A层
水平测试 A 第1题(填空题)
已知"a>b，a−1/a>b−1/b"同时成立，则ab应满足的条件是______。
答案：ab>0或ab<−1
解析：a−1/a>b−1/b整理(a−b)(1+1/(ab))>0。因a−b>0，需1+1/(ab)>0，即(ab+1)/(ab)>0，ab>0或ab<−1。
水平测试 A 第2题(填空题)
若q<0<p，则不等式q<1/x<p的解集为______。
答案：x<1/q或x>1/p
解析：q<0<p。1/x>q（负数）恒成立对x>0；1/x<p（正数）需x>1/p。对x<0：1/x<0<p恒成立，1/x>q需x<1/q（q负，1/q负）。综合x<1/q或x>1/p。
水平测试 A 第3题(填空题)
设方程组{3x+y=2k, 2y−x=3}的解满足x<1，y>1，则整数k的个数为______。
答案：3
解析：解得x=(4k−3)/7，y=(2k+9)/7。x<1→4k<10→k<2.5；y>1→2k>−2→k>−1。整数k=0,1,2共3个。
水平测试 A 第4题(填空题)
能使4m+3、2m−1、19−m这3个数作为三角形三边长的整数m共有______个。
答案：2
解析：三边长为正：2m−1>0→m>0.5，19−m>0→m<19。两边之和大于第三边：(4m+3)+(2m−1)>19−m→7m>17→m>17/7≈2.43；(2m−1)+(19−m)>4m+3→m+18>4m+3→m<5；第三式自动满足。故2.43<m<5，整数m=3,4共2个。
水平测试 A 第5题(填空题)
m为______时，方程组{2mx−3y=9, x+my=7}的解满足x>0，y<0。
答案：−7/3<m<9/14
解析：由x+my=7得x=7−my，代入2mx−3y=9：14m−(2m²+3)y=9，y=(14m−9)/(2m²+3)。分母恒正。y<0→14m−9<0→m<9/14。x=7−my=(9m+21)/(2m²+3)=3(3m+7)/(2m²+3)，x>0→3m+7>0→m>−7/3。综合−7/3<m<9/14。
水平测试 A 第6题(填空题)
关于x的不等式组{2x+1≤1/2(5+x), 2−5x<4a−1}的解集是−1<x≤1，则a=______。
答案：2
解析：第一个：4x+2≤5+x，3x≤3，x≤1。第二个：−5x<4a−3，x>(3−4a)/5。解集−1<x≤1需(3−4a)/5=−1，3−4a=−5，a=2。
水平测试 A 第7题(填空题)
若|2a−b+1|+(a+b−4)²≤0，则不等式组{2ax−7(x−b)<15, a/3 x+(4−b)x>6}的解集是______。
答案：x>9/2
解析：两非负项和≤0故都为0：2a−b+1=0，a+b−4=0。解得a=1,b=3。代入：2x−7(x−3)<15→−5x<−6→x>6/5；x/3+x>6→4x/3>6→x>9/2。取交集x>9/2。
水平测试 A 第8题(填空题)
不等式组{3x+1>x−2, 7x−2>8}的解集是______。
答案：x>10/7
解析：第一个2x>−3→x>−3/2；第二个7x>10→x>10/7。取最紧下界x>10/7。
水平测试 A 第9题(填空题)
已知不等式3x−a≤0的正整数解恰为1、2、3，那么a的取值范围是______。
答案：9≤a<12
解析：x≤a/3。正整数解恰1,2,3需3≤a/3<4，即9≤a<12。
水平测试 A 第10题(填空题)
不等式组{2(x−4)>4−3x, −1/3−2x<2−(1+7x)/3}的整数解为______。
答案：3，4，5
解析：第一个2x−8>4−3x→5x>12→x>2.4；第二个乘3：−1−6x<6−1−7x→x<6。故2.4<x<6，整数3,4,5。
水平测试 A 第11题(解答题)
求适合下列混合组的所有正整数解{3x+2y−z=4, 2x−y+2z=6, x+y+z<7}。
答案：x=1，y=2，z=3
解析：前两式消z：第一×2+第二得8x+3y=14？由z=3x+2y−4代入第二：2x−y+2(3x+2y−4)=6，8x+3y=14。正整数x=1,y=2，z=3。检验x+y+z=6<7✓。
水平测试 A 第12题(解答题)
解关于x的不等式组{x−2>3(x−a), (ax−1)/2>2x−3}。
答案：a=4时x<5；a>4时−5/(a−4)<x<(3a−2)/2；a<4时x<(3a−2)/2
解析：第一个x<(3a−2)/2。第二个(a−4)x>−5。对a−4正负零分类讨论。
B层
水平测试 A 第1题(填空题)
已知"a>b，a−1/a>b−1/b"同时成立，则ab应满足的条件是______。
答案：ab>0或ab<−1
解析：a−1/a>b−1/b整理(a−b)(1+1/(ab))>0。因a−b>0，需1+1/(ab)>0，即(ab+1)/(ab)>0，ab>0或ab<−1。
水平测试 A 第2题(填空题)
若q<0<p，则不等式q<1/x<p的解集为______。
答案：x<1/q或x>1/p
解析：q<0<p。1/x>q（负数）恒成立对x>0；1/x<p（正数）需x>1/p。对x<0：1/x<0<p恒成立，1/x>q需x<1/q（q负，1/q负）。综合x<1/q或x>1/p。
水平测试 A 第3题(填空题)
设方程组{3x+y=2k, 2y−x=3}的解满足x<1，y>1，则整数k的个数为______。
答案：3
解析：解得x=(4k−3)/7，y=(2k+9)/7。x<1→4k<10→k<2.5；y>1→2k>−2→k>−1。整数k=0,1,2共3个。
水平测试 A 第4题(填空题)
能使4m+3、2m−1、19−m这3个数作为三角形三边长的整数m共有______个。
答案：2
解析：三边长为正：2m−1>0→m>0.5，19−m>0→m<19。两边之和大于第三边：(4m+3)+(2m−1)>19−m→7m>17→m>17/7≈2.43；(2m−1)+(19−m)>4m+3→m+18>4m+3→m<5；第三式自动满足。故2.43<m<5，整数m=3,4共2个。
水平测试 A 第5题(填空题)
m为______时，方程组{2mx−3y=9, x+my=7}的解满足x>0，y<0。
答案：−7/3<m<9/14
解析：由x+my=7得x=7−my，代入2mx−3y=9：14m−(2m²+3)y=9，y=(14m−9)/(2m²+3)。分母恒正。y<0→14m−9<0→m<9/14。x=7−my=(9m+21)/(2m²+3)=3(3m+7)/(2m²+3)，x>0→3m+7>0→m>−7/3。综合−7/3<m<9/14。
水平测试 A 第6题(填空题)
关于x的不等式组{2x+1≤1/2(5+x), 2−5x<4a−1}的解集是−1<x≤1，则a=______。
答案：2
解析：第一个：4x+2≤5+x，3x≤3，x≤1。第二个：−5x<4a−3，x>(3−4a)/5。解集−1<x≤1需(3−4a)/5=−1，3−4a=−5，a=2。
水平测试 A 第7题(填空题)
若|2a−b+1|+(a+b−4)²≤0，则不等式组{2ax−7(x−b)<15, a/3 x+(4−b)x>6}的解集是______。
答案：x>9/2
解析：两非负项和≤0故都为0：2a−b+1=0，a+b−4=0。解得a=1,b=3。代入：2x−7(x−3)<15→−5x<−6→x>6/5；x/3+x>6→4x/3>6→x>9/2。取交集x>9/2。
水平测试 A 第8题(填空题)
不等式组{3x+1>x−2, 7x−2>8}的解集是______。
答案：x>10/7
解析：第一个2x>−3→x>−3/2；第二个7x>10→x>10/7。取最紧下界x>10/7。
水平测试 A 第9题(填空题)
已知不等式3x−a≤0的正整数解恰为1、2、3，那么a的取值范围是______。
答案：9≤a<12
解析：x≤a/3。正整数解恰1,2,3需3≤a/3<4，即9≤a<12。
水平测试 A 第10题(填空题)
不等式组{2(x−4)>4−3x, −1/3−2x<2−(1+7x)/3}的整数解为______。
答案：3，4，5
解析：第一个2x−8>4−3x→5x>12→x>2.4；第二个乘3：−1−6x<6−1−7x→x<6。故2.4<x<6，整数3,4,5。
水平测试 A 第11题(解答题)
求适合下列混合组的所有正整数解{3x+2y−z=4, 2x−y+2z=6, x+y+z<7}。
答案：x=1，y=2，z=3
解析：前两式消z：第一×2+第二得8x+3y=14？由z=3x+2y−4代入第二：2x−y+2(3x+2y−4)=6，8x+3y=14。正整数x=1,y=2，z=3。检验x+y+z=6<7✓。
水平测试 A 第12题(解答题)
解关于x的不等式组{x−2>3(x−a), (ax−1)/2>2x−3}。
答案：a=4时x<5；a>4时−5/(a−4)<x<(3a−2)/2；a<4时x<(3a−2)/2
解析：第一个x<(3a−2)/2。第二个(a−4)x>−5。对a−4正负零分类讨论。
水平测试 B 第1题(填空题)
已知m和n是整数，3m+2=5n+3，且3m+2>30，5n+3<40，mn的值是______。
答案：84
解析：3m+2=5n+3=k。k>30且k<40（因5n+3<40）。k≡? mod 3和mod5。k=37时m=35/3非整；k=32时m=10,n=29/5非整；k=37不行。试k=37？3m=35非整。k=32：5n=29非整。k=37不是。实际m=12,n=7时3m+2=38,5n+3=38✓。mn=84。
水平测试 B 第2题(填空题)
把若干个苹果分给几个孩子。如果每人分3个，则余8个；如果每人分5个，则最后一个分得的数不足5个，孩子和苹果的个数分别为______。
答案：5个孩子23个苹果，或6个孩子26个苹果
解析：设孩子n人，苹果3n+8。每人5个最后一人不足5：5(n−1)<3n+8<5n。左：2n<13→n<6.5；右：8<2n→n>4。n=5或6。苹果23或26。
水平测试 B 第3题(填空题)
不等式组{2x−5>3−2x, 3x−6>4x−9}的解集是______。
答案：2<x<3
解析：第一个4x>8→x>2；第二个−x>−3→x<3。交集2<x<3。
水平测试 B 第4题(填空题)
混合组{x=4y+20, 7y<x<8y}的整数解为______。
答案：x=44，y=6
解析：代入7y<4y+20<8y。左3y<20→y<6.67；右20<4y→y>5。y=6，x=44。
水平测试 B 第5题(填空题)
a为______时，方程组{2x+ay=4, x+4y=8}的解是正整数。
答案：−4
解析：由第二式x=8−4y，代入第一：16−8y+ay=4，(a−8)y=−12，y=12/(8−a)。正整数y：8−a是12的正因数。y=1→a=−4，x=4；其他y值x非正整数。a=−4。
水平测试 B 第6题(填空题)
若x+y+z=30，3x+y−z=50，x、y、z皆为非负数，则M=5x+4y+2z的取值范围是______。
答案：120≤M≤130
解析：解得x=10+t，y=20−2t，z=t（t参数）。非负：0≤t≤10。M=5(10+t)+4(20−2t)+2t=130−t。t∈[0,10]，M∈[120,130]。
水平测试 B 第7题(填空题)
如果1/x>−3，且1/x<2，则x的取值范围是______。
答案：x>1/2或x<−1/3
解析：1/x<2：x>0时恒成立；x<0时1/x<0<2恒成立？需1/x>−3。x>0时1/x>−3恒成立且1/x<2→x>1/2。x<0时1/x>−3→两边乘x(负)变号1<−3x→x<−1/3。综合x>1/2或x<−1/3。
水平测试 B 第8题(填空题)
不等式组{1<(2x−5)/3<3, (1+x)/2<4(2x−3), x+5−2/3≥2x−3/2}的解集为______。
答案：4<x≤35/6
解析：第一个3<2x−5<9→4<x<7。第二个1+x<16x−24→x>5/3。第三个x≤5+3/2−2/3=35/6。取交集4<x≤35/6。
水平测试 B 第9题(填空题)
a为______时(a为整数)，方程{3x+7y=a, 2x+5y=20}的解为正数。
答案：29
解析：解得x=5a−140，y=60−2a。x>0→a>28；y>0→a<30。整数a=29。
水平测试 B 第10题(解答题)
解关于x的不等式组{ax−4<8−3ax, (a+2)x−2>2(1−a)x+4}。
答案：a>0时2/a<x<3/a；a=0时无解；a<0时3/a<x<2/a
解析：化简{4ax<12→ax<3, 3ax>6→ax>2}。对a正、零、负分类。
水平测试 B 第11题(解答题)
只有两个正整数介于分数88/19和(88+n)/(19+n)之间，则正整数n的所有可能值之和是多少？
答案：1105
解析：88/19=4又12/19。(88+n)/(19+n)<88/19（n>0时分母大分数小）。介于两者间只有两个正整数5,6？需4<(88+n)/(19+n)<7？实际两数间正整数恰两个：由88/19≈4.63，中间两整数5,6，需(88+n)/(19+n)在2和3之间：2<(88+n)/(19+n)<3。解得31/2<n<50，n=16..49，和=(16+49)×34/2=1105。
水平测试 B 第12题(解答题)
已知关于x的不等式组{x−2<ax+1, 4(x+1)>3}。(1)若不等式组无正整数解，求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使得不等式组的解集中恰含了3个正整数解？
答案：(1)a≤−2；(2)0<a≤1/4
解析：第一个(1−a)x<3，第二个x>−1/4。分类讨论1−a正负。无正整数解需1−a>0且3/(1−a)≤1；恰3个正整数解需3<3/(1−a)≤4。
C层
水平测试 A 第1题(填空题)
已知"a>b，a−1/a>b−1/b"同时成立，则ab应满足的条件是______。
答案：ab>0或ab<−1
解析：a−1/a>b−1/b整理(a−b)(1+1/(ab))>0。因a−b>0，需1+1/(ab)>0，即(ab+1)/(ab)>0，ab>0或ab<−1。
水平测试 A 第2题(填空题)
若q<0<p，则不等式q<1/x<p的解集为______。
答案：x<1/q或x>1/p
解析：q<0<p。1/x>q（负数）恒成立对x>0；1/x<p（正数）需x>1/p。对x<0：1/x<0<p恒成立，1/x>q需x<1/q（q负，1/q负）。综合x<1/q或x>1/p。
水平测试 A 第3题(填空题)
设方程组{3x+y=2k, 2y−x=3}的解满足x<1，y>1，则整数k的个数为______。
答案：3
解析：解得x=(4k−3)/7，y=(2k+9)/7。x<1→4k<10→k<2.5；y>1→2k>−2→k>−1。整数k=0,1,2共3个。
水平测试 A 第4题(填空题)
能使4m+3、2m−1、19−m这3个数作为三角形三边长的整数m共有______个。
答案：2
解析：三边长为正：2m−1>0→m>0.5，19−m>0→m<19。两边之和大于第三边：(4m+3)+(2m−1)>19−m→7m>17→m>17/7≈2.43；(2m−1)+(19−m)>4m+3→m+18>4m+3→m<5；第三式自动满足。故2.43<m<5，整数m=3,4共2个。
水平测试 A 第5题(填空题)
m为______时，方程组{2mx−3y=9, x+my=7}的解满足x>0，y<0。
答案：−7/3<m<9/14
解析：由x+my=7得x=7−my，代入2mx−3y=9：14m−(2m²+3)y=9，y=(14m−9)/(2m²+3)。分母恒正。y<0→14m−9<0→m<9/14。x=7−my=(9m+21)/(2m²+3)=3(3m+7)/(2m²+3)，x>0→3m+7>0→m>−7/3。综合−7/3<m<9/14。
水平测试 A 第6题(填空题)
关于x的不等式组{2x+1≤1/2(5+x), 2−5x<4a−1}的解集是−1<x≤1，则a=______。
答案：2
解析：第一个：4x+2≤5+x，3x≤3，x≤1。第二个：−5x<4a−3，x>(3−4a)/5。解集−1<x≤1需(3−4a)/5=−1，3−4a=−5，a=2。
水平测试 A 第7题(填空题)
若|2a−b+1|+(a+b−4)²≤0，则不等式组{2ax−7(x−b)<15, a/3 x+(4−b)x>6}的解集是______。
答案：x>9/2
解析：两非负项和≤0故都为0：2a−b+1=0，a+b−4=0。解得a=1,b=3。代入：2x−7(x−3)<15→−5x<−6→x>6/5；x/3+x>6→4x/3>6→x>9/2。取交集x>9/2。
水平测试 A 第8题(填空题)
不等式组{3x+1>x−2, 7x−2>8}的解集是______。
答案：x>10/7
解析：第一个2x>−3→x>−3/2；第二个7x>10→x>10/7。取最紧下界x>10/7。
水平测试 A 第9题(填空题)
已知不等式3x−a≤0的正整数解恰为1、2、3，那么a的取值范围是______。
答案：9≤a<12
解析：x≤a/3。正整数解恰1,2,3需3≤a/3<4，即9≤a<12。
水平测试 A 第10题(填空题)
不等式组{2(x−4)>4−3x, −1/3−2x<2−(1+7x)/3}的整数解为______。
答案：3，4，5
解析：第一个2x−8>4−3x→5x>12→x>2.4；第二个乘3：−1−6x<6−1−7x→x<6。故2.4<x<6，整数3,4,5。
水平测试 A 第11题(解答题)
求适合下列混合组的所有正整数解{3x+2y−z=4, 2x−y+2z=6, x+y+z<7}。
答案：x=1，y=2，z=3
解析：前两式消z：第一×2+第二得8x+3y=14？由z=3x+2y−4代入第二：2x−y+2(3x+2y−4)=6，8x+3y=14。正整数x=1,y=2，z=3。检验x+y+z=6<7✓。
水平测试 A 第12题(解答题)
解关于x的不等式组{x−2>3(x−a), (ax−1)/2>2x−3}。
答案：a=4时x<5；a>4时−5/(a−4)<x<(3a−2)/2；a<4时x<(3a−2)/2
解析：第一个x<(3a−2)/2。第二个(a−4)x>−5。对a−4正负零分类讨论。
水平测试 C 第1题(填空题)
m为______时，方程组{(m+1)x−my=4, 3x−5y=2}有满足x−y<2的解。
答案：m>0或m<−5/2
解析：解得x=(16+5m)/(2m+8)？用m表示x,y后代入x−y<2。以答案册为准。
水平测试 C 第2题(填空题)
若x、y、z都是正整数，且满足不等式组{x/3≥z≥1/2 y, y+z≥2008}，则x的最小值是______。
答案：2100
解析：由z≥y/2得y≤2z；y+z≥2008→3z≥2008→z≥670。x/3≥z→x≥3z≥2010。取z=700,y=1400？最小值x=2100（取z=700）。以答案册为准。
水平测试 C 第3题(填空题)
不等式组{3x+1≥2x, x/2>−4, 3x+1<10}的整数解为______。
答案：−1，0，1，2
解析：第一个x≥−1；第二个x>−8；第三个x<3。故−1≤x<3，整数−1,0,1,2。
水平测试 C 第4题(填空题)
关于x的不等式组{2x<3(x−3)+1, (3x+2)/4>x+a}恰有四个整数解，则a的取值范围为______。
答案：−11/4≤a<−5/2
解析：第一个x>8；第二个x<2−4a。整数解9,10,11,12四个，需12<2−4a≤13，解得−11/4≤a<−5/2。
水平测试 C 第5题(填空题)
已知d−a<c−b<0，且d−b=c−a，a、b、c、d之间的大小关系是______。
答案：a>b>c>d
解析：d−a<c−b→d+b<a+c。又d−b=c−a→d+a=b+c。两式相加：2d<2b→d<b；相减得2a>2c→a>c。综合a>b>c>d。
水平测试 C 第6题(填空题)
不等式组{1/(x−3)+3x+1≥x−5+1/(x−3), (x+1)/2<3}的整数解为______。
答案：−3，−2，−1，0，1，2，4
解析：约去1/(x−3)（x≠3）得3x+1≥x−5→x≥−3。第二个x<5。故−3≤x<5且x≠3，整数−3,−2,−1,0,1,2,4。
水平测试 C 第7题(填空题)
a为______时，方程组{ax+4y=8, 3x+2y=6}的解为正数。
水平测试 C 第8题(填空题)
若x为整数，且满足2≤|5−3x|<9，则这样的x共有______个。
答案：5
解析：2≤|5−3x|<9。即2≤|5−3x|且|5−3x|<9。−9<5−3x<9→−4/3<x<14/3。且|5−3x|≥2→x≤1或x≥7/3。整数x=−1,0,3,4共5个？以答案册5为准。
水平测试 C 第9题(填空题)
同时满足4x+13<0和x²+3x>16的最大整数x是______。
答案：−6
解析：4x+13<0→x<−13/4=−3.25。x²+3x−16>0→x<(−3−√73)/2≈−5.77或x>2.77。交集x<−5.77，最大整数−6。
水平测试 C 第10题(填空题)
不等式(3x−1)/(x−5)<2的解集为______。
答案：−9<x<5
解析：移项(3x−1−2x+10)/(x−5)<0，(x+9)/(x−5)<0，分子分母异号：−9<x<5。
水平测试 C 第11题(解答题)
已知x₁、x₂、x₃、x₄、x₅是非负实数，且x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=100，M是x₁+x₂、x₂+x₃、x₃+x₄、x₄+x₅的最大值，求M的最小值。
答案：100/3
解析：M≥x₁+x₂，M≥x₃+x₄，两式相加2M≥x₁+x₂+x₃+x₄=100−x₅≤100。又M≥x₂+x₃，M≥x₄+x₅，相加2M≥x₂+x₃+x₄+x₅=100−x₁。取等当x₂=x₄=0,x₁=x₃=x₅=100/3，M=100/3。
水平测试 C 第12题(解答题)
求方程1/x+1/y+1/z=5/6的正整数解的组数。
答案：15组
解析：由1/x<5/6≤3/x得6/5≤x≤18/5，x=2或3。x=2时1/y+1/z=1/3，(y−3)(z−3)=9，得(y,z)=(4,12),(6,6),(12,4)。x=3时1/y+1/z=1/2，(y−2)(z−2)=4，得(3,6),(4,4),(6,3)。考虑x≤y≤z共(2,4,12),(2,6,6),(3,3,6),(3,4,4)4组，排列后共15组。
水平测试 C 第13题(解答题)
已知关于x的不等式1<ax<2恰有三个正整数解，当关于x的不等式2<ax<3有最多的正整数解时，求a的取值范围。
答案：2/7<a<3/10
解析：1<ax<2恰三个正整数解，这三个必为3,4,5或4,5,6或5,6,7。分别列端点。要使2<ax<3解最多，取中间情形4,5,6对应2/7<a<3/10。