奥数精讲与测试1—6年级全套课程
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【教师版】第2讲 · 分数的计算

六年级奥数 · 教材第11–20页（第2讲全讲）

一、知识要点

分数四则常规运算与带分数拆分

本质：同分母直接加减，异分母先通分；乘法分子乘分子、分母乘分母；除法乘倒数。带分数先拆成整数部分与真分数部分，分别求和。
带分数拆成整数+真分数 整数部分：19+9+7+3+8+4=50 真分数：1/2+1/4+1/8+1/16+1/32 真分数用错位相减 = 1−1/32 = 31/32 结果 = 50(31/32)
适用：当算式是一串带分数相加减时（如典例A1、Test A4），先把所有整数加起来，再把真分数部分单独求和，真分数部分往往能用裂项或错位相减。
  1. 典例A1：整数部分19+9+7+3+8+4=50；真分数部分1/2+1/4+1/8+1/16+1/32。
  2. 真分数是公比1/2的等比数列，补一个1/32再减去：和=1−1/32=31/32。
  3. 所以原式=50+31/32=50(31/32)。
典型错误：把带分数整体通分硬算，量大数据易错；忘了真分数部分可错位相减。

裂项法（拆分抵消）

本质：四个基本公式：①1/[n(n+1)]=1/n−1/(n+1)；②1/[n(n+k)]=(1/k)(1/n−1/(n+k))；③1/[n(n+1)(n+2)]=(1/2)[1/(n(n+1))−1/((n+1)(n+2))]；④(n²+(n+1)²)/[n(n+1)]=n/(n+1)+(n+1)/n。
裂项抵消链（以1/(1×2)+…+1/(2019×2020)为例） = (1−1/2) + (1/2−1/3) + (1/3−1/4) + … + (1/2019−1/2020) 中间项 −1/2+1/2、−1/3+1/3 … 全部抵消 = 1 − 1/2020 = 2019/2020 间隔k时：别忘乘 1/k
适用：当每一项分母是两个（或三个）连续整数之积、且分子恰好等于分母两因子之差时，直接裂项，中间项全部抵消。如Test A5分母2,6,12,20,30,42,56=n(n+1)，直接套①。
  1. 公式①：1/(2×3)=1/2−1/3=1/6，验证成立。
  2. 公式②：1/(5×7)=(1/2)(1/5−1/7)=(1/2)×(2/35)=1/35，验证成立。Test A10正是此型。
  3. 典例B3：1/(1×2)+…+1/(2019×2020)=1−1/2020=2019/2020。
  4. Test C5：1/6+1/24+1/60 对应 1/(2×3)+1/(3×8)…需先识别分母=三个连续整数积，套③再补1/40。
典型错误：间隔为k时忘记乘1/k；或把分母n(n+1)(n+2)的系数1/2漏掉。

换元法（把长算式设成字母）

本质：当两个乘积式中出现相同的长串加减式时，把相同部分设为A、B，原式化为含A、B的多项式，展开后交叉项抵消。
换元法结构 设 A=1/2+1/3+1/4+1/5，B=1/2+1/3+1/4 原式=(1+B)·A − (1+A)·B = A+AB−B−AB = A−B A−B = 1/5（多出来的那一项）
适用：典例B1、Test C5/C7：形如 (1+B)A−(1+A)B 的结构，设 A=长串、B=另一长串，展开得 A−B，差值就是多出来的那一项。
  1. 典例B1：两个乘积式都含 1/2+1/3+1/4，且分别多一个1和1/5，正是 (1+B)A−(1+A)B 型。
  2. 展开：A+AB−B−AB，AB抵消，剩A−B=1/5。
  3. Test C5：(1/2+…+1/2017)(1+1/2+…+1/2016)−(1+…+1/2017)(1/2+…+1/2016)，同理=1/2017。
典型错误：只设一个字母，没区分“多一项”和“少一项”，导致展开后无法抵消。

结构识别与提取公因数

本质：观察算式中是否有反复出现的相同结构：分母与分子差一个常数、各项共享同一因数、分子分母成比例。识别后整体提取或约掉，不必逐项硬算。
典例A2：分母=分子（结构相同） 分子：3.4×69 + 3.5 分母：3.5×69 − 3.4 = (3.4+0.1)×69 − 3.4 = 3.4×69 + 6.9 − 3.4 = 3.4×69 + 3.5 分子/分母=1，原式=2022×1=2022
适用：典例A2：分母3.5×69−3.4与分子3.4×69+3.5实为同一式；典例B2：三组带分数共享1+3+9=13；Test B9：分子分母共享 1×3×9 与 1×2×4 的比例。
  1. 典例A2：把3.5写成3.4+0.1，分母=3.4×69+0.1×69−3.4=3.4×69+6.9−3.4=3.4×69+3.5=分子。
  2. 典例A3：3.6=3⅗=18/5，提取18/5后括号内4.85−1+6.15=10。
  3. Test B2：分子=分母+(11+12+…+20)，把多出部分夹在1/69与1/60之间估出整数部分。
典型错误：不观察结构，直接把3.4×69算成234.6，陷入大量小数乘法。

二、典例精讲

典例 A1
计算：19 + 9½ + 7¼ + 3⅛ + 8(1/16) + 4(1/32)。
训练点：带分数拆成整数与真分数两部分，真分数用错位相减。
提示：
1. 先把整数加起来：19+9+7+3+8+4=？
2. 真分数部分 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32，补一个1/32再减去，和是多少？
1整数部分：19+9+7+3+8+4=50。
依据：带分数拆开，整数归整数。
2真分数部分：1/2+1/4+1/8+1/16+1/32 = (1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/32)−1/32 = 1−1/32 = 31/32。
依据：错位相减：补1/32凑成1。
3原式=50+31/32。
依据：合并两部分。
答：50(31/32)
典型错法：化成假分数硬算，忘记真分数可错位相减。
典例 A2
计算：2022 × (3.4×69+3.5)/(3.5×69−3.4)。
训练点：结构识别：把分母改写成与分子相同。
提示：
1. 把分母中的3.5写成3.4+0.1，展开看看。
2. 分母=3.4×69+0.1×69−3.4，0.1×69=6.9，6.9−3.4=3.5。
1分母：3.5×69−3.4=(3.4+0.1)×69−3.4=3.4×69+6.9−3.4=3.4×69+3.5。
依据：3.5拆成3.4+0.1。
2所以分母=分子=3.4×69+3.5，分式=1。
依据：分子分母完全相同。
3原式=2022×1=2022。
依据：整体约分。
答：2022
典型错法：硬算小数乘积，结构相同却看不出。
典例 A3
计算：1/4×(4.85÷5/18 − 3.6 + 6.15×3⅗) + [5.5 − 1.75×(1⅔+19/21)]。
训练点：化统一因数18/5后提取公因数。
提示：
1. 5/18的倒数是18/5=3.6，而3⅗=18/5。括号里三项都含18/5吗？
2. 提取18/5后括号内=4.85−1+6.15=10。
14.85÷5/18=4.85×18/5，3.6=18/5，6.15×3⅗=6.15×18/5。
依据：统一成18/5。
2括号=18/5×(4.85−1+6.15)=18/5×10=36。
依据：提取公因数18/5。
3前半=1/4×36=9。后半：1.75×(1⅔+19/21)=7/4×(35/21+19/21)=7/4×54/21=7/4×18/7=4.5。
依据：1⅔=35/21。
4后半=5.5−4.5=1。原式=9+1=10。
依据：合并。
答：10
典型错法：不统一因数，逐项算小数。
典例 A4
计算：1 − (101010/202020)²×(202020/303030)²×(303030/505050)²×(555555/777777)²。
训练点：先约分每个分数，再连乘抵消。
提示：
1. 101010/202020=1/2，202020/303030=2/3，303030/505050=3/5，555555/777777=5/7。
2. 连乘后中间全部抵消，只剩(1/7)²。
1约分：原式=1−(1/2)²×(2/3)²×(3/5)²×(5/7)²。
依据：每个分数约去重复的101010等。
2=(1/2×2/3×3/5×5/7)²=(1/7)²=1/49。
依据：平方可提到外面，分子分母连乘抵消。
3原式=1−1/49=48/49。
依据：求差。
答：48/49
典型错法：不敢先约分，硬算六位数平方。
典例 B1
计算：(1+1/2+1/3+1/4)×(1/2+1/3+1/4+1/5) − (1+1/2+1/3+1/4+1/5)×(1/2+1/3+1/4)。
训练点：换元法：设两个长串为A、B。
提示：
1. 设 A=1/2+1/3+1/4+1/5，B=1/2+1/3+1/4。两个括号分别是什么？
2. 原式=(1+B)A−(1+A)B，展开后AB抵消。
1设 A=1/2+1/3+1/4+1/5，B=1/2+1/3+1/4。
依据：两个重复长串。
2原式=(1+B)A−(1+A)B=A+AB−B−AB=A−B。
依据：展开，AB抵消。
3A−B=1/5。
依据：A比B只多1/5。
答：1/5
典型错法：只设一个元，无法区分两个长串。
典例 B2
计算：(1(5/99)+3(5/33)+9(5/11)) ÷ (1(1/99)+3(1/33)+9(1/11))。
训练点：按公因数(1+3+9)提取，再约分。
提示：
1. 整数部分1,3,9；分数部分分母99,33,11=99/99,99/33,99/11。
2. 分子=(1+3+9)+5/99(1+3+9)=13(1+5/99)；分母=13(1+1/99)。
1分子整数和=1+3+9=13；分数=5/99+5/33+5/11=5/99(1+3+9)=5×13/99。分子=13(1+5/99)。
依据：33=99/3，11=99/9。
2分母=13(1+1/99)。
依据：同理。
3原式=(1+5/99)/(1+1/99)=(104/99)/(100/99)=104/100=26/25。
依据：13约掉。
答：26/25
典型错法：不提取公因数，通分硬算。
典例 B3
计算：1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+…+1/(2019×2020)。
训练点：标准裂项抵消。
提示：
1. 1/(n(n+1))=1/n−1/(n+1)。
2. 展开后中间全部抵消，剩首尾。
1原式=(1−1/2)+(1/2−1/3)+…+(1/2019−1/2020)。
依据：裂项公式。
2中间抵消=1−1/2020=2019/2020。
依据：只剩首尾。
答：2019/2020
典型错法：忘记裂项公式，硬通分。
典例 C1
计算：1 − 2/[1×(1+2)] − 3/[(1+2)×(1+2+3)] − 4/[(1+2+3)×(1+2+3+4)] − … − 100/[(1+2+…+99)×(1+2+…+100)]。
训练点：识别通项，把每一项裂成两个相邻三角数倒数之差。
提示：
1. 记 S_n=1+2+…+n=n(n+1)/2。第n项分子=n，分母=S_{n-1}·S_n。
2. 1/S_{n-1}−1/S_n=(S_n−S_{n-1})/(S_{n-1}S_n)=n/(S_{n-1}S_n)，正是这一项。
1记 S_n=1+…+n。第n项=n/(S_{n-1}S_n)=1/S_{n-1}−1/S_n。
依据：S_n−S_{n-1}=n。
2原式=1−(1/S_1−1/S_2)−(1/S_2−1/S_3)−…−(1/S_99−1/S_100)。
依据：逐项裂。
3中间抵消=1/S_100=1/5050。
依据：S_100=100×101/2=5050。
答：1/5050
典型错法：不识别三角数通项，硬算每一项。
典例 C2
规定 n! = n×(n−1)×…×3×2×1（读作n的阶乘）。求：1/(1!×3)+1/(2!×4)+1/(3!×5)+…+1/(99!×101)。
训练点：阶乘裂项：把1/[n!(n+2)]配成相邻阶乘倒数之差。
提示：
1. 第n项=1/[n!(n+2)]，分子分母同乘(n+1)得 (n+1)/(n+2)!。
2. (n+1)/(n+2)!=(n+2−1)/(n+2)!=1/(n+1)!−1/(n+2)!。
1第n项=1/[n!(n+2)]=(n+1)/(n+2)!=(n+2−1)/(n+2)!=1/(n+1)!−1/(n+2)!。
依据：配凑裂项。
2原式=1/2!−1/3!+1/3!−1/4!+…+1/100!−1/101!。
依据：逐项裂。
3中间抵消=1/2!−1/101!=1/2−1/101!。
依据：只剩首尾。
答：1/2 − 1/101!
典型错法：不会配凑(n+1)，无法裂项。

三、水平测试

A层

水平测试 A 第1题(填空题)
计算：2022½ − 1⅓ + 2½ − 3⅓ + 4½ − 5⅓ + … + 2020½ − 2021⅓ = ______。（将整数部分与分数部分分开计算）
答案：1179.5
解析：整数部分=(2−1)+(4−3)+…+(2022−2021)=1×(2022÷2)=1011；分数部分=(1/2−1/3)×1011=1/6×1011=168.5。合计=1179.5。
水平测试 A 第2题(填空题)
计算：1 − 1/2 − 1/20 − 1/200 − 1/2000 − 1/20000 = ______。
答案：0.44445
解析：提取1/2：原式=1/2×(2−1−1/10−1/100−1/1000−1/10000)=1/2×[1−(0.1+0.01+0.001+0.0001)]=1/2×(1−0.1111)=0.44445。
水平测试 A 第3题(填空题)
计算：(1+7/33)+(1+7/33×2)+(1+7/33×3)+…+(1+7/33×11) = ______。
答案：25
解析：11个括号，整数和=11；分数=7/33×(1+2+…+11)=7/33×66=14。合计=25。
水平测试 A 第4题(填空题)
计算：1½ + 2⅓ + 3¼ + 4⅕ + 5⅙ + 6⅐ + 7⅛ = ______。
答案：29(201/280)
解析：整数和=1+2+…+7=28；真分数=1/2+1/3+…+1/8。其中1/2+1/3+1/6=1，其余1/4+1/5+1/7+1/8=(70+56+40+35)/280=201/280。合计=28+1+201/280=29(201/280)。
水平测试 A 第5题(填空题)
计算：1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 = ______。
答案：7/8
解析：分母=1×2,2×3,…,7×8。裂项=1−1/2+1/2−1/3+…+1/7−1/8=1−1/8=7/8。
水平测试 A 第6题(填空题)
计算：1/6 + 1/24 + 1/60 + 1/40 = ______。
答案：1/4
解析：前三个分母=1×2×3,2×3×4,3×4×5，用三重裂项：=1/2[(1/(1×2)−1/(2×3))+(1/(2×3)−1/(3×4))+(1/(3×4)−1/(4×5))]=1/2(1/2−1/20)=1/4−1/40，再加1/40=1/4。
水平测试 A 第7题(填空题)
计算：1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 = ______。
答案：5/14
解析：裂项=(1/2−1/3)+(1/3−1/4)+…+(1/6−1/7)=1/2−1/7=5/14。
水平测试 A 第8题(填空题)
计算：1/2 + 1/3 + 2/3 + 1/4 + 2/4 + 3/4 + 1/5 + 2/5 + … + 1/50 + 2/50 + … + 49/50 = ______。（同分母相加）
答案：612.5
解析：分母为d的所有真分数和=(1+2+…+(d−1))/d=(d−1)/2。原式=Σ_{d=2}^{50}(d−1)/2=(1+2+…+49)/2=1225/2=612.5。
水平测试 A 第9题(填空题)
计算：1/2 − 1/6 − 1/12 − 1/20 − 1/30 − 1/42 = ______。
答案：1/7
解析：原式=1/2−(1/2−1/3)−(1/3−1/4)−…−(1/6−1/7)=1/7。
水平测试 A 第10题(填空题)
计算：1/(5×7) + 1/(7×9) + 1/(9×11) + 1/(11×13) + 1/(13×15) = ______。
答案：1/15
解析：间隔为2，乘1/2：原式=1/2(1/5−1/7+1/7−1/9+…+1/13−1/15)=1/2(1/5−1/15)=1/15。
水平测试 A 第11题(解答题)
计算：(1+1/2+1/4+1/8)×(1/2+1/4+1/8+1/16) − (1+1/2+1/4+1/8+1/16)×(1/2+1/4+1/8)。
答案：1/16
解析：设A=1/2+1/4+1/8+1/16，B=1/2+1/4+1/8。原式=(1+B)A−(1+A)B=A−B=1/16。
水平测试 A 第12题(解答题)
计算：99¾ + 199¾ + 2999¾ + 39999¾ + 1。
答案：43300
解析：1拆成四个1/4，分别补：原式=(99¾+1/4)+(199¾+1/4)+(2999¾+1/4)+(39999¾+1/4)=100+200+3000+40000=43300。
水平测试 A 第13题(解答题)
计算：7(5/6) − 6(7/12) + 5(9/20) − 4(11/30) + 3(13/42) − 2(15/56) + 1(17/72)。
答案：4(11/18)
解析：整数部分=7−6+5−4+3−2+1=4；真分数=1/2+1/3−1/3−1/4+…+1/8+1/9=1/2+1/9=11/18（每个假分数n+(2n+1)/[n(n+1)]=(n+1)/n+n/(n+1)展开）。合计=4(11/18)。

B层

水平测试 A 第1题(填空题)
计算：2022½ − 1⅓ + 2½ − 3⅓ + 4½ − 5⅓ + … + 2020½ − 2021⅓ = ______。（将整数部分与分数部分分开计算）
答案：1179.5
解析：整数部分=(2−1)+(4−3)+…+(2022−2021)=1×(2022÷2)=1011；分数部分=(1/2−1/3)×1011=1/6×1011=168.5。合计=1179.5。
水平测试 A 第2题(填空题)
计算：1 − 1/2 − 1/20 − 1/200 − 1/2000 − 1/20000 = ______。
答案：0.44445
解析：提取1/2：原式=1/2×(2−1−1/10−1/100−1/1000−1/10000)=1/2×[1−(0.1+0.01+0.001+0.0001)]=1/2×(1−0.1111)=0.44445。
水平测试 A 第3题(填空题)
计算：(1+7/33)+(1+7/33×2)+(1+7/33×3)+…+(1+7/33×11) = ______。
答案：25
解析：11个括号，整数和=11；分数=7/33×(1+2+…+11)=7/33×66=14。合计=25。
水平测试 A 第4题(填空题)
计算：1½ + 2⅓ + 3¼ + 4⅕ + 5⅙ + 6⅐ + 7⅛ = ______。
答案：29(201/280)
解析：整数和=1+2+…+7=28；真分数=1/2+1/3+…+1/8。其中1/2+1/3+1/6=1，其余1/4+1/5+1/7+1/8=(70+56+40+35)/280=201/280。合计=28+1+201/280=29(201/280)。
水平测试 A 第5题(填空题)
计算：1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 = ______。
答案：7/8
解析：分母=1×2,2×3,…,7×8。裂项=1−1/2+1/2−1/3+…+1/7−1/8=1−1/8=7/8。
水平测试 A 第6题(填空题)
计算：1/6 + 1/24 + 1/60 + 1/40 = ______。
答案：1/4
解析：前三个分母=1×2×3,2×3×4,3×4×5，用三重裂项：=1/2[(1/(1×2)−1/(2×3))+(1/(2×3)−1/(3×4))+(1/(3×4)−1/(4×5))]=1/2(1/2−1/20)=1/4−1/40，再加1/40=1/4。
水平测试 A 第7题(填空题)
计算：1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 = ______。
答案：5/14
解析：裂项=(1/2−1/3)+(1/3−1/4)+…+(1/6−1/7)=1/2−1/7=5/14。
水平测试 A 第8题(填空题)
计算：1/2 + 1/3 + 2/3 + 1/4 + 2/4 + 3/4 + 1/5 + 2/5 + … + 1/50 + 2/50 + … + 49/50 = ______。（同分母相加）
答案：612.5
解析：分母为d的所有真分数和=(1+2+…+(d−1))/d=(d−1)/2。原式=Σ_{d=2}^{50}(d−1)/2=(1+2+…+49)/2=1225/2=612.5。
水平测试 A 第9题(填空题)
计算：1/2 − 1/6 − 1/12 − 1/20 − 1/30 − 1/42 = ______。
答案：1/7
解析：原式=1/2−(1/2−1/3)−(1/3−1/4)−…−(1/6−1/7)=1/7。
水平测试 A 第10题(填空题)
计算：1/(5×7) + 1/(7×9) + 1/(9×11) + 1/(11×13) + 1/(13×15) = ______。
答案：1/15
解析：间隔为2，乘1/2：原式=1/2(1/5−1/7+1/7−1/9+…+1/13−1/15)=1/2(1/5−1/15)=1/15。
水平测试 A 第11题(解答题)
计算：(1+1/2+1/4+1/8)×(1/2+1/4+1/8+1/16) − (1+1/2+1/4+1/8+1/16)×(1/2+1/4+1/8)。
答案：1/16
解析：设A=1/2+1/4+1/8+1/16，B=1/2+1/4+1/8。原式=(1+B)A−(1+A)B=A−B=1/16。
水平测试 A 第12题(解答题)
计算：99¾ + 199¾ + 2999¾ + 39999¾ + 1。
答案：43300
解析：1拆成四个1/4，分别补：原式=(99¾+1/4)+(199¾+1/4)+(2999¾+1/4)+(39999¾+1/4)=100+200+3000+40000=43300。
水平测试 A 第13题(解答题)
计算：7(5/6) − 6(7/12) + 5(9/20) − 4(11/30) + 3(13/42) − 2(15/56) + 1(17/72)。
答案：4(11/18)
解析：整数部分=7−6+5−4+3−2+1=4；真分数=1/2+1/3−1/3−1/4+…+1/8+1/9=1/2+1/9=11/18（每个假分数n+(2n+1)/[n(n+1)]=(n+1)/n+n/(n+1)展开）。合计=4(11/18)。
水平测试 B 第1题(填空题)
计算：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 = ______。
答案：1(63/64)
解析：设S=原式，2S=2+1+1/2+…+1/32。相减S=2−1/64=1(63/64)。
水平测试 B 第2题(填空题)
计算：1 + 1/(1+2) + 1/(1+2+3) + … + 1/(1+2+…+10) = ______。
答案：1(9/11)
解析：1/(1+…+n)=2/[n(n+1)]=2(1/n−1/(n+1))。原式=1+2(1/2−1/3+…+1/10−1/11)=1+2(1/2−1/11)=1(9/11)。
水平测试 B 第3题(填空题)
计算：[(49/12 − 63/20 + 77/30 − 91/42 + 105/56) − 3(1/6)] ÷ 1/24 = ______。
答案：1
解析：括号内每一项=7(1/3+1/4−1/4−1/5+1/5+1/6−1/6−1/7+1/7+1/8)=7(11/24)。原式=[7×11/24−19/6]×24=77−76=1。
水平测试 B 第4题(填空题)
计算：1 + 3(1/6) + 5(1/12) + 7(1/20) + 9(1/30) + 11(1/42) = ______。
答案：36(5/14)
解析：整数和=1+3+5+7+9+11=36；真分数=1/6+1/12+…+1/42=(1/2−1/3)+…+(1/6−1/7)=1/2−1/7=5/14。合计=36(5/14)。
水平测试 B 第5题(填空题)
计算：1/(1×4) + 1/(4×7) + 1/(7×10) + 1/(10×13) + … + 1/(97×100) = ______。
答案：33/100
解析：间隔3，乘1/3：原式=1/3(1−1/4+1/4−1/7+…+1/97−1/100)=1/3(1−1/100)=33/100。
水平测试 B 第6题(填空题)
计算：2022/(2022² − 2021×2023) + 6 = ______。
答案：2028
解析：分母=2022²−(2022−1)(2022+1)=2022²−(2022²−1)=1。原式=2022/1+6=2028。
水平测试 B 第7题(填空题)
有30个数：1.65，1.65+1/30，1.65+2/30，…，1.65+28/30，1.65+29/30。如果取每个数的整数部分，并将这些数相加，其和是______。
答案：49
解析：2−1.65=0.35=10.5/30，所以1.65+10/30整数部分为1，1.65+11/30起为2。和=1×11+2×19=49。
水平测试 B 第8题(填空题)
计算：(1³+2³+3³+…+1009³+1010³)/(2³+4³+6³+…+2018³+2020³) = ______。
答案：1/8
解析：分母=(2×1)³+(2×2)³+…+(2×1010)³=2³×(1³+…+1010³)。约分=1/8。
水平测试 B 第9题(填空题)
计算：[1.2×3.6×10.8 + 2×6×18 + (1/13)(3/13)(9/13)] / [1.2×2.4×4.8 + 2×4×8 + (1/13)(2/13)(4/13)] = ______。
答案：3(3/8)
解析：分子每项=1×3×9×(对应立方)，分母每项=1×2×4×(对应立方)。约去公共立方和，比值=27/8=3(3/8)。
水平测试 B 第10题(填空题)
计算：2 − (101010/202020)²×(202020/303030)²×(333033/555055)²×(555555/777777)² = ______。
答案：1(48/49)
解析：约分后=2−(1/2×2/3×3/5×5/7)²=2−1/49=1(48/49)。
水平测试 B 第11题(解答题)
计算：1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/31 + 1/62 + 1/124 + 1/248 + 1/496。
答案：15/16
解析：设S=原式。2S=1+1/2+1/4+2/31+1/31+1/62+1/124+1/248。相减S=1+2/31−1/8−1/496=465/496=15/16。
水平测试 B 第12题(解答题)
求所有分母不超过40的真分数的和：1/2 + (1/3+2/3) + (1/4+2/4+3/4) + … + (1/40+2/40+…+38/40+39/40)。
答案：390
解析：分母为d的真分数和=(d−1)/2。倒序相加：2S=(1+2+…+39)=780，S=390。

C层

水平测试 A 第1题(填空题)
计算：2022½ − 1⅓ + 2½ − 3⅓ + 4½ − 5⅓ + … + 2020½ − 2021⅓ = ______。（将整数部分与分数部分分开计算）
答案：1179.5
解析：整数部分=(2−1)+(4−3)+…+(2022−2021)=1×(2022÷2)=1011；分数部分=(1/2−1/3)×1011=1/6×1011=168.5。合计=1179.5。
水平测试 A 第2题(填空题)
计算：1 − 1/2 − 1/20 − 1/200 − 1/2000 − 1/20000 = ______。
答案：0.44445
解析：提取1/2：原式=1/2×(2−1−1/10−1/100−1/1000−1/10000)=1/2×[1−(0.1+0.01+0.001+0.0001)]=1/2×(1−0.1111)=0.44445。
水平测试 A 第3题(填空题)
计算：(1+7/33)+(1+7/33×2)+(1+7/33×3)+…+(1+7/33×11) = ______。
答案：25
解析：11个括号，整数和=11；分数=7/33×(1+2+…+11)=7/33×66=14。合计=25。
水平测试 A 第4题(填空题)
计算：1½ + 2⅓ + 3¼ + 4⅕ + 5⅙ + 6⅐ + 7⅛ = ______。
答案：29(201/280)
解析：整数和=1+2+…+7=28；真分数=1/2+1/3+…+1/8。其中1/2+1/3+1/6=1，其余1/4+1/5+1/7+1/8=(70+56+40+35)/280=201/280。合计=28+1+201/280=29(201/280)。
水平测试 A 第5题(填空题)
计算：1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 = ______。
答案：7/8
解析：分母=1×2,2×3,…,7×8。裂项=1−1/2+1/2−1/3+…+1/7−1/8=1−1/8=7/8。
水平测试 A 第6题(填空题)
计算：1/6 + 1/24 + 1/60 + 1/40 = ______。
答案：1/4
解析：前三个分母=1×2×3,2×3×4,3×4×5，用三重裂项：=1/2[(1/(1×2)−1/(2×3))+(1/(2×3)−1/(3×4))+(1/(3×4)−1/(4×5))]=1/2(1/2−1/20)=1/4−1/40，再加1/40=1/4。
水平测试 A 第7题(填空题)
计算：1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 = ______。
答案：5/14
解析：裂项=(1/2−1/3)+(1/3−1/4)+…+(1/6−1/7)=1/2−1/7=5/14。
水平测试 A 第8题(填空题)
计算：1/2 + 1/3 + 2/3 + 1/4 + 2/4 + 3/4 + 1/5 + 2/5 + … + 1/50 + 2/50 + … + 49/50 = ______。（同分母相加）
答案：612.5
解析：分母为d的所有真分数和=(1+2+…+(d−1))/d=(d−1)/2。原式=Σ_{d=2}^{50}(d−1)/2=(1+2+…+49)/2=1225/2=612.5。
水平测试 A 第9题(填空题)
计算：1/2 − 1/6 − 1/12 − 1/20 − 1/30 − 1/42 = ______。
答案：1/7
解析：原式=1/2−(1/2−1/3)−(1/3−1/4)−…−(1/6−1/7)=1/7。
水平测试 A 第10题(填空题)
计算：1/(5×7) + 1/(7×9) + 1/(9×11) + 1/(11×13) + 1/(13×15) = ______。
答案：1/15
解析：间隔为2，乘1/2：原式=1/2(1/5−1/7+1/7−1/9+…+1/13−1/15)=1/2(1/5−1/15)=1/15。
水平测试 A 第11题(解答题)
计算：(1+1/2+1/4+1/8)×(1/2+1/4+1/8+1/16) − (1+1/2+1/4+1/8+1/16)×(1/2+1/4+1/8)。
答案：1/16
解析：设A=1/2+1/4+1/8+1/16，B=1/2+1/4+1/8。原式=(1+B)A−(1+A)B=A−B=1/16。
水平测试 A 第12题(解答题)
计算：99¾ + 199¾ + 2999¾ + 39999¾ + 1。
答案：43300
解析：1拆成四个1/4，分别补：原式=(99¾+1/4)+(199¾+1/4)+(2999¾+1/4)+(39999¾+1/4)=100+200+3000+40000=43300。
水平测试 A 第13题(解答题)
计算：7(5/6) − 6(7/12) + 5(9/20) − 4(11/30) + 3(13/42) − 2(15/56) + 1(17/72)。
答案：4(11/18)
解析：整数部分=7−6+5−4+3−2+1=4；真分数=1/2+1/3−1/3−1/4+…+1/8+1/9=1/2+1/9=11/18（每个假分数n+(2n+1)/[n(n+1)]=(n+1)/n+n/(n+1)展开）。合计=4(11/18)。
水平测试 C 第1题(填空题)
计算：1/3 + 1/15 + 1/35 + 1/63 + 1/99 = ______。
答案：5/11
解析：分母=1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，间隔2：原式=1/2(1−1/3+1/3−1/5+…+1/9−1/11)=1/2(1−1/11)=5/11。
水平测试 C 第2题(填空题)
计算：(1+1/2)×(1+1/4)×(1+1/6)×(1+1/8)×(1+1/10)×(1−1/3)×(1−1/5)×(1−1/7)×(1−1/9) = ______。
答案：1(1/10)
解析：两两配对：(3/2×2/3)(5/4×4/5)(7/6×6/7)(9/8×8/9)×(1+1/10)=1×…×1(1/10)=1(1/10)。
水平测试 C 第3题(填空题)
计算：(1/3+1/6+1/12+1/24+1/48+1/96+1/192+1/384)×128 = ______。
答案：85
解析：括号内是公比1/2的等比，设为x，2x−x=2/3−1/384=255/384=85/128。×128=85。
水平测试 C 第4题(填空题)
计算：1/2 + (1/3+2/3) + (1/4+2/4+3/4) + … + (1/60+2/60+…+58/60+59/60) = ______。
答案：885
解析：分母为d的真分数和=(d−1)/2。倒序相加2S=1+2+…+59=1770，S=885。
水平测试 C 第5题(填空题)
计算：(1/2+1/3+…+1/2017)×(1+1/2+…+1/2016) − (1+1/2+…+1/2017)×(1/2+1/3+…+1/2016)。
答案：1/2017
解析：设a=1/2+…+1/2016，b=1+1/2+…+1/2016=a+1。原式=(a+1/2017)b−(b+1/2017)a=1/2017(b−a)=1/2017。
水平测试 C 第6题(填空题)
已知 1/[n(n+1)] = 1/n − 1/(n+1)，且 1/2+1/6+1/12+…+1/[n(n+1)] = 2017/2018，则 n = ______。
答案：2017
解析：左边裂项=1−1/(n+1)=2017/2018，故1/(n+1)=1/2018，n+1=2018，n=2017。
水平测试 C 第7题(填空题)
计算：(531/135+579/357+753/975)×(579/357+753/975+135/531) − (531/135+579/357+753/975+135/531)×(579/357+753/975) = ______。
答案：1
解析：设a=531/135，b=579/357+753/975，c=135/531。原式=(a+b)(b+c)−(a+b+c)b=ac=531/135×135/531=1。
水平测试 C 第8题(填空题)
按一定规律排着一串数：1/1, 1/2, 2/2, 1/3, 2/3, 3/3, 1/4, 2/4, 3/4, 4/4, …, 1/100, 2/100, …, 100/100。这些数的总和=______。
答案：2575
解析：分母为d的一组和=(1+…+d)/d=(d+1)/2。总和=Σ_{d=1}^{100}(d+1)/2=(2+3+…+101)/2=5150/2=2575。
水平测试 C 第9题(填空题)
和式 2/[1×(1+2)] + 3/[(1+2)×(1+2+3)] + 4/[(1+2+3)×(1+2+3+4)] + … + 100/[(1+2+…+99)×(1+2+…+100)]。化简后得到一个最简分数，其分母与分子之差为______。
答案：1
解析：每一项裂成1/S_{n-1}−1/S_n，和=1−1/5050=5049/5050，分母分子差=1。
水平测试 C 第10题(填空题)
计算：1 + 1/(1+2) + 1/(1+2+3) + … + 1/(1+2+…+100) = ______。
答案：1(99/101)
解析：1/(1+…+n)=2/[n(n+1)]=2(1/n−1/(n+1))。原式=1+2(1/2−1/3+…+1/100−1/101)=1+2(1/2−1/101)=1(99/101)。
水平测试 C 第11题(解答题)
计算：1949×(1/69−1/2018) + 69×(1/1949−1/2018) − 2018×(1/1949+1/69) + 1003。
答案：1000
解析：整理=(1/1949+1/69−1/2018)×(1949+69−2018)+1003。括号内1949+69−2018=0，故=1003−3=1000。
水平测试 C 第12题(解答题)
计算：1 + 1/3 + 1/3² + 1/3³ + … + 1/3⁹⁹ + 1/3¹⁰⁰。
答案：3/2 − 1/(2×3¹⁰⁰)
解析：错位相减：设S=原式，3S=3+1+1/3+…+1/3⁹⁹。3S−S=3−1/3¹⁰⁰，S=3/2−1/(2×3¹⁰⁰)。
水平测试 C 第13题(解答题)
计算：(10⁴+64)(18⁴+64)(26⁴+64)(34⁴+64) / [(6⁴+64)(14⁴+64)(22⁴+64)(30⁴+64)]。
答案：65
解析：用恒等式a⁴+64=[(a+2)²+4][(a−2)²+4]，相邻项首尾抵消，只剩(36²+4)/(4²+4)=1300/20=65。
水平测试 C 第14题(解答题)
计算：(7²+1)/(7²−1) + (9²+1)/(9²−1) + (11²+1)/(11²−1) + … + (99²+1)/(99²−1)。
答案：47(47/300)
解析：(n²+1)/(n²−1)=1+2/(n²−1)=1+1/(n−1)−1/(n+1)。n=7,9,…,99共47项。和=47+(1/6−1/8+1/8−1/10+…+1/98−1/100)=47+1/6−1/100=47(47/300)。

四、方法小结

分数计算的核心是“巧算”而非硬算。带分数先拆整数与真分数；分母为连续整数乘积时用裂项抵消（间隔k乘1/k）；出现重复长串用换元法化为(1+B)A−(1+A)B=A−B；等比数列用错位相减。做题前先观察结构：分子分母是否相同、各项是否共享公因数、分母是否成连续积。

五、作业建议

基础必做：
  • 教材P13 水平测试A 第1–6题（带分数拆分与基础裂项）
  • 教材P13 水平测试A 第7–10题（裂项与同分母求和）
巩固选做：
  • 教材P14 水平测试A 第11–13题（换元与补1凑整）
  • 教材P16 水平测试B 第1–6题（等比、裂项、估算）
  • 教材P16–17 水平测试B 第7–12题（综合应用）
提高挑战：
  • 教材P18–19 水平测试C 第1–6题（高阶裂项与换元）
  • 教材P19–20 水平测试C 第7–14题（阶乘裂项、a⁴+64因式分解、综合）

六、课堂错因定位

症状：看到长串分数就通分硬算
根因：不熟裂项公式，没识别分母是连续整数乘积。
补救：用知识模块“裂项抵消链”图反复练：先看分母能否写成n(n+1)。
症状：间隔为k时忘乘1/k
根因：只记住1/[n(n+1)]=1/n−1/(n+1)，没推广到间隔k。
补救：用Test A10(间隔2)、B5(间隔3)专门练系数。
症状：换元只设一个字母
根因：没区分两个长串“多一项”和“少一项”。
补救：典例B1分步：先写A=…+1/5，B=…（到1/4），再代入。
症状：带分数不拆分直接算
根因：不习惯整数与真分数分开求和。
补救：典例A1、Test A4示范：整数先加，真分数再裂项。
症状：不观察结构，硬算大数
根因：缺乏结构识别训练。
补救：典例A2、B2：先问“分子分母有没有相同部分”。