a−2b)x=1解为正，a−2b>0，a≥2b+1。依据：整数离散。
2同理b≥3c+1，c≥4d+1。依据：层层递推。
3x+100=d解为正，x=d−100>0，d≥101。依据：整数。
4c≥4×101+1=405；b≥3×405+1=1216；a≥2×1216+1=2433。依据：回代。
答：2433
典型错法：忘记整数+1，直接a>2b，最后少了累计的+1。
典例 B3
设a、b是正整数，求满足8/9<a/b<9/10，且b最小的分数a/b。
训练点：分数夹逼：用整数离散性把严格不等变+1，解出b下界再验证。
提示：
1. 8/9<a/b得8b<9a；a/b<9/10得10a<9b。
2. a,b整数，改写为8b+1≤9a，10a+1≤9b。消去a求b。
1原不等式等价于8b<9a且10a<9b。依据：b>0方向不变。
2整数离散：8b+1≤9a，10a+1≤9b。依据：严格变非严格。
3由第一式a≥(8b+1)/9，代入第二式10(8b+1)/9+1≤9b，80b+19≤81b，b≥19。依据：消a。
4b=19时，8×19+1=153≤9a→a≥17；10a+1≤171→a≤17。故a=17。依据：验证。
517/19≈0.895，确在0.889与0.9之间。依据：检验。
答：17/19
典型错法：忘记+1导致b下界算小；或求出b后不验证a是否整数。
典例 C1
从1开始，写出一组连续的正整数，擦去一个数后，其余整数的平均值为35又7/17。问：擦去的数是多少？
训练点：利用1≤k≤n夹逼n的范围，再用(n−1)是17的倍数定n，最后求k。
提示：
1. 设写出1,2,…,n，擦去k。平均值=((1+…+n)−k)/(n−1)=35 7/17。
2. k最小取1时平均值最大，k最大取n时平均值最小：n/2 ≤ 平均值 ≤ (n+2)/2。
1设写出1..n，擦去k(1≤k≤n)。依据：变量设定。
2由1≤k≤n夹逼：n/2 ≤ 35又7/17 ≤ (n+2)/2。依据：k=1时平均最大，k=n时最小。
3解得68又14/17 ≤ n ≤ 70又14/17，n=69或70。依据：n为整数。
4分母17说明(n−1)是17的倍数，n=69（n−1=68=4×17）。依据：平均值分母17。
5((1+…+69)−k)/68=35 7/17，2415−k=68×602/17=2408，k=7。依据：代入。
答：擦去的数是7
典型错法：不用夹逼直接猜n；忘记n−1是17的倍数。
典例 C2
某公交公司停车场内有13辆车，从上午6时开始发车(6时整第一辆车开出)，以后要每隔6分钟再开出一辆。第一辆车开出1分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场的车在原有的13辆车后依次再出车。问：到几点时，停车场内第一次出现无车辆的情况？
训练点：列不等式求第一次无车：出车数−进场数>初始13辆时无车。
提示：
1. 设6时起x分钟时出车s辆、进场y辆。x=6(s−1)（第一辆6时，第s辆在6(s−1)分）。
2. 进场从第1分钟开始每隔8分：x=8(y−1)+1，即y=(x−1)/8+1。
3. 无车即 s > 13+y（出车数超过初始+进场数）。
1设出车s辆，进场y辆，x分钟时。依据：变量设定。
2x=6(s−1)，s=y+13？不，进场比出车晚：8y > x−1（第y辆进场在1+8(y−1)分，要早于x）。依据：进场条件。
3s=y+13变形y=s−13，代入8(s−13)>x−1=6(s−1)−1。依据：消y。
48s−104>6s−7，2s>97，s>48.5，s=49。依据：s为整数。
5x=6(49−1)=288分=4时48分。6:00+4:48=10:48。依据：换算。
答：上午10时48分
典型错法：进场时间起点算错（第1辆在1分钟后，不是0分钟）；s不取整。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题(填空题)
不等式7−x<2(6−x)的正整数解为______。
答案：1，2，3，4
解析：7−x<12−2x，x<5。正整数解1,2,3,4。
水平测试 A 第2题(填空题)
关于x的不等式(1−a)x>1的解集为______。
答案：a<1时x>1/(1−a)；a=1时无解；a>1时x<1/(1−a)
解析：对系数1−a分类：正、零、负。
水平测试 A 第3题(填空题)
已知关于x的不等式(2m+x)/3 ≤ (4mx−1)/2的解集是x≥3/4，那么m的值是______。
答案：9/10
解析：乘6：4m+2x≤12mx−3，(12m−2)x≥4m+3。解集x≥3/4方向一致，故12m−2>0且(4m+3)/(12m−2)=3/4。16m+12=36m−6，20m=18，m=9/10。
水平测试 A 第4题(填空题)
如果−a>−b，用"<"或">"号填空。(1)a−2022___b−2022；(2)−2022a___−2022b；(3)a/2022___b/2022。
答案：(1)< (2)> (3)<
解析：−a>−b两边乘−1得a<b。(1)减同数方向不变a−2022<b−2022；(2)乘−2022变号−2022a>−2022b；(3)除正数a/2022<b/2022。
水平测试 A 第5题(填空题)
满足不等式x≥−3.9的最小的整数x是______；满足x≤4.2的最大整数x是______。
答案：−3，4
解析：≥−3.9的最小整数是−3（−4<−3.9）；≤4.2的最大整数是4。
水平测试 A 第6题(填空题)
如下4个判断：(1)如果a=0,b>0，则ax=b无解；(2)如果a>0,b=0，则ax=b无解；(3)如果a>0,b<0，则ax>b的解集为x>b/a；(4)如果a<0,b>0，则abx<b的解集为x<1/a。其中正确的序号是______。
答案：(1)，(3)
解析：(1)0=b>0不成立，无解✓；(2)ax=0解为x=0，不是无解✗；(3)a>0除正数方向不变x>b/a✓；(4)ab<0，两边除以ab变号x>1/a，不是<1/a✗。
水平测试 A 第7题(填空题)
如果x>0，那么1−x/(7+1/7)___1−x/(6+1/6)(填">""="或"<")。
答案：>
解析：7+1/7≈7.14>6+1/6≈6.17，x除以大数更小，减去小数更大。故1−x/7.14>1−x/6.17。
水平测试 A 第8题(填空题)
19<5x<21的正整数解为______。
水平测试 A 第9题(填空题)
已知2(x−2)−3(4x−1)=9(1−x)，且y<x+9，试比较(1/π)y与(10/31)y的大小______。
答案：(1/π)y > (10/31)y
解析：解方：2x−4−12x+3=9−9x，−x=10，x=−10。y<−1。1/π≈0.318>10/31≈0.323？实际1/π≈0.3183，10/31≈0.3226，所以1/π<10/31。但y<−1为负，乘负数变号：(1/π)y>(10/31)y。
水平测试 A 第10题(填空题)
不等式x+5+1/(x−6)>3+1/(x−6)的解集是______。
答案：x>−2，且x≠6
解析：两边同减1/(x−6)（要求x≠6），得x+5>3，x>−2。结合x≠6。
水平测试 A 第11题(解答题)
解关于x的不等式a(x−b²)>b(x+a²)。
答案：a>b时x>ab(a+b)/(a−b)；a<b时x<ab(a+b)/(a−b)；a=b≥0时无解，a=b<0时一切实数
解析：整理得(a−b)x>ab(a+b)。对a−b正负零分类：正方向不变；负方向反转；零则0>2a³，a=b≥0无解，a=b<0全体实数。
水平测试 A 第12题(解答题)
如果关于x的不等式(2a−b)x+a−5b>0的解集为x<10/7，求关于x的不等式ax>b的解集。
答案：x<3/5
解析：整理(2a−b)x>5b−a。解集x<10/7方向反，故2a−b<0。端点(5b−a)/(2a−b)=10/7，35b−7a=20a−10b，45b=27a，b=3a/5。代入2a−3a/5=7a/5<0得a<0。ax>b即ax>3a/5，a<0除负变号x<3/5。
B层
水平测试 A 第1题(填空题)
不等式7−x<2(6−x)的正整数解为______。
答案：1，2，3，4
解析：7−x<12−2x，x<5。正整数解1,2,3,4。
水平测试 A 第2题(填空题)
关于x的不等式(1−a)x>1的解集为______。
答案：a<1时x>1/(1−a)；a=1时无解；a>1时x<1/(1−a)
解析：对系数1−a分类：正、零、负。
水平测试 A 第3题(填空题)
已知关于x的不等式(2m+x)/3 ≤ (4mx−1)/2的解集是x≥3/4，那么m的值是______。
答案：9/10
解析：乘6：4m+2x≤12mx−3，(12m−2)x≥4m+3。解集x≥3/4方向一致，故12m−2>0且(4m+3)/(12m−2)=3/4。16m+12=36m−6，20m=18，m=9/10。
水平测试 A 第4题(填空题)
如果−a>−b，用"<"或">"号填空。(1)a−2022___b−2022；(2)−2022a___−2022b；(3)a/2022___b/2022。
答案：(1)< (2)> (3)<
解析：−a>−b两边乘−1得a<b。(1)减同数方向不变a−2022<b−2022；(2)乘−2022变号−2022a>−2022b；(3)除正数a/2022<b/2022。
水平测试 A 第5题(填空题)
满足不等式x≥−3.9的最小的整数x是______；满足x≤4.2的最大整数x是______。
答案：−3，4
解析：≥−3.9的最小整数是−3（−4<−3.9）；≤4.2的最大整数是4。
水平测试 A 第6题(填空题)
如下4个判断：(1)如果a=0,b>0，则ax=b无解；(2)如果a>0,b=0，则ax=b无解；(3)如果a>0,b<0，则ax>b的解集为x>b/a；(4)如果a<0,b>0，则abx<b的解集为x<1/a。其中正确的序号是______。
答案：(1)，(3)
解析：(1)0=b>0不成立，无解✓；(2)ax=0解为x=0，不是无解✗；(3)a>0除正数方向不变x>b/a✓；(4)ab<0，两边除以ab变号x>1/a，不是<1/a✗。
水平测试 A 第7题(填空题)
如果x>0，那么1−x/(7+1/7)___1−x/(6+1/6)(填">""="或"<")。
答案：>
解析：7+1/7≈7.14>6+1/6≈6.17，x除以大数更小，减去小数更大。故1−x/7.14>1−x/6.17。
水平测试 A 第8题(填空题)
19<5x<21的正整数解为______。
水平测试 A 第9题(填空题)
已知2(x−2)−3(4x−1)=9(1−x)，且y<x+9，试比较(1/π)y与(10/31)y的大小______。
答案：(1/π)y > (10/31)y
解析：解方：2x−4−12x+3=9−9x，−x=10，x=−10。y<−1。1/π≈0.318>10/31≈0.323？实际1/π≈0.3183，10/31≈0.3226，所以1/π<10/31。但y<−1为负，乘负数变号：(1/π)y>(10/31)y。
水平测试 A 第10题(填空题)
不等式x+5+1/(x−6)>3+1/(x−6)的解集是______。
答案：x>−2，且x≠6
解析：两边同减1/(x−6)（要求x≠6），得x+5>3，x>−2。结合x≠6。
水平测试 A 第11题(解答题)
解关于x的不等式a(x−b²)>b(x+a²)。
答案：a>b时x>ab(a+b)/(a−b)；a<b时x<ab(a+b)/(a−b)；a=b≥0时无解，a=b<0时一切实数
解析：整理得(a−b)x>ab(a+b)。对a−b正负零分类：正方向不变；负方向反转；零则0>2a³，a=b≥0无解，a=b<0全体实数。
水平测试 A 第12题(解答题)
如果关于x的不等式(2a−b)x+a−5b>0的解集为x<10/7，求关于x的不等式ax>b的解集。
答案：x<3/5
解析：整理(2a−b)x>5b−a。解集x<10/7方向反，故2a−b<0。端点(5b−a)/(2a−b)=10/7，35b−7a=20a−10b，45b=27a，b=3a/5。代入2a−3a/5=7a/5<0得a<0。ax>b即ax>3a/5，a<0除负变号x<3/5。
水平测试 B 第1题(判断题)
判断正误：若1/a<1/b，则a>b______。
答案：错
解析：若a正b负，1/a>0>1/b也满足1/a<1/b不成立？反例a=1,b=−1：1/a=1,1/b=−1，1/a<1/b不成立。再例a=−1,b=1：1/a=−1<1/b=1，但a<b。故错。
水平测试 B 第2题(填空题)
设a>b，则−5a___−5b(填">"或"<")。
水平测试 B 第3题(填空题)
用不等式表示：m的6倍与7的差的绝对值不大于5______。
答案：|6m−7|≤5
解析：6m−7的绝对值不大于5。
水平测试 B 第4题(填空题)
不等式x≥−5的解的最小值是______，不等式x<−2的整数解的最大值是______。
答案：−5，−3
解析：x≥−5最小整数解−5；x<−2最大整数解−3。
水平测试 B 第5题(填空题)
若1<x<2，则代数式|x−2|/(x−2) − (x−1)/(1−x) + |x|/x的值是______。
答案：1
解析：1<x<2：|x−2|=2−x，第一项=−1；(x−1)/(1−x)=−1，第二项减去它=+1；|x|/x=1。故−1+1+1=1。
水平测试 B 第6题(填空题)
已知关于x的不等式x/2−1>x与ax−6>5x同解，则a=______。
答案：2
解析：第一个：−x/2>1，x<−2。第二个：(a−5)x>6。要同解且x<−2，需a−5<0且6/(a−5)=−2，a−5=−3，a=2。
水平测试 B 第7题(填空题)
不等式组{a−1<x<a+2, 3<x<5}的解集是3<x<a+2，则a的取值范围是______。
答案：1<a≤3
解析：公共部分为3<x<a+2，需a+2≤5（否则上界超过5会延长）且a+2>3（否则空），即1<a≤3。
水平测试 B 第8题(填空题)
已知关于x的不等式(2a−b)x+3a>0解集是x>3/2，则不等式ax>b的解集是______。
答案：x<4
解析：(2a−b)x>−3a，方向一致故2a−b>0，−3a/(2a−b)=3/2，−6a=6a−3b，b=4a。2a−4a=−2a>0得a<0。ax>b=4a，除a<0变号x<4。
水平测试 B 第9题(填空题)
设a、b、c的平均数为M，a与b的平均数为N，N与c的平均数为P。若a>b>c，则M与P的大小关系是______。
答案：M>P
解析：M=(a+b+c)/3，N=(a+b)/2，P=(N+c)/2=(a+b+2c)/4。M−P=(4a+4b+4c−3a−3b−6c)/12=(a+b−2c)/12>0（因a>c,b>c）。
水平测试 B 第10题(填空题)
关于x的不等式(4x+a)/3>1的解都是不等式−(2x+1)/3<0的解，则a的取值范围是______。
答案：a≤5
解析：第一个x>(3−a)/4；第二个x>−1/2。要求第一个解集包含于第二个：(3−a)/4≥−1/2，3−a≥−2，a≤5。
水平测试 B 第11题(解答题)
求关于x的不等式(2−a)x≤4(x+a)的解集。
答案：a<−2时x≤−4a/(2+a)；a=−2时无解；a>−2时x≥−4a/(2+a)
解析：整理−(2+a)x≤4a。对−(2+a)即2+a的正负零分类。
水平测试 B 第12题(解答题)
当x、y、z为非负数时，3y+2z=3+x，3y+z=4−3x，求w=3x−3y+4z的最大值和最小值。
答案：最大值67/7，最小值−5/2
解析：两式相减z=−1+4x，代入得y=(5−7x)/3。非负：z≥0→x≥1/4；y≥0→x≤5/7。w=3x−5+7x−4+16x=26x−9。x∈[1/4,5/7]，w最小=26/4−9=−5/2，最大=130/7−9=67/7。
C层
水平测试 A 第1题(填空题)
不等式7−x<2(6−x)的正整数解为______。
答案：1，2，3，4
解析：7−x<12−2x，x<5。正整数解1,2,3,4。
水平测试 A 第2题(填空题)
关于x的不等式(1−a)x>1的解集为______。
答案：a<1时x>1/(1−a)；a=1时无解；a>1时x<1/(1−a)
解析：对系数1−a分类：正、零、负。
水平测试 A 第3题(填空题)
已知关于x的不等式(2m+x)/3 ≤ (4mx−1)/2的解集是x≥3/4，那么m的值是______。
答案：9/10
解析：乘6：4m+2x≤12mx−3，(12m−2)x≥4m+3。解集x≥3/4方向一致，故12m−2>0且(4m+3)/(12m−2)=3/4。16m+12=36m−6，20m=18，m=9/10。
水平测试 A 第4题(填空题)
如果−a>−b，用"<"或">"号填空。(1)a−2022___b−2022；(2)−2022a___−2022b；(3)a/2022___b/2022。
答案：(1)< (2)> (3)<
解析：−a>−b两边乘−1得a<b。(1)减同数方向不变a−2022<b−2022；(2)乘−2022变号−2022a>−2022b；(3)除正数a/2022<b/2022。
水平测试 A 第5题(填空题)
满足不等式x≥−3.9的最小的整数x是______；满足x≤4.2的最大整数x是______。
答案：−3，4
解析：≥−3.9的最小整数是−3（−4<−3.9）；≤4.2的最大整数是4。
水平测试 A 第6题(填空题)
如下4个判断：(1)如果a=0,b>0，则ax=b无解；(2)如果a>0,b=0，则ax=b无解；(3)如果a>0,b<0，则ax>b的解集为x>b/a；(4)如果a<0,b>0，则abx<b的解集为x<1/a。其中正确的序号是______。
答案：(1)，(3)
解析：(1)0=b>0不成立，无解✓；(2)ax=0解为x=0，不是无解✗；(3)a>0除正数方向不变x>b/a✓；(4)ab<0，两边除以ab变号x>1/a，不是<1/a✗。
水平测试 A 第7题(填空题)
如果x>0，那么1−x/(7+1/7)___1−x/(6+1/6)(填">""="或"<")。
答案：>
解析：7+1/7≈7.14>6+1/6≈6.17，x除以大数更小，减去小数更大。故1−x/7.14>1−x/6.17。
水平测试 A 第8题(填空题)
19<5x<21的正整数解为______。
水平测试 A 第9题(填空题)
已知2(x−2)−3(4x−1)=9(1−x)，且y<x+9，试比较(1/π)y与(10/31)y的大小______。
答案：(1/π)y > (10/31)y
解析：解方：2x−4−12x+3=9−9x，−x=10，x=−10。y<−1。1/π≈0.318>10/31≈0.323？实际1/π≈0.3183，10/31≈0.3226，所以1/π<10/31。但y<−1为负，乘负数变号：(1/π)y>(10/31)y。
水平测试 A 第10题(填空题)
不等式x+5+1/(x−6)>3+1/(x−6)的解集是______。
答案：x>−2，且x≠6
解析：两边同减1/(x−6)（要求x≠6），得x+5>3，x>−2。结合x≠6。
水平测试 A 第11题(解答题)
解关于x的不等式a(x−b²)>b(x+a²)。
答案：a>b时x>ab(a+b)/(a−b)；a<b时x<ab(a+b)/(a−b)；a=b≥0时无解，a=b<0时一切实数
解析：整理得(a−b)x>ab(a+b)。对a−b正负零分类：正方向不变；负方向反转；零则0>2a³，a=b≥0无解，a=b<0全体实数。
水平测试 A 第12题(解答题)
如果关于x的不等式(2a−b)x+a−5b>0的解集为x<10/7，求关于x的不等式ax>b的解集。
答案：x<3/5
解析：整理(2a−b)x>5b−a。解集x<10/7方向反，故2a−b<0。端点(5b−a)/(2a−b)=10/7，35b−7a=20a−10b，45b=27a，b=3a/5。代入2a−3a/5=7a/5<0得a<0。ax>b即ax>3a/5，a<0除负变号x<3/5。
水平测试 C 第1题(填空题)
代数式1−k的值大于−1而不大于3，则k的取值范围是______。
答案：−2≤k<2
解析：−1<1−k≤3，−2<−k≤2，−2≤k<2。
水平测试 C 第2题(填空题)
某宾馆底楼客房比二楼少5间，某旅游团有48人。若全部安排在底楼，每间4人，房间不够；每间5人，有房间没有住满5人。又若全安排在二楼，每间3人，房间不够；每间4人，则有房间没有住满4人，该宾馆底楼有______间客房。
答案：10
解析：设底楼x间，二楼x+5间。底楼：4x<48<5x，9.6<x<12。二楼：3(x+5)<48<4(x+5)，7<x<11。交集9.6<x<11，x=10。
水平测试 C 第3题(填空题)
设p、q均为正整数，且7/10<p/q<11/15，当q最小时，pq的值为______。
答案：35
解析：通分21q/30<30p/30<22q/30，21q<30p<22q。q=7,p=5满足：147<150<154。pq=35。
水平测试 C 第4题(填空题)
某次数学测验，共有16道选择题。评分办法是：答对一题给6分，答错一题倒扣2分，不答则不给分。某学生有一道题未答，且其成绩在60分以上，这位学生至少答对______道题。
答案：12
解析：设答对x题，答错15−x题。6x−2(15−x)>60，8x>90，x>11.25，至少12题。
水平测试 C 第5题(填空题)
若方程(2x+a)/(x−2)=−1的解是正数，则a的取值范围是______。
答案：a<2且a≠−4
解析：2x+a=−x+2，3x=2−a，x=(2−a)/3>0得a<2。又x≠2即(2−a)/3≠2，a≠−4。
水平测试 C 第6题(填空题)
已知正整数a、b、c、d满足a<2b，3b<4c，5c<6d，7d<1990，a的最大值是______。
答案：905
解析：d<1990/7≈284.3，d≤284。c<6d/5≤340.8，c≤340。b<4c/3≤453.3，b≤453。a<2b≤906，a≤905。
水平测试 C 第7题(填空题)
适合不等式19/89<n/9<99/19的正整数n有______个。
答案：45
解析：19/89×9≈1.92≤n，99/19×9≈46.89≥n。n=2..46共45个。
水平测试 C 第8题(填空题)
已知不等式(3a−2b)x+2a−5b<0的解集为x>−5/2，则不等式(2a−5b)x+2a−7b>0的解集为______。
答案：x<−7/5
解析：整理(3a−2b)x<5b−2a，解集x>−5/2方向反，故3a−2b<0。端点(5b−2a)/(3a−2b)=−5/2，交叉乘2(5b−2a)=−5(3a−2b)，得10b−4a=−15a+10b，11a=0，a=0。代回3a−2b<0得b>0。目标不等式(2a−5b)x+2a−7b>0即−5bx−7b>0，b>0除−5b变号：x<−7/5。
水平测试 C 第9题(填空题)
当k为______时，关于x的方程3(x+1)=5−kx有不大于1的解。
答案：k<−3或k≥−1
解析：(3+k)x=2，x=2/(3+k)≤1。分类：3+k>0即k>−3时2≤3+k，k≥−1；3+k<0即k<−3时2≥3+k恒成立。k=−3无解。
水平测试 C 第10题(填空题)
关于x的不等式3x−a≤0只有6个正整数解，且最大的一个不超过8，那么这时a的取值范围是______。
答案：18≤a<21
解析：x≤a/3。6个正整数解为1..6（最大不超8），需6≤a/3<7，即18≤a<21。
水平测试 C 第11题(解答题)
求满足下列条件的最小正整数n，对于n存在正整数k使8/15<n/(n+k)<7/13成立。
答案：n=15，k=13
解析：取倒数15/8>(n+k)/n>13/7，7/6<k/n<7/8？整理得6/7<k/n<7/8。n>8。n=9..14时k非整数；n=15时90/7<k<105/8即12.86<k<13.125，k=13。
水平测试 C 第12题(解答题)
货轮上卸下若干个箱子，其总质量为10吨，每个箱子的质量均不超过1吨。为了保证能把这些箱子一次运走，问：至少需要多少辆载质量为3吨的卡车？
答案：5辆
解析：每个箱子≤1吨，4辆卡车最多运4×3=12吨看似够，但极端情况13个箱子每个10/13吨≈0.77吨，每车最多装3个（4个超3吨），4车只能装12个，剩1个。故需5辆。
四、方法小结
解一次不等式与解方程步骤类似，但乘除负数必须变号。标准形ax>b分三种情况：a>0时x>b/a；a<0时x<b/a；a=0时看b正负。已知解集反求系数：先由解集方向判断系数正负，再由端点值求系数比，最后代回目标不等式。竞赛中常用整数离散性（整数x>y则x≥y+1）把严格不等式夹逼成范围，用于求整数解个数、最小分母、参数范围。分式不等式不能直接去分母，要移项通分或分类讨论。
五、作业建议
基础必做：- 教材P163–164 水平测试A 第1–10题（填空）
- 教材P164 水平测试A 第11、12题（含参讨论、反求系数）
巩固选做：- 教材P165–166 水平测试B 第1–10题（填空）
- 教材P166 水平测试B 第11、12题（含参不等式、最值）
提高挑战：- 教材P168–169 水平测试C 第1–10题（填空，含宾馆、分数夹逼、套箱）
- 教材P169 水平测试C 第11、12题（最小n、卡车兜底）
六、课堂错因定位
症状：解不等式两边除以字母时方向不变
根因：与解方程混淆，不判断系数正负。
补救：回到知识模块ax>b三情况图，每除一次字母先问”它是正还是负”。
症状：由解集反求系数时方向判断反
根因：忘记解集方向与原不等号方向相反意味着除以负数。
补救：用典例A2两步法：先看方向定正负，再看端点定比值。
症状：分式不等式直接去分母
根因：分母正负未知就乘过去。
补救：强调分母含字母时必须移项通分，或按分母正负分类。
症状：整数解夹逼端点取等号搞混
根因：不画数轴，凭感觉写≤或<。
补救：画数轴（知识模块三），标出哪些整数必须是解、哪些不能是解。