【教师版】第20讲 · 含绝对值的方程与不等式
六年级奥数 · 教材第178–186页（第20讲全讲）
一、知识要点
绝对值的代数意义与几何意义
本质：|a|表示数轴上数a到原点的距离，恒非负；互为相反数的两个数绝对值相等。|a−b|表示数轴上a、b两点间的距离。
适用：看到|x|=a先判断a的正负：a>0两解，a=0一解，a<0无解。看到|x−a|+|x−b|想距离和：x在a、b之间时距离和恒等于|a−b|（最小），在外侧时距离和随|x|增大而增大。
- 绝对值本质是距离，所以它永远≥0；任何让绝对值等于负数的方程都无解。
- 到原点距离等于a的点在原点左右各一个（a>0时），所以|x|=a有两解x=±a。
- |x−a|+|x−b|是x到a的距离加x到b的距离；当x夹在a、b之间，这两个距离之和恒等于|a−b|，这就是最小值。
典型错误：认为|x|=a总有两解；忽略a<0时无解、a=0时只有一解x=0。
零点分段法（核心方法）
本质：令每个绝对值内的式子为0求零点，把数轴分成若干段；逐段根据正负去绝对值符号，化为普通方程/不等式求解，并检验解是否落在本段内。
适用：适用于含两个或以上绝对值符号的方程与不等式。典例A1（|x−2|+|2x+1|=7）用2和−1/2分三段；典例C1（三个绝对值）用1/2、2/3、3/4分四段。
- 第一步：找零点。令每个绝对值内的代数式等于0，解出对应的x值。
- 第二步：分段。把零点从小到大排列，把数轴分成若干区间；区间端点归属要写清楚（哪段含等号）。
- 第三步：逐段去符号。在每一段内判断每个绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号。
- 第四步：求解并检验。解出的值必须落在该段范围内，不在范围内的舍去；各段解合并起来就是原方程的解。
典型错误：漏写端点归属（如把−1/2同时放进两段）；或解出后不检验是否在本段内，把范围外的解也算进来。
|x|<a 与 |x|>a 的转化
本质：当a>0时：|x|<a ⟺ −a<x<a；|x|>a ⟺ x<−a或x>a。两边都非负时可平方：|A|<|B| ⟺ A²<B²。
适用：典例B2（1<|3x+4|≤6）拆成|3x+4|>1与|3x+4|≤6两个不等式组取交集。典例B3（|x|<|x−1|）两边平方得x²<(x−1)²，化简x<1/2。
- |x|<a是“到原点距离小于a”，对应数轴上−a到a之间的开区间。
- |x|>a是“到原点距离大于a”，对应原点左右两段射线。
- 注意前提a>0；若a≤0，|x|<a直接无解（a≤0），|x|>a在a<0时是全体实数。
典型错误：|x|>a只写x>a漏掉x<−a；或不讨论a的正负直接套公式。
嵌套绝对值：从内向外逐层去符号
本质：方程有两层绝对值时，先令内层为0找分界点，分段去掉内层绝对值，把方程化为只含一层绝对值的普通方程，再继续去外层。
适用：典例A2（|x−|2x+1||=3）：先由2x+1=0得x=−1/2，分x=−1/2、x>−1/2、x<−1/2三段去内层。典例A3（||x−2|−1|=a）：先把|x−2|整体当作未知数，解|u−1|=a再回代。
- 先处理最内层绝对值：令内层为0，得分界点。
- 在每段内把内层绝对值去掉，外层绝对值就变成了一个普通绝对值方程。
- 再解外层绝对值方程，得到候选解；用每段的范围筛选，不在范围内的舍去。
典型错误：不先去内层就直接把外层展开；或解出候选后忘记用分段范围筛选。
几何意义法：距离和与距离差的最值
本质：|x−a|+|x−b|的最小值是|a−b|（x在a、b之间取到）；|x−a|−|x−b|的最大值是|a−b|、最小值是−|a−b|。多个绝对值求和时用“中位数点”取最小。
适用：水平测试B12（恒成立问题）：|x−2019|+|x−2026|最小值7，故a≤7时不等式无解。水平测试C1：2007个绝对值和的最小值在中点x=1004取到。典例C3：|x−1|+|2x−1|+…+|2016x−1|用加权中位数找最小值点。
- 距离和：两个定点时，动点在两点之间距离和恒等于两定点距离（最小）；动点跑到外侧，距离和变大。
- 奇数个绝对值求和时，最小值在正中间那个零点取到；偶数个时中间两点之间都取最小。
- 距离差|x−a|−|x−b|：x在b外侧时差最大（=|a−b|），x在a外侧时差最小（=−|a−b|）。
典型错误：多个绝对值求和时不会找“中位数点”，硬算分段；或误以为距离和可以无限小。
二、典例精讲
典例 A1
解方程 |x−2|+|2x+1|=7。
训练点：零点分段法解两个绝对值之和等于常数。
提示：
1. 先令x−2=0和2x+1=0，得到两个零点，它们把数轴分成几段？
2. 在每一段内判断|x−2|和|2x+1|里面是正还是负，去掉绝对值符号再解一元一次方程。
1令x−2=0得x=2；令2x+1=0得x=−1/2。数轴分三段：x<−1/2，−1/2≤x<2，x≥2。依据：零点分段法。
2当x<−1/2时：−(x−2)−(2x+1)=7，−3x+1=7，x=−2。在x<−1/2范围内，保留。依据：两段都取负。
3当−1/2≤x<2时：−(x−2)+(2x+1)=7，x+3=7，x=4。不在−1/2≤x<2内，舍去。依据：|x−2|取负，|2x+1|取正。
4当x≥2时：(x−2)+(2x+1)=7，3x−1=7，x=8/3。在x≥2范围内，保留。依据：两段都取正。
答：x=−2 或 x=8/3
典型错法：把第二段解出的x=4也当成解；正确做法是解出后必须看是否在本段范围内。
典例 A2
求方程 |x−|2x+1||=3 的不同的解的个数。
训练点：两层嵌套绝对值：先去内层再去外层。
提示：
1. 先看内层|2x+1|，令2x+1=0得x=−1/2，这是内层的分界点。
2. 在x>−1/2和x<−1/2两段里，内层|2x+1|分别等于什么？代入外层方程再解。
2当x=−1/2时，原方程化为|x|=3，无解。依据：内层在此处为0。
3当x>−1/2时，|2x+1|=2x+1，外层为|x−(2x+1)|=|−x−1|=|x+1|=3，得x=2或x=−4。结合x>−1/2，舍去x=−4，保留x=2。依据：内层取正。
4当x<−1/2时，|2x+1|=−(2x+1)，外层为|x+(2x+1)|=|3x+1|=3，得x=2/3或x=−4/3。结合x<−1/2，舍去x=2/3，保留x=−4/3。依据：内层取负。
5综上，解为x=2和x=−4/3，共2个。依据：两段各保留一个解。
答：2个
典型错法：不先去内层就硬算；或解出x=−4、x=2/3后不结合范围取舍。
典例 A3
若关于x的方程 ||x−2|−1|=a 有三个整数解，则a的值是多少？
训练点：从外到内逐层解绝对值方程，按a的取值讨论解的个数。
提示：
1. 先令u=|x−2|，原方程变成|u−1|=a。先讨论a的正负。
2. 当a>0时，|u−1|=a给出u=1+a和u=1−a两个；再把u=|x−2|分层求x。
1若a<0，原方程无解，故a≥0。依据：绝对值非负。
2当a≥0时，||x−2|−1|=a ⟹ |x−2|−1=±a ⟹ |x−2|=1+a 或 |x−2|=1−a。依据：外层去符号。
3若a>1，则1−a<0，|x−2|=1−a无解；|x−2|=1+a只给两解x=3+a和x=1−a，共2解。依据：负数绝对值无解。
4若0≤a≤1，则|x−2|=1+a给两解x=1−a、x=3+a；|x−2|=1−a给两解x=1+a、x=3−a。共4个候选解。依据：两个内层绝对值都非负。
5要有三个整数解，a必为整数。a=0时四解3,1,1,3合并为两解，不合；a=1时|x−2|=0给x=2一解，|x−2|=2给x=0,4，共三解0,2,4。依据：a=1时1−a=0只给一解，总数3。
答：a=1
典型错法：以为a=0时也有三解；实际a=0时|x−2|=1给两解，|x−2|=−1无解，共两解。
典例 B1
解方程组：{|x−y|=x+y−2, ① |x+y|=x+2。 ②
训练点：利用绝对值非负性先定符号，再去符号。
提示：
1. 由①移项得x+y=|x−y|+2，右边|x−y|≥0，所以x+y≥2。
2. x+y是正数，代入②就能直接去掉|x+y|的符号了。
1由①：x+y=|x−y|+2≥2>0。依据：绝对值非负。
2代入②：|x+y|=x+y=x+2，所以y=2。依据：x+y>0，直接去符号。
3把y=2代回①：|x−2|=x+2−2=x。依据：y已知。
4|x−2|=x，分两种：x−2=x（无解）或x−2=−x，得x=1。依据：去绝对值。
答：x=1，y=2
典型错法：不先判断x+y正负就盲目去符号。
典例 B2
解不等式 1<|3x+4|≤6。
训练点：双边绝对值不等式拆成不等式组。
提示：
1. 1<|3x+4|等价于3x+4>1或3x+4<−1。
2. |3x+4|≤6等价于−6≤3x+4≤6。两个范围取公共部分。
11<|3x+4| ⟺ 3x+4>1 或 3x+4<−1，即x>−1或x<−5/3。依据：|u|>a拆成两段。
2|3x+4|≤6 ⟺ −6≤3x+4≤6，即−10/3≤x≤2/3。依据：|u|≤a写成中间区间。
3取交集：(x>−1或x<−5/3) 且 (−10/3≤x≤2/3)，得−1<x≤2/3或−10/3≤x<−5/3。依据：两段分别与中间区间相交。
答：−1<x≤2/3 或 −10/3≤x<−5/3
典型错法：把1<|u|≤6只写成−6≤u<−1或1<u≤6后忘记解出x；或两段取并集错误。
典例 B3
解不等式 |x|<|x−1|。
训练点：两边都是非负的绝对值不等式，可以两边平方。
提示：
1. 两边都是绝对值，一定都≥0，可以同时平方不改变不等号方向。
2. 平方后x²<(x−1)²，展开后x²消掉，变成一元一次不等式。
1两边平方：x²<(x−1)²=x²−2x+1。依据：两边非负可平方。
2化简：0<−2x+1，即2x<1，x<1/2。依据：x²消去。
答：x<1/2
典型错法：硬分段讨论三种情况，绕远路；或平方时忘记两边必须非负（本题天然满足）。
典例 C1
解不等式 |2−3x|+|2x−1|+|4x−3|<1。
训练点：三个绝对值的零点分段法。
提示：
1. 令2−3x=0、2x−1=0、4x−3=0，得到三个零点，从小到大排列。
2. 分四段逐段去绝对值，解完每段后检查是否与本段范围矛盾。
1零点：x=1/2，x=2/3，x=3/4。分四段：x≤1/2；1/2<x≤2/3；2/3<x≤3/4；x>3/4。依据：排序分段。
2x≤1/2时：(2−3x)+(1−2x)+(3−4x)<1，6−9x<1，x>5/9。与x≤1/2矛盾，无解。依据：三段都取反。
31/2<x≤2/3时：(2−3x)+(2x−1)+(3−4x)<1，4−5x<1，x>3/5。解为3/5<x≤2/3。依据：中间段。
42/3<x≤3/4时：(3x−2)+(2x−1)+(3−4x)<1，x<1。解为2/3<x≤3/4。依据：前两个取反，第三个取正。
5x>3/4时：(3x−2)+(2x−1)+(4x−3)<1，9x−6<1，x<7/9。解为3/4<x<7/9。依据：三段都取正。
6合并后两段：3/5<x≤2/3与2/3<x<7/9，得3/5<x<7/9。依据：端点2/3连续。
答：3/5<x<7/9
典型错法：第一段解出x>5/9后忘记与x≤1/2矛盾；或四段合并时漏了端点。
典例 C2
解不等式 |2x−3|>x。
训练点：绝对值大于一个代数式时，要讨论右边x的正负。
提示：
1. 当x≤0时，左边|2x−3|一定≥0，右边x≤0，不等式自动成立。
2. 当x>0时，再按|u|>x拆成2x−3>x或2x−3<−x。
1当x≤0时，|2x−3|≥0≥x，不等式恒成立，故x≤0都是解。依据：左边非负右边非正。
2当x>0时，|2x−3|>x ⟺ 2x−3>x 或 2x−3<−x，即x>3或x<1。结合x>0得0<x<1或x>3。依据：正数才能直接拆。
3合并：x≤0与0<x<1或x>3，得x<1或x>3。依据：两段合并。
答：x<1 或 x>3
典型错法：漏掉x≤0自动成立这一段；或直接拆成2x−3>x与2x−3<−x不讨论x正负。
典例 C3
求 |x−1|+|2x−1|+|3x−1|+…+|2015x−1|+|2016x−1| 取得最小值时，x的取值。
训练点：加权绝对值和的最小值：找加权中位数点。
提示：
1. 把每一项改写为k|x−1/k|，即|kx−1|=k·|x−1/k|。
2. 一共有1+2+…+2016=2033136个“权重”，最小值点在权重累计一半的位置。
1原式=|x−1|+2|x−1/2|+3|x−1/3|+…+2016|x−1/2016|。依据：提取系数k。
2权重总数=1+2+…+2016=2033136，一半=1016568。依据：等差数列求和。
3累计权重：1+2+…+1425=1016025<1016568；1+2+…+1426=1017451>1016568。依据：找跨过一半的位置。
4故最小值点在x=1/1426处。依据：加权中位数。
答：x=1/1426
典型错法：把所有零点当等权处理找中位数；忘记每一项系数k就是权重。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题(填空题)
方程 |x+2|−|x|=x 的解是______。
答案：x=−2 或 x=2
解析：零点−2和0分三段讨论。x<−2时：−(x+2)−(−x)=−2=x，无解；−2≤x<0时：(x+2)−(−x)=2x+2=x，x=−2，在范围内保留；x≥0时：(x+2)−x=2=x，x=2保留。
水平测试 A 第2题(填空题)
方程 |3x−2|=−|5x−3| 的解是______。
答案：空集（无解）
解析：左边≥0、右边≤0，等式成立只能两边都为0。3x−2=0得x=2/3，5x−3=0得x=3/5，两个x不同时成立，故无解。
水平测试 A 第3题(填空题)
方程 |4x−5|=7 的解是______。
答案：x=3 或 x=−1/2
解析：4x−5=7得x=3；4x−5=−7得x=−1/2。
水平测试 A 第4题(填空题)
方程 |2x−3|−3x=1 的解是______。
答案：x=2/5
解析：移项|2x−3|=3x+1，要求3x+1≥0即x≥−1/3。2x−3=3x+1得x=−4（舍去）；2x−3=−(3x+1)得5x=2，x=2/5。
水平测试 A 第5题(填空题)
不等式 |2x+5|≤10 的解集是______。
答案：−7.5≤x≤2.5
解析：−10≤2x+5≤10，−15≤2x≤5，−7.5≤x≤2.5。
水平测试 A 第6题(填空题)
不等式 |3x+1|>2x 的解集是______。
答案：一切实数
解析：当2x<0即x<0时左边≥0>右边，恒成立；当x≥0时拆成3x+1>2x（x>−1，结合x≥0全成立）或3x+1<−2x（x<−1/5，与x≥0矛盾）。故全体实数。
水平测试 A 第7题(填空题)
不等式 |x−1|>5 的解集是______。
答案：x>6 或 x<−4
解析：x−1>5或x−1<−5。
水平测试 A 第8题(填空题)
若 |x−y|=y−x，且|x|=3，|y|=4，则(y−x)³=______。
答案：1 或 343
解析：|x−y|=y−x说明y−x≥0即y≥x。|x|=3得x=±3，|y|=4得y=±4。满足y≥x的组合：x=3,y=4→y−x=1→1；x=−3,y=4→y−x=7→343；x=3,y=−4（不满足y≥x）；x=−3,y=−4（不满足）。故1或343。
水平测试 A 第9题(填空题)
若0<x<10，则满足条件|x−3|=a的所有整数a的值的和为______。
答案：21
解析：x是0到10之间的数，|x−3|=a≥0。x为整数时x=1,2,…,9，a=|x−3|依次为2,1,0,1,2,3,4,5,6，去重后a=0,1,2,3,4,5,6，和为21。
水平测试 A 第10题(填空题)
已知方程|x|=ax+1有一负根，且无正根，则a的取值范围是______。
答案：a≥1
解析：负根x<0：−x=ax+1，x=−1/(a+1)<0需a+1>0即a>−1。有正根x>0：x=ax+1，x=1/(1−a)>0需a<1。要无正根需a≥1。综合a≥1。
水平测试 A 第11题(解答题)
解不等式：|x+3|−|2x−1|<x/2+1。
答案：x<−2/5 或 x>2
解析：零点−3和1/2分三段。x≤−3时：−(x+3)+(2x−1)<x/2+1，x−4<x/2+1，x<10，恒成立；−3<x≤1/2时：(x+3)+(2x−1)<x/2+1，3x+2<x/2+1，5x/2<−1，x<−2/5；x>1/2时：(x+3)−(2x−1)<x/2+1，−x+4<x/2+1，3<3x/2，x>2。
水平测试 A 第12题(解答题)
解方程组：{6x−3y−2|x+y|=1, 3|x+y|−4x+2y=11。
答案：{x=4,y=3} 或 {x=−2/3,y=−6⅓}
解析：令u=2x−y（注意6x−3y=3u），v=|x+y|。原方程化为{3u−2v=1, 3v−2u=11}，解得u=5，v=7。于是2x−y=5即y=2x−5，且|x+y|=7。代入y=2x−5得|3x−5|=7：3x−5=7得x=4,y=3；3x−5=−7得x=−2/3,y=−19/3=−6⅓。
B层
水平测试 A 第1题(填空题)
方程 |x+2|−|x|=x 的解是______。
答案：x=−2 或 x=2
解析：零点−2和0分三段讨论。x<−2时：−(x+2)−(−x)=−2=x，无解；−2≤x<0时：(x+2)−(−x)=2x+2=x，x=−2，在范围内保留；x≥0时：(x+2)−x=2=x，x=2保留。
水平测试 A 第2题(填空题)
方程 |3x−2|=−|5x−3| 的解是______。
答案：空集（无解）
解析：左边≥0、右边≤0，等式成立只能两边都为0。3x−2=0得x=2/3，5x−3=0得x=3/5，两个x不同时成立，故无解。
水平测试 A 第3题(填空题)
方程 |4x−5|=7 的解是______。
答案：x=3 或 x=−1/2
解析：4x−5=7得x=3；4x−5=−7得x=−1/2。
水平测试 A 第4题(填空题)
方程 |2x−3|−3x=1 的解是______。
答案：x=2/5
解析：移项|2x−3|=3x+1，要求3x+1≥0即x≥−1/3。2x−3=3x+1得x=−4（舍去）；2x−3=−(3x+1)得5x=2，x=2/5。
水平测试 A 第5题(填空题)
不等式 |2x+5|≤10 的解集是______。
答案：−7.5≤x≤2.5
解析：−10≤2x+5≤10，−15≤2x≤5，−7.5≤x≤2.5。
水平测试 A 第6题(填空题)
不等式 |3x+1|>2x 的解集是______。
答案：一切实数
解析：当2x<0即x<0时左边≥0>右边，恒成立；当x≥0时拆成3x+1>2x（x>−1，结合x≥0全成立）或3x+1<−2x（x<−1/5，与x≥0矛盾）。故全体实数。
水平测试 A 第7题(填空题)
不等式 |x−1|>5 的解集是______。
答案：x>6 或 x<−4
解析：x−1>5或x−1<−5。
水平测试 A 第8题(填空题)
若 |x−y|=y−x，且|x|=3，|y|=4，则(y−x)³=______。
答案：1 或 343
解析：|x−y|=y−x说明y−x≥0即y≥x。|x|=3得x=±3，|y|=4得y=±4。满足y≥x的组合：x=3,y=4→y−x=1→1；x=−3,y=4→y−x=7→343；x=3,y=−4（不满足y≥x）；x=−3,y=−4（不满足）。故1或343。
水平测试 A 第9题(填空题)
若0<x<10，则满足条件|x−3|=a的所有整数a的值的和为______。
答案：21
解析：x是0到10之间的数，|x−3|=a≥0。x为整数时x=1,2,…,9，a=|x−3|依次为2,1,0,1,2,3,4,5,6，去重后a=0,1,2,3,4,5,6，和为21。
水平测试 A 第10题(填空题)
已知方程|x|=ax+1有一负根，且无正根，则a的取值范围是______。
答案：a≥1
解析：负根x<0：−x=ax+1，x=−1/(a+1)<0需a+1>0即a>−1。有正根x>0：x=ax+1，x=1/(1−a)>0需a<1。要无正根需a≥1。综合a≥1。
水平测试 A 第11题(解答题)
解不等式：|x+3|−|2x−1|<x/2+1。
答案：x<−2/5 或 x>2
解析：零点−3和1/2分三段。x≤−3时：−(x+3)+(2x−1)<x/2+1，x−4<x/2+1，x<10，恒成立；−3<x≤1/2时：(x+3)+(2x−1)<x/2+1，3x+2<x/2+1，5x/2<−1，x<−2/5；x>1/2时：(x+3)−(2x−1)<x/2+1，−x+4<x/2+1，3<3x/2，x>2。
水平测试 A 第12题(解答题)
解方程组：{6x−3y−2|x+y|=1, 3|x+y|−4x+2y=11。
答案：{x=4,y=3} 或 {x=−2/3,y=−6⅓}
解析：令u=2x−y（注意6x−3y=3u），v=|x+y|。原方程化为{3u−2v=1, 3v−2u=11}，解得u=5，v=7。于是2x−y=5即y=2x−5，且|x+y|=7。代入y=2x−5得|3x−5|=7：3x−5=7得x=4,y=3；3x−5=−7得x=−2/3,y=−19/3=−6⅓。
水平测试 B 第1题(填空题)
a、b满足|a+b|<|a−b|，则ab______0（填>、<或=）。
答案：<
解析：两边平方：(a+b)²<(a−b)²，展开得4ab<0，故ab<0。
水平测试 B 第2题(填空题)
不等式16<|x−10|<20的整数解的个数为______。
答案：6个
解析：16<x−10<20得26<x<30，整数27,28,29共3个；−20<x−10<−16得−10<x<−6，整数−9,−8,−7共3个。合计6个。
水平测试 B 第3题(填空题)
方程 |x+3|−|x−1|=x+1 的解是______。
答案：x=−5 或 x=−1 或 x=3
解析：零点−3,1分三段。x<−3：−(x+3)+(x−1)=−4=x+1，x=−5；−3≤x<1：(x+3)+(x−1)=2x+2=x+1，x=−1；x≥1：(x+3)−(x−1)=4=x+1，x=3。
水平测试 B 第4题(填空题)
方程 |x+2|+|2x|+|x−2|=0 的解是______。
答案：无实数解
解析：三个绝对值都非负，和为0需每一项都为0：x+2=0、2x=0、x−2=0同时成立，x=−2,0,2矛盾，无解。
水平测试 B 第5题(填空题)
方程 ||2x−1|+4|=8 的解是______。
答案：x=−3/2 或 x=5/2
解析：外层：|2x−1|+4=±8。左边≥4，故|2x−1|+4=8，|2x−1|=4。2x−1=4得x=5/2；2x−1=−4得x=−3/2。
水平测试 B 第6题(填空题)
方程组{|x+y|=3, |2x|+|2y|=3} 的解是______。
答案：无实数解
解析：由|2x|+|2y|=3即2(|x|+|y|)=3，|x|+|y|=1.5。但|x+y|≤|x|+|y|=1.5<3，与|x+y|=3矛盾。
水平测试 B 第7题(填空题)
不等式 |x+5|−|3x−2|≤4 的解集是______。
答案：x≥3/2 或 x≤1/4
解析：零点−5,2/3分三段。x<−5：−(x+5)+(3x−2)=2x−7≤4，x≤5.5，恒成立；−5≤x<2/3：(x+5)+(3x−2)=4x+3≤4，x≤1/4；x≥2/3：(x+5)−(3x−2)=−2x+7≤4，x≥3/2。
水平测试 B 第8题(填空题)
不等式 ||x−1|−|x+2||>1 的解集是______。
答案：x>0 或 x<−1
解析：令f(x)=|x−1|−|x+2|。零点−2,1：x<−2时f=3；−2≤x<1时f=−2x−1；x≥1时f=−3。||x−1|−|x+2||>1即|f|>1。x<−2时|f|=3>1成立；−2≤x<1时|−2x−1|>1，−2x−1>1得x<−1，或−2x−1<−1得x>0；x≥1时|f|=3>1成立。综合x<−1或x>0。
水平测试 B 第9题(填空题)
不等式 |x|+|y|<100 有______组整数解。
答案：19801
解析：|x|+|y|<100即|x|+|y|≤99（整数）。x=0时y=−99,…,99共199个；|x|=k（k=1,…,99）时x=±k两种取法，对应y=−(99−k),…,(99−k)共2(99−k)+1=199−2k个。总数=199+2Σ_{k=1}^{99}(199−2k)=199+2×(197+195+…+1)=199+2×99²=199+19602=19801。
水平测试 B 第10题(填空题)
不等式 |x−5|−|x+7|<3 的解集是______。
答案：x>−5/2
解析：零点−7,5分三段。x<−7：−(x−5)+(x+7)=12<3不成立；−7≤x<5：−(x−5)−(x+7)=−2x−2<3，x>−5/2；x≥5：(x−5)−(x+7)=−12<3恒成立。综合x>−5/2。
水平测试 B 第11题(解答题)
若|x|≤1，|y|≤1，那么不等式3≤|x+y|+|y+1|+|2y−x−4|≤7是否始终能成立？
答案：始终成立
解析：由|x|≤1,|y|≤1得y+1≥0,2y−x−4<0。原式=|x+y|+(y+1)−(2y−x−4)=|x+y|−y+x+5。当x+y≥0时=x+y−y+x+5=2x+5，x=−1时最小3，x=1时最大7；当x+y<0时=−x−y−y+x+5=5−2y，y=−1时7，y=1时3。故原式在3到7之间，恒成立。
水平测试 B 第12题(解答题)
(1)当a在什么范围内取值时，任何实数x都不能使不等式|x−2019|+|x−2026|<a成立？(2)如果|x−1|−|x+2|≤2a+3对一切实数x恒成立，求实数a的最小值；(3)如果|x−a|<|x|+|x+1|对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围。
答案：(1)a≤7；(2)a最小值为0；(3)−1<a<0
解析：(1)|x−2019|+|x−2026|最小值=2026−2019=7，故a≤7时不等式无解。(2)|x−1|−|x+2|最大值=3，要2a+3≥3恒成立，a≥0，最小0。(3)几何意义：数轴上x到a的距离小于x到0和到−1的距离之和，对一切x成立。|x−a|≤|x|+|x+1|恒成立需−1<a<0（a=0或−1时x取某点等号成立不满足严格<）。
C层
水平测试 A 第1题(填空题)
方程 |x+2|−|x|=x 的解是______。
答案：x=−2 或 x=2
解析：零点−2和0分三段讨论。x<−2时：−(x+2)−(−x)=−2=x，无解；−2≤x<0时：(x+2)−(−x)=2x+2=x，x=−2，在范围内保留；x≥0时：(x+2)−x=2=x，x=2保留。
水平测试 A 第2题(填空题)
方程 |3x−2|=−|5x−3| 的解是______。
答案：空集（无解）
解析：左边≥0、右边≤0，等式成立只能两边都为0。3x−2=0得x=2/3，5x−3=0得x=3/5，两个x不同时成立，故无解。
水平测试 A 第3题(填空题)
方程 |4x−5|=7 的解是______。
答案：x=3 或 x=−1/2
解析：4x−5=7得x=3；4x−5=−7得x=−1/2。
水平测试 A 第4题(填空题)
方程 |2x−3|−3x=1 的解是______。
答案：x=2/5
解析：移项|2x−3|=3x+1，要求3x+1≥0即x≥−1/3。2x−3=3x+1得x=−4（舍去）；2x−3=−(3x+1)得5x=2，x=2/5。
水平测试 A 第5题(填空题)
不等式 |2x+5|≤10 的解集是______。
答案：−7.5≤x≤2.5
解析：−10≤2x+5≤10，−15≤2x≤5，−7.5≤x≤2.5。
水平测试 A 第6题(填空题)
不等式 |3x+1|>2x 的解集是______。
答案：一切实数
解析：当2x<0即x<0时左边≥0>右边，恒成立；当x≥0时拆成3x+1>2x（x>−1，结合x≥0全成立）或3x+1<−2x（x<−1/5，与x≥0矛盾）。故全体实数。
水平测试 A 第7题(填空题)
不等式 |x−1|>5 的解集是______。
答案：x>6 或 x<−4
解析：x−1>5或x−1<−5。
水平测试 A 第8题(填空题)
若 |x−y|=y−x，且|x|=3，|y|=4，则(y−x)³=______。
答案：1 或 343
解析：|x−y|=y−x说明y−x≥0即y≥x。|x|=3得x=±3，|y|=4得y=±4。满足y≥x的组合：x=3,y=4→y−x=1→1；x=−3,y=4→y−x=7→343；x=3,y=−4（不满足y≥x）；x=−3,y=−4（不满足）。故1或343。
水平测试 A 第9题(填空题)
若0<x<10，则满足条件|x−3|=a的所有整数a的值的和为______。
答案：21
解析：x是0到10之间的数，|x−3|=a≥0。x为整数时x=1,2,…,9，a=|x−3|依次为2,1,0,1,2,3,4,5,6，去重后a=0,1,2,3,4,5,6，和为21。
水平测试 A 第10题(填空题)
已知方程|x|=ax+1有一负根，且无正根，则a的取值范围是______。
答案：a≥1
解析：负根x<0：−x=ax+1，x=−1/(a+1)<0需a+1>0即a>−1。有正根x>0：x=ax+1，x=1/(1−a)>0需a<1。要无正根需a≥1。综合a≥1。
水平测试 A 第11题(解答题)
解不等式：|x+3|−|2x−1|<x/2+1。
答案：x<−2/5 或 x>2
解析：零点−3和1/2分三段。x≤−3时：−(x+3)+(2x−1)<x/2+1，x−4<x/2+1，x<10，恒成立；−3<x≤1/2时：(x+3)+(2x−1)<x/2+1，3x+2<x/2+1，5x/2<−1，x<−2/5；x>1/2时：(x+3)−(2x−1)<x/2+1，−x+4<x/2+1，3<3x/2，x>2。
水平测试 A 第12题(解答题)
解方程组：{6x−3y−2|x+y|=1, 3|x+y|−4x+2y=11。
答案：{x=4,y=3} 或 {x=−2/3,y=−6⅓}
解析：令u=2x−y（注意6x−3y=3u），v=|x+y|。原方程化为{3u−2v=1, 3v−2u=11}，解得u=5，v=7。于是2x−y=5即y=2x−5，且|x+y|=7。代入y=2x−5得|3x−5|=7：3x−5=7得x=4,y=3；3x−5=−7得x=−2/3,y=−19/3=−6⅓。
水平测试 C 第1题(填空题)
如果|x−1|+|x−2|+|x−3|+…+|x−2007|≥a对一切实数x成立，则实数a的取值范围是______。
答案：a≤1007012
解析：2007个点的距离和在中点x=1004处取最小。最小和=2(1+2+…+1003)=2×1003×1004/2=1003×1004=1007012。a要≤最小值。
水平测试 C 第2题(填空题)
若关于x的方程||x−3|−2|=a恰有三个整数解，则a的值是______。
答案：2
解析：令u=|x−3|，|u−2|=a。a>0时u=2+a或u=2−a。u=2+a总给两解；u=2−a：当a<2时给两解（共4解），a=2时u=0给一解（共3解），a>2时u=2−a<0无解（共2解）。故a=2。
水平测试 C 第3题(填空题)
(1−|x|)(1+x)>0 的解集是______。
答案：x<1 且 x≠−1
解析：两种情况：①1−|x|>0且1+x>0：|x|<1得−1<x<1，且x>−1，合并−1<x<1；②1−|x|<0且1+x<0：|x|>1得x>1或x<−1，且x<−1，合并x<−1。综合x<1且x≠−1。
水平测试 C 第4题(填空题)
关于x的不等式|x−4|+|x−3|<a的解集不是空集，则正数a的范围是______。
答案：a>1
解析：|x−4|+|x−3|最小值=1。要解集非空需a>最小值1。
水平测试 C 第5题(填空题)
方程 |3x−2|−|2x+3|=4x−5 的解是______。
答案：x=4/9
解析：零点−3/2,2/3分三段。x<−3/2：−(3x−2)+(2x+3)=−x+5=4x−5，x=2（舍去）；−3/2≤x<2/3：−(3x−2)−(2x+3)=−5x−1=4x−5，x=4/9（保留）；x≥2/3：(3x−2)−(2x+3)=x−5=4x−5，x=0（舍去）。
水平测试 C 第6题(填空题)
方程组{|x+y|=3, |2x|+|2y|=8} 的解是______。
答案：四组：(−1/2,7/2),(7/2,−1/2),(−7/2,1/2),(1/2,−7/2)
解析：第二式即|x|+|y|=4。|x+y|=3说明x、y同号为正或异号。枚举：x+y=3时配|x|+|y|=4，x、y一正一负，设x>0,y<0：x−y=3,x−y=4矛盾？实际由|x|+|y|=4与|x+y|=3推出x、y异号，|x+y|=||x|−|y||=3，得|x|=3.5,|y|=0.5或互换。四组解。
水平测试 C 第7题(填空题)
不等式 ||2x+3|−|x−5||≤4 的解集是______。
答案：−12≤x≤−4 或 −2/3≤x≤2
解析：令u=2x+3，v=x−5。分x<−3/2、−3/2≤x<5、x≥5三段讨论，外层|...|≤4即两式之差在[−4,4]内。
水平测试 C 第8题(填空题)
不等式 |x+1|+|x−1|<|x|+|x+2| 的解集是______。
答案：x>0
解析：零点−2,−1,0,1分四段。①x<−2：左边=−(x+1)−(x−1)=−2x，右边=−x−(x+2)=−2x−2，−2x<−2x−2即0<−2，无解；②−2≤x<−1：左边=−2x，右边=−x+(x+2)=2，−2x<2得x>−1，与x<−1矛盾；③−1≤x<0：左边=(x+1)−(x−1)=2，右边=−x+(x+2)=2，2<2不成立（严格不等号），无解；④0≤x<1：左边=2，右边=x+(x+2)=2x+2，2<2x+2得x>0，即0<x<1；⑤x≥1：左边=(x+1)+(x−1)=2x，右边=x+(x+2)=2x+2，2x<2x+2恒成立。综合取并集得x>0。
水平测试 C 第9题(填空题)
不等式 ||x+3|−|x−3||>3 的解集是______。
答案：x>3/2 或 x<−3/2
解析：零点−3,3。x≤−3：−x−3+x−3=−6，绝对值6>3成立；−3<x<3：x+3−(3−x)=2x，|2x|>3得x>3/2或x<−3/2；x≥3：x+3−(x−3)=6>3成立。综合x<−3/2或x>3/2。
水平测试 C 第10题(解答题)
已知常数a,b,c满足0<a<b<c，当x变化时，求y=|a−x|−|b−x|−|c−x|的最大值。
答案：b−a
解析：分x≤a、a<x≤b、b<x≤c、x>c四段。x≤a时y=(a−x)−(b−x)−(c−x)=a−b−c+x≤2a−b−c；a<x≤b时y=(x−a)−(b−x)−(c−x)=3x−a−b−c≤3b−a−b−c=2b−a−c；b<x≤c时y=(x−a)−(x−b)−(c−x)=x+b−a−c≤b−a；x>c时y=(x−a)−(x−b)−(x−c)=−x+b+c−a<b−a。最大值b−a。
水平测试 C 第11题(解答题)
求方程组{|x|+y=12, x+|y|=6}的解的组数。
答案：1组
解析：x≥0时第一式x+y=12，第二式x+|y|=6。若y≥0则x+y=12与x+y=6矛盾；若y<0则x−y=6，联立x+y=12得x=9,y=3（与y<0矛盾）。故x≥0无解。x<0时：−x+y=12，x+|y|=6。若y≥0则x+y=6，联立−x+y=12得y=9,x=−3，保留。若y<0则x−y=6，联立−x+y=12得x−y=−12矛盾。唯一解x=−3,y=9。
水平测试 C 第12题(解答题)
将1,2,3,…,16这16个数分成8组(a₁,b₁),…,(a₈,b₈)，若|a₁−b₁|+…+|a₈−b₈|=62，求(a₁−b₁)²+…+(a₈−b₈)²的最小值。
答案：482
解析：由对称性不妨设a_i<b_i。62=Σ(b_i−a_i)=(Σa+Σb)−2Σa_i=136−2Σa_i，故Σa_i=37。a₁<…<a₈≥1,2,…,8，得a_i=1..7,a₈=9（a₈=8则Σa=36不符，a₈=9时Σ=37）。b_i为10,11,…,16。要使平方和最小，按排序不等式a升序配b升序：S=1496−2×507=482。
四、方法小结
解含绝对值的方程与不等式核心是“去绝对值符号”。一个绝对值用基本结论：|x|=a看a的正负；|x|<a写成中间区间，|x|>a写成两侧射线。两个及以上绝对值用零点分段法：先令每个绝对值内式子为0求零点，排序分段，逐段根据正负去符号，解完必须检验是否在本段范围内，舍去越界解。两边都是绝对值时可平方。嵌套绝对值从内层往外逐层去。最后，距离和|x−a|+|x−b|的最小值是|a−b|，距离差有最值±|a−b|，恒成立与存在性问题用几何意义最快。
五、作业建议
基础必做：- 教材P180 水平测试A 第1–5题（一个绝对值的基本方程与不等式）
- 教材P181 水平测试A 第6–10题（填空，含分段、参数）
巩固选做：- 教材P181 水平测试A 第11、12题（解答，分段不等式与换元方程组）
- 教材P182–183 水平测试B 第1–8题（填空，含平方、几何意义）
- 教材P183 水平测试B 第9、10题（枚举、分段）
提高挑战：- 教材P183 水平测试B 第11、12题（恒成立问题）
- 教材P185 水平测试C 第1–9题（填空，含多层绝对值、几何最值）
- 教材P186 水平测试C 第10–12题（解答：最值、方程组、排序不等式综合）
六、课堂错因定位
症状：解|x|>a只写x>a，漏掉x<−a
根因：概念：把绝对值不等式只当单向不等式。
补救：回到数轴图：到原点距离大于a的点在原点左右两侧各一段，必须写两段。
症状：零点分段后解出的值不检验是否在本段
根因：流程：忘记“解后回代范围”这一步。
补救：每段解完默念一句“这个x在我刚才分的那段里吗？”，不在就划掉。
症状：嵌套绝对值不知道先剥内层
根因：顺序：从外层开始硬算。
补救：画两层括号，先看最里面那层绝对值里是什么，令它为0找分界。
症状：两边平方去绝对值时不看正负
根因：条件：|A|<|B|才能平方；若一边是负数不能平方。
补救：先确认两边都是非负的（都是绝对值天然非负），再平方；若是|A|>x这种含字母x的，要先讨论x正负。
症状：恒成立问题硬分段不会用几何意义
根因：几何意义：不会把距离和/差翻译成最值。
补救：看到|x−a|±|x−b|想数轴上动点到两定点的距离和/差，直接报最值。