奥数精讲与测试1—6年级全套课程
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【学生版】第20讲 · 含绝对值的方程与不等式

六年级奥数 · 教材第178–186页（第20讲全讲）

一、知识要点

绝对值的代数意义与几何意义

本质：|a|表示数轴上数a到原点的距离，恒非负；互为相反数的两个数绝对值相等。|a−b|表示数轴上a、b两点间的距离。
0 −a a |a| = a到原点距离 = |−a| |a−b| 就是 a、b 两点之间的线段长度

零点分段法（核心方法）

本质：令每个绝对值内的式子为0求零点，把数轴分成若干段；逐段根据正负去绝对值符号，化为普通方程/不等式求解，并检验解是否落在本段内。
零点分段：x=−1/2 和 x=2 分三段 −1/2 2 ① x<−1/2 ② −1/2≤x<2 ③ x≥2 两段取负 一负一正 两段取正

|x|<a 与 |x|>a 的转化

本质：当a>0时：|x|<a ⟺ −a<x<a；|x|>a ⟺ x<−a或x>a。两边都非负时可平方：|A|<|B| ⟺ A²<B²。
−a a |x|<a：中间一段 (−a, a) |x|>a：两侧 x<−a 或 x>a

嵌套绝对值：从内向外逐层去符号

本质：方程有两层绝对值时，先令内层为0找分界点，分段去掉内层绝对值，把方程化为只含一层绝对值的普通方程，再继续去外层。
|x − |2x+1| | = 3：先剥内层 |2x+1| x>−1/2：外层=|x+1|=3 x<−1/2：外层=|3x+1|=3 逐段解出后必须用本段范围取舍

几何意义法：距离和与距离差的最值

本质：|x−a|+|x−b|的最小值是|a−b|（x在a、b之间取到）；|x−a|−|x−b|的最大值是|a−b|、最小值是−|a−b|。多个绝对值求和时用“中位数点”取最小。
a b x在a、b之间：距离和=|a−b|（最小） x在外侧：距离和=|a−b|+2×外侧距离

二、典例精讲

典例 A1
解方程 |x−2|+|2x+1|=7。
−1/2 2 方程 |x−2|+|2x+1|=7，找零点分段
典例 A2
求方程 |x−|2x+1||=3 的不同的解的个数。
典例 A3
若关于x的方程 ||x−2|−1|=a 有三个整数解，则a的值是多少？
典例 B1
解方程组：{|x−y|=x+y−2, ① |x+y|=x+2。 ②
典例 B2
解不等式 1<|3x+4|≤6。
典例 B3
解不等式 |x|<|x−1|。
典例 C1
解不等式 |2−3x|+|2x−1|+|4x−3|<1。
典例 C2
解不等式 |2x−3|>x。
典例 C3
求 |x−1|+|2x−1|+|3x−1|+…+|2015x−1|+|2016x−1| 取得最小值时，x的取值。

三、水平测试

A层

水平测试 A 第1题(填空题)
方程 |x+2|−|x|=x 的解是______。
水平测试 A 第2题(填空题)
方程 |3x−2|=−|5x−3| 的解是______。
水平测试 A 第3题(填空题)
方程 |4x−5|=7 的解是______。
水平测试 A 第4题(填空题)
方程 |2x−3|−3x=1 的解是______。
水平测试 A 第5题(填空题)
不等式 |2x+5|≤10 的解集是______。
水平测试 A 第6题(填空题)
不等式 |3x+1|>2x 的解集是______。
水平测试 A 第7题(填空题)
不等式 |x−1|>5 的解集是______。
水平测试 A 第8题(填空题)
若 |x−y|=y−x，且|x|=3，|y|=4，则(y−x)³=______。
水平测试 A 第9题(填空题)
若0<x<10，则满足条件|x−3|=a的所有整数a的值的和为______。
水平测试 A 第10题(填空题)
已知方程|x|=ax+1有一负根，且无正根，则a的取值范围是______。
水平测试 A 第11题(解答题)
解不等式：|x+3|−|2x−1|<x/2+1。
水平测试 A 第12题(解答题)
解方程组：{6x−3y−2|x+y|=1, 3|x+y|−4x+2y=11。

B层

水平测试 A 第1题(填空题)
方程 |x+2|−|x|=x 的解是______。
水平测试 A 第2题(填空题)
方程 |3x−2|=−|5x−3| 的解是______。
水平测试 A 第3题(填空题)
方程 |4x−5|=7 的解是______。
水平测试 A 第4题(填空题)
方程 |2x−3|−3x=1 的解是______。
水平测试 A 第5题(填空题)
不等式 |2x+5|≤10 的解集是______。
水平测试 A 第6题(填空题)
不等式 |3x+1|>2x 的解集是______。
水平测试 A 第7题(填空题)
不等式 |x−1|>5 的解集是______。
水平测试 A 第8题(填空题)
若 |x−y|=y−x，且|x|=3，|y|=4，则(y−x)³=______。
水平测试 A 第9题(填空题)
若0<x<10，则满足条件|x−3|=a的所有整数a的值的和为______。
水平测试 A 第10题(填空题)
已知方程|x|=ax+1有一负根，且无正根，则a的取值范围是______。
水平测试 A 第11题(解答题)
解不等式：|x+3|−|2x−1|<x/2+1。
水平测试 A 第12题(解答题)
解方程组：{6x−3y−2|x+y|=1, 3|x+y|−4x+2y=11。
水平测试 B 第1题(填空题)
a、b满足|a+b|<|a−b|，则ab______0（填>、<或=）。
水平测试 B 第2题(填空题)
不等式16<|x−10|<20的整数解的个数为______。
水平测试 B 第3题(填空题)
方程 |x+3|−|x−1|=x+1 的解是______。
水平测试 B 第4题(填空题)
方程 |x+2|+|2x|+|x−2|=0 的解是______。
水平测试 B 第5题(填空题)
方程 ||2x−1|+4|=8 的解是______。
水平测试 B 第6题(填空题)
方程组{|x+y|=3, |2x|+|2y|=3} 的解是______。
水平测试 B 第7题(填空题)
不等式 |x+5|−|3x−2|≤4 的解集是______。
水平测试 B 第8题(填空题)
不等式 ||x−1|−|x+2||>1 的解集是______。
水平测试 B 第9题(填空题)
不等式 |x|+|y|<100 有______组整数解。
水平测试 B 第10题(填空题)
不等式 |x−5|−|x+7|<3 的解集是______。
水平测试 B 第11题(解答题)
若|x|≤1，|y|≤1，那么不等式3≤|x+y|+|y+1|+|2y−x−4|≤7是否始终能成立？
水平测试 B 第12题(解答题)
(1)当a在什么范围内取值时，任何实数x都不能使不等式|x−2019|+|x−2026|<a成立？(2)如果|x−1|−|x+2|≤2a+3对一切实数x恒成立，求实数a的最小值；(3)如果|x−a|<|x|+|x+1|对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围。

C层

水平测试 A 第1题(填空题)
方程 |x+2|−|x|=x 的解是______。
水平测试 A 第2题(填空题)
方程 |3x−2|=−|5x−3| 的解是______。
水平测试 A 第3题(填空题)
方程 |4x−5|=7 的解是______。
水平测试 A 第4题(填空题)
方程 |2x−3|−3x=1 的解是______。
水平测试 A 第5题(填空题)
不等式 |2x+5|≤10 的解集是______。
水平测试 A 第6题(填空题)
不等式 |3x+1|>2x 的解集是______。
水平测试 A 第7题(填空题)
不等式 |x−1|>5 的解集是______。
水平测试 A 第8题(填空题)
若 |x−y|=y−x，且|x|=3，|y|=4，则(y−x)³=______。
水平测试 A 第9题(填空题)
若0<x<10，则满足条件|x−3|=a的所有整数a的值的和为______。
水平测试 A 第10题(填空题)
已知方程|x|=ax+1有一负根，且无正根，则a的取值范围是______。
水平测试 A 第11题(解答题)
解不等式：|x+3|−|2x−1|<x/2+1。
水平测试 A 第12题(解答题)
解方程组：{6x−3y−2|x+y|=1, 3|x+y|−4x+2y=11。
水平测试 C 第1题(填空题)
如果|x−1|+|x−2|+|x−3|+…+|x−2007|≥a对一切实数x成立，则实数a的取值范围是______。
水平测试 C 第2题(填空题)
若关于x的方程||x−3|−2|=a恰有三个整数解，则a的值是______。
水平测试 C 第3题(填空题)
(1−|x|)(1+x)>0 的解集是______。
水平测试 C 第4题(填空题)
关于x的不等式|x−4|+|x−3|<a的解集不是空集，则正数a的范围是______。
水平测试 C 第5题(填空题)
方程 |3x−2|−|2x+3|=4x−5 的解是______。
水平测试 C 第6题(填空题)
方程组{|x+y|=3, |2x|+|2y|=8} 的解是______。
水平测试 C 第7题(填空题)
不等式 ||2x+3|−|x−5||≤4 的解集是______。
水平测试 C 第8题(填空题)
不等式 |x+1|+|x−1|<|x|+|x+2| 的解集是______。
水平测试 C 第9题(填空题)
不等式 ||x+3|−|x−3||>3 的解集是______。
水平测试 C 第10题(解答题)
已知常数a,b,c满足0<a<b<c，当x变化时，求y=|a−x|−|b−x|−|c−x|的最大值。
水平测试 C 第11题(解答题)
求方程组{|x|+y=12, x+|y|=6}的解的组数。
水平测试 C 第12题(解答题)
将1,2,3,…,16这16个数分成8组(a₁,b₁),…,(a₈,b₈)，若|a₁−b₁|+…+|a₈−b₈|=62，求(a₁−b₁)²+…+(a₈−b₈)²的最小值。