奥数精讲与测试1—6年级全套课程
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【学生版】第2讲 · 分数的计算

六年级奥数 · 教材第11–20页（第2讲全讲）

一、知识要点

分数四则常规运算与带分数拆分

本质：同分母直接加减，异分母先通分；乘法分子乘分子、分母乘分母；除法乘倒数。带分数先拆成整数部分与真分数部分，分别求和。
带分数拆成整数+真分数 整数部分：19+9+7+3+8+4=50 真分数：1/2+1/4+1/8+1/16+1/32 真分数用错位相减 = 1−1/32 = 31/32 结果 = 50(31/32)

裂项法（拆分抵消）

本质：四个基本公式：①1/[n(n+1)]=1/n−1/(n+1)；②1/[n(n+k)]=(1/k)(1/n−1/(n+k))；③1/[n(n+1)(n+2)]=(1/2)[1/(n(n+1))−1/((n+1)(n+2))]；④(n²+(n+1)²)/[n(n+1)]=n/(n+1)+(n+1)/n。
裂项抵消链（以1/(1×2)+…+1/(2019×2020)为例） = (1−1/2) + (1/2−1/3) + (1/3−1/4) + … + (1/2019−1/2020) 中间项 −1/2+1/2、−1/3+1/3 … 全部抵消 = 1 − 1/2020 = 2019/2020 间隔k时：别忘乘 1/k

换元法（把长算式设成字母）

本质：当两个乘积式中出现相同的长串加减式时，把相同部分设为A、B，原式化为含A、B的多项式，展开后交叉项抵消。
换元法结构 设 A=1/2+1/3+1/4+1/5，B=1/2+1/3+1/4 原式=(1+B)·A − (1+A)·B = A+AB−B−AB = A−B A−B = 1/5（多出来的那一项）

结构识别与提取公因数

本质：观察算式中是否有反复出现的相同结构：分母与分子差一个常数、各项共享同一因数、分子分母成比例。识别后整体提取或约掉，不必逐项硬算。
典例A2：分母=分子（结构相同） 分子：3.4×69 + 3.5 分母：3.5×69 − 3.4 = (3.4+0.1)×69 − 3.4 = 3.4×69 + 6.9 − 3.4 = 3.4×69 + 3.5 分子/分母=1，原式=2022×1=2022

二、典例精讲

典例 A1
计算：19 + 9½ + 7¼ + 3⅛ + 8(1/16) + 4(1/32)。
典例 A2
计算：2022 × (3.4×69+3.5)/(3.5×69−3.4)。
典例 A3
计算：1/4×(4.85÷5/18 − 3.6 + 6.15×3⅗) + [5.5 − 1.75×(1⅔+19/21)]。
典例 A4
计算：1 − (101010/202020)²×(202020/303030)²×(303030/505050)²×(555555/777777)²。
典例 B1
计算：(1+1/2+1/3+1/4)×(1/2+1/3+1/4+1/5) − (1+1/2+1/3+1/4+1/5)×(1/2+1/3+1/4)。
典例 B2
计算：(1(5/99)+3(5/33)+9(5/11)) ÷ (1(1/99)+3(1/33)+9(1/11))。
典例 B3
计算：1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+…+1/(2019×2020)。
典例 C1
计算：1 − 2/[1×(1+2)] − 3/[(1+2)×(1+2+3)] − 4/[(1+2+3)×(1+2+3+4)] − … − 100/[(1+2+…+99)×(1+2+…+100)]。
典例 C2
规定 n! = n×(n−1)×…×3×2×1（读作n的阶乘）。求：1/(1!×3)+1/(2!×4)+1/(3!×5)+…+1/(99!×101)。

三、水平测试

A层

水平测试 A 第1题(填空题)
计算：2022½ − 1⅓ + 2½ − 3⅓ + 4½ − 5⅓ + … + 2020½ − 2021⅓ = ______。（将整数部分与分数部分分开计算）
水平测试 A 第2题(填空题)
计算：1 − 1/2 − 1/20 − 1/200 − 1/2000 − 1/20000 = ______。
水平测试 A 第3题(填空题)
计算：(1+7/33)+(1+7/33×2)+(1+7/33×3)+…+(1+7/33×11) = ______。
水平测试 A 第4题(填空题)
计算：1½ + 2⅓ + 3¼ + 4⅕ + 5⅙ + 6⅐ + 7⅛ = ______。
水平测试 A 第5题(填空题)
计算：1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 = ______。
水平测试 A 第6题(填空题)
计算：1/6 + 1/24 + 1/60 + 1/40 = ______。
水平测试 A 第7题(填空题)
计算：1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 = ______。
水平测试 A 第8题(填空题)
计算：1/2 + 1/3 + 2/3 + 1/4 + 2/4 + 3/4 + 1/5 + 2/5 + … + 1/50 + 2/50 + … + 49/50 = ______。（同分母相加）
水平测试 A 第9题(填空题)
计算：1/2 − 1/6 − 1/12 − 1/20 − 1/30 − 1/42 = ______。
水平测试 A 第10题(填空题)
计算：1/(5×7) + 1/(7×9) + 1/(9×11) + 1/(11×13) + 1/(13×15) = ______。
水平测试 A 第11题(解答题)
计算：(1+1/2+1/4+1/8)×(1/2+1/4+1/8+1/16) − (1+1/2+1/4+1/8+1/16)×(1/2+1/4+1/8)。
水平测试 A 第12题(解答题)
计算：99¾ + 199¾ + 2999¾ + 39999¾ + 1。
水平测试 A 第13题(解答题)
计算：7(5/6) − 6(7/12) + 5(9/20) − 4(11/30) + 3(13/42) − 2(15/56) + 1(17/72)。

B层

水平测试 A 第1题(填空题)
计算：2022½ − 1⅓ + 2½ − 3⅓ + 4½ − 5⅓ + … + 2020½ − 2021⅓ = ______。（将整数部分与分数部分分开计算）
水平测试 A 第2题(填空题)
计算：1 − 1/2 − 1/20 − 1/200 − 1/2000 − 1/20000 = ______。
水平测试 A 第3题(填空题)
计算：(1+7/33)+(1+7/33×2)+(1+7/33×3)+…+(1+7/33×11) = ______。
水平测试 A 第4题(填空题)
计算：1½ + 2⅓ + 3¼ + 4⅕ + 5⅙ + 6⅐ + 7⅛ = ______。
水平测试 A 第5题(填空题)
计算：1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 = ______。
水平测试 A 第6题(填空题)
计算：1/6 + 1/24 + 1/60 + 1/40 = ______。
水平测试 A 第7题(填空题)
计算：1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 = ______。
水平测试 A 第8题(填空题)
计算：1/2 + 1/3 + 2/3 + 1/4 + 2/4 + 3/4 + 1/5 + 2/5 + … + 1/50 + 2/50 + … + 49/50 = ______。（同分母相加）
水平测试 A 第9题(填空题)
计算：1/2 − 1/6 − 1/12 − 1/20 − 1/30 − 1/42 = ______。
水平测试 A 第10题(填空题)
计算：1/(5×7) + 1/(7×9) + 1/(9×11) + 1/(11×13) + 1/(13×15) = ______。
水平测试 A 第11题(解答题)
计算：(1+1/2+1/4+1/8)×(1/2+1/4+1/8+1/16) − (1+1/2+1/4+1/8+1/16)×(1/2+1/4+1/8)。
水平测试 A 第12题(解答题)
计算：99¾ + 199¾ + 2999¾ + 39999¾ + 1。
水平测试 A 第13题(解答题)
计算：7(5/6) − 6(7/12) + 5(9/20) − 4(11/30) + 3(13/42) − 2(15/56) + 1(17/72)。
水平测试 B 第1题(填空题)
计算：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 = ______。
水平测试 B 第2题(填空题)
计算：1 + 1/(1+2) + 1/(1+2+3) + … + 1/(1+2+…+10) = ______。
水平测试 B 第3题(填空题)
计算：[(49/12 − 63/20 + 77/30 − 91/42 + 105/56) − 3(1/6)] ÷ 1/24 = ______。
水平测试 B 第4题(填空题)
计算：1 + 3(1/6) + 5(1/12) + 7(1/20) + 9(1/30) + 11(1/42) = ______。
水平测试 B 第5题(填空题)
计算：1/(1×4) + 1/(4×7) + 1/(7×10) + 1/(10×13) + … + 1/(97×100) = ______。
水平测试 B 第6题(填空题)
计算：2022/(2022² − 2021×2023) + 6 = ______。
水平测试 B 第7题(填空题)
有30个数：1.65，1.65+1/30，1.65+2/30，…，1.65+28/30，1.65+29/30。如果取每个数的整数部分，并将这些数相加，其和是______。
水平测试 B 第8题(填空题)
计算：(1³+2³+3³+…+1009³+1010³)/(2³+4³+6³+…+2018³+2020³) = ______。
水平测试 B 第9题(填空题)
计算：[1.2×3.6×10.8 + 2×6×18 + (1/13)(3/13)(9/13)] / [1.2×2.4×4.8 + 2×4×8 + (1/13)(2/13)(4/13)] = ______。
水平测试 B 第10题(填空题)
计算：2 − (101010/202020)²×(202020/303030)²×(333033/555055)²×(555555/777777)² = ______。
水平测试 B 第11题(解答题)
计算：1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/31 + 1/62 + 1/124 + 1/248 + 1/496。
水平测试 B 第12题(解答题)
求所有分母不超过40的真分数的和：1/2 + (1/3+2/3) + (1/4+2/4+3/4) + … + (1/40+2/40+…+38/40+39/40)。

C层

水平测试 A 第1题(填空题)
计算：2022½ − 1⅓ + 2½ − 3⅓ + 4½ − 5⅓ + … + 2020½ − 2021⅓ = ______。（将整数部分与分数部分分开计算）
水平测试 A 第2题(填空题)
计算：1 − 1/2 − 1/20 − 1/200 − 1/2000 − 1/20000 = ______。
水平测试 A 第3题(填空题)
计算：(1+7/33)+(1+7/33×2)+(1+7/33×3)+…+(1+7/33×11) = ______。
水平测试 A 第4题(填空题)
计算：1½ + 2⅓ + 3¼ + 4⅕ + 5⅙ + 6⅐ + 7⅛ = ______。
水平测试 A 第5题(填空题)
计算：1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 = ______。
水平测试 A 第6题(填空题)
计算：1/6 + 1/24 + 1/60 + 1/40 = ______。
水平测试 A 第7题(填空题)
计算：1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 = ______。
水平测试 A 第8题(填空题)
计算：1/2 + 1/3 + 2/3 + 1/4 + 2/4 + 3/4 + 1/5 + 2/5 + … + 1/50 + 2/50 + … + 49/50 = ______。（同分母相加）
水平测试 A 第9题(填空题)
计算：1/2 − 1/6 − 1/12 − 1/20 − 1/30 − 1/42 = ______。
水平测试 A 第10题(填空题)
计算：1/(5×7) + 1/(7×9) + 1/(9×11) + 1/(11×13) + 1/(13×15) = ______。
水平测试 A 第11题(解答题)
计算：(1+1/2+1/4+1/8)×(1/2+1/4+1/8+1/16) − (1+1/2+1/4+1/8+1/16)×(1/2+1/4+1/8)。
水平测试 A 第12题(解答题)
计算：99¾ + 199¾ + 2999¾ + 39999¾ + 1。
水平测试 A 第13题(解答题)
计算：7(5/6) − 6(7/12) + 5(9/20) − 4(11/30) + 3(13/42) − 2(15/56) + 1(17/72)。
水平测试 C 第1题(填空题)
计算：1/3 + 1/15 + 1/35 + 1/63 + 1/99 = ______。
水平测试 C 第2题(填空题)
计算：(1+1/2)×(1+1/4)×(1+1/6)×(1+1/8)×(1+1/10)×(1−1/3)×(1−1/5)×(1−1/7)×(1−1/9) = ______。
水平测试 C 第3题(填空题)
计算：(1/3+1/6+1/12+1/24+1/48+1/96+1/192+1/384)×128 = ______。
水平测试 C 第4题(填空题)
计算：1/2 + (1/3+2/3) + (1/4+2/4+3/4) + … + (1/60+2/60+…+58/60+59/60) = ______。
水平测试 C 第5题(填空题)
计算：(1/2+1/3+…+1/2017)×(1+1/2+…+1/2016) − (1+1/2+…+1/2017)×(1/2+1/3+…+1/2016)。
水平测试 C 第6题(填空题)
已知 1/[n(n+1)] = 1/n − 1/(n+1)，且 1/2+1/6+1/12+…+1/[n(n+1)] = 2017/2018，则 n = ______。
水平测试 C 第7题(填空题)
计算：(531/135+579/357+753/975)×(579/357+753/975+135/531) − (531/135+579/357+753/975+135/531)×(579/357+753/975) = ______。
水平测试 C 第8题(填空题)
按一定规律排着一串数：1/1, 1/2, 2/2, 1/3, 2/3, 3/3, 1/4, 2/4, 3/4, 4/4, …, 1/100, 2/100, …, 100/100。这些数的总和=______。
水平测试 C 第9题(填空题)
和式 2/[1×(1+2)] + 3/[(1+2)×(1+2+3)] + 4/[(1+2+3)×(1+2+3+4)] + … + 100/[(1+2+…+99)×(1+2+…+100)]。化简后得到一个最简分数，其分母与分子之差为______。
水平测试 C 第10题(填空题)
计算：1 + 1/(1+2) + 1/(1+2+3) + … + 1/(1+2+…+100) = ______。
水平测试 C 第11题(解答题)
计算：1949×(1/69−1/2018) + 69×(1/1949−1/2018) − 2018×(1/1949+1/69) + 1003。
水平测试 C 第12题(解答题)
计算：1 + 1/3 + 1/3² + 1/3³ + … + 1/3⁹⁹ + 1/3¹⁰⁰。
水平测试 C 第13题(解答题)
计算：(10⁴+64)(18⁴+64)(26⁴+64)(34⁴+64) / [(6⁴+64)(14⁴+64)(22⁴+64)(30⁴+64)]。
水平测试 C 第14题(解答题)
计算：(7²+1)/(7²−1) + (9²+1)/(9²−1) + (11²+1)/(11²−1) + … + (99²+1)/(99²−1)。