【教师版】第21讲 · 长方体
六年级奥数 · 教材第187–196页（第21讲全讲）
一、知识要点
点、线、面的位置关系
本质：立体几何中：线与线有平行、相交（垂直）、异面三种；线与面有面内、平行、相交（垂直）；面与面有平行、相交（垂直）。
适用：水平测试A第2题：在长方体中找与某条棱相交、异面、平行的直线与面。判断关键：先看两条棱共不共面，再看方向是否平行。
- 两条棱要么共面（平行或相交），要么异面（不共面、不平行、不相交）。
- 一条棱与4条棱相交（两个顶点处各两条），与3条棱平行，与其余4条棱异面。
典型错误：把不平行也不相交的两条棱误认为平行；或数错平行/异面棱的数量。
棱长、表面积、体积公式
本质：棱长总和=4(a+b+c)；表面积S=2(ab+bc+ca)；体积V=abc。正方体是a=b=c的特殊长方体。
适用：已知棱长总和与两维反求第三维（测试A1）；已知表面积反求体积（测试A7）；已知体积变化反求边长（测试B8）。
- 12条棱：4条长a、4条宽b、4条高c，总和4(a+b+c)。
- 6个面：前后面各ab、左右面各bc、上下面各ca，表面积2(ab+bc+ca)。
典型错误：表面积漏乘2；或把棱长总和当成(a+b+c)忘记乘4。
切割与打孔：表面积增减
本质：切一刀增加两个切面；挖通洞要看挖在什么位置（沿棱、靠边、斜挖、打通对面），表面积可能减、不变或增；三向贯穿洞在中心交汇，重复部分要容斥。
适用：典例A1（三向贯穿洞）：4×(12+9+7)减去中心交汇重复的(2×2×2)×2。典例B1（四种挖法）：沿棱挖减8、靠边挖增32、斜挖增48、打通对面增72。
- 切一刀：切面露出来两个新面，表面积增加2×切面面积。
- 打孔：洞的内壁是新增表面积；如果打通对面，还要减去洞口消失的两个面。
- 三向贯穿：中心交汇处是公共部分，被三个洞各减了一次，实际只应减一次，重复部分要加回来。
典型错误：三向洞忘记中心交汇重复减；或打通对面忘记减去洞口两个面。
浸水问题：排开水的体积=物体体积
本质：浸入水中的物体排开的水的体积等于物体体积；水面上升部分的体积=容器底面积×水面升高。
适用：典例B2（碎石沉水池）：中水池碎石体积=3×3×0.06=0.54，小水池=2×2×0.04=0.16，都沉大水池升高0.70÷36。测试B3钢球称重、测试C3铁块沉水。
- 物体浸入水中，占了水的位置，水面被迫上升。
- 上升部分那一圈水的体积正好等于物体浸入部分的体积。
典型错误：用物体体积除以物体底面积；应该除以容器底面积。
表面涂色正方体的块数
本质：n×n×n正方体表面涂色后切开：三面红在顶点共8块；两面红在棱中间共12(n−2)块；一面红在面中间共6(n−2)²块；无色在内部共(n−2)³块。
适用：测试A12（2×3×4长方体）、测试B7（3×3×3）、测试B12（两面红100块反求）、测试C7（一面红448反求）。
- 只有顶点处的小正方体露三个面。
- 棱中间（去掉两端顶点）的露两个面。
- 面正中心（去掉外圈）的露一个面。
- 最内部完全不露面。
典型错误：忘记两面红要减去两个顶点；或把n−2算成n。
二、典例精讲
典例 A1
有一个长、宽、高分别为12、9、7厘米的长方体，在它的每组两两相对的面的正中央处都打一个底面为4平方厘米的正方形的贯穿的洞，那么这个长方体剩下的体积是多少立方厘米？
训练点：三向贯穿洞的容斥体积计算。
提示：
1. 每个洞是一个底面4cm²、长分别等于长、宽、高的长方体，先把三个洞体积加起来。
2. 三个洞在正中心交汇，交汇部分是一个2×2×2的正方体，被三个洞各算了一次，实际只应减一次。
1每个洞底面4cm²，边长√4=2cm。三个洞分别贯穿长、宽、高，体积为4×12、4×9、4×7。依据：为什么想到这一步：洞是长方体，体积=底面积×贯穿方向长度；底面是正方形，由面积4先求出边长2。
2三个洞体积和=4×(12+9+7)=4×28=112。依据：先把三个洞各自体积直接相加，得到“粗减”的量。
3中心交汇处是2×2×2=8的正方体，被三个洞各算了一次共3次，实际只应挖掉1次，多算了2次：多减2×8=16。依据：为什么想到这一步：三个方向的洞在正中心重叠，重叠的小正方体在第一步里被减了3次，而它只该被减1次，所以要把多减的2次加回来（容斥）。
4真正挖掉=112−16=96。原体积12×9×7=756。剩下756−96=660。依据：原长方体体积减去真正挖掉部分。
答：660立方厘米
典型错法：直接用4×(12+9+7)=112当挖掉体积，忘记中心交汇重复减了2次。
典例 A2
12盒磁带按“规则方式”打包（每相邻两盒以全等的面对接，最后是一个长方体）。磁带盒长11、宽7、高2厘米，打包得到的长方体表面积最小值是多少？
训练点：拼接使表面积最小：最大面贴合。
提示：
1. 要表面积最小，对接的面应尽可能大。先两两以11×7面对接，6盒一叠。
2. 两叠再对接时，比较两个可选对接面的大小，选大的那个。
1要表面积最小，应让对接的面尽可能大。先两盒以最大面11×7对接，6盒叠成一摞：11×7×(2×6)=11×7×12。依据：为什么想到这一步：两盒贴合时遮住的面越大，露在外面的表面积就越小，所以优先用最大面11×7贴合。
2两摞并排对接：比较两个可选对接面12×7=84与11×7=77，选大的12×7对接。新长方体尺寸12×14×11。依据：两摞拼到一起时，遮住的又是一个面对；同样选较大的那个面对接，省更多表面积。
3表面积=(12×14+11×14+11×12)×2=(168+154+132)×2=454×2=908。依据：代入长方体表面积公式2(ab+bc+ca)。
答：908平方厘米
典型错法：随便叠放，没有选最大面贴合。
典例 B1
从一个棱长10厘米的立方体木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？
训练点：挖法不同表面积变化不同，要分四种情形。
提示：
1. 沿棱挖、沿侧面平行挖、斜着挖、打通对面，四种位置表面积变化不同。
2. 每画一种情况，数清楚新增了哪几个面、减少了哪几个面。
1原立方体表面积=6×10²=600。依据：先算出基准表面积，后面四种情况都在它上面增减。
2(1)沿一条棱挖：小长方体的两个2×2端面正好从正方体相邻两面各挖掉一块，损失两侧两个2×2面，减2×(2×2)=8，得600−8=592。依据：为什么想到这一步：贴着棱挖时，凹槽朝内的两个新面补上了外侧被挖掉的部分，唯独两个2×2小端面凭空消失，所以净减两个端面。
3(2)沿一侧面平行于边挖（不挖穿）：新增内壁面积(2×10−2×2)×2=32，得632。依据：挖在面中间不挖穿，洞的四个内壁全是新增面积，端面则被洞口抵消，净增=四个内壁减两个洞口。
4(3)斜着挖：新增4个面(2×2+2×10)×2=48，得648。依据：斜挖时洞口是椭圆状开口，内壁四面全露出，上下两个2×2端面也都成为新面。
5(4)打通两个对面：新增4×(2×10)−2×(2×2)=80−8=72，得672。依据：为什么想到这一步：打通后洞的四条长内壁是新增面积，但两个对面各挖掉一个2×2洞口要减去。
答：四种情形：592、632、648、672平方厘米
典型错法：只给一个答案，漏掉其他三种挖法。
典例 B2
有大、中、小三个正方体水池，边长分别6米、3米、2米。将两堆碎石分别沉没在中、小水池水里，水面分别升高6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉在大水池里，大水池水面升高多少？
训练点：浸水法：碎石体积=排开水体积。
提示：
1. 中水池碎石体积=中水池底面积×升高；小水池同理。
2. 两堆碎石总体积除以大水池底面积就是大水池水面升高。
1中水池碎石：3×3×0.06=0.54 m³（6cm=0.06m）。依据：为什么想到这一步：碎石沉在中池，它占的位置把水挤高，水面升高那部分水柱的体积就是碎石体积=中池底面积×升高。
2小水池碎石：2×2×0.04=0.16 m³（4cm=0.04m）。依据：同理用小池底面积乘小池升高。
3两堆碎石总体积=0.54+0.16=0.70 m³。都沉大水池后，大水池底面积=6×6=36 m²。依据：碎石体积不变，换到大水池排开的还是这0.70m³水。
4升高=0.70÷36 m=70÷36 cm=35/18 cm=1又17/18 cm。依据：为什么除以大池底面积：升高体积=大池底面积×升高，所以升高=总体积÷大池底面积（结果从m换算成cm）。
答：1又17/18厘米
典型错法：厘米不换算；或除以小水池底面积。
典例 B3
用一块长18分米、宽12分米的铁片，制作成一个深1分米的无盖铁箱。四角各切掉4块1平方分米正方形再折起会浪费4小块。不浪费材料应如何切割？能否焊成4分米深和6分米深的无盖铁箱？
训练点：展开图切割：无浪费焊接。
提示：
1. 无盖铁箱=底面+四个侧面。深1分米时，侧面高1分米。
2. 把18×12的铁片切成一个底面和四个长条侧面，不浪费。
1能。深1分米时，无盖铁箱用料=底面积+四个侧面=底+2×(底长+底宽)×1。设底面L×W，则LW+2L+2W=18×12=216，即(L+2)(W+2)=220=20×11，得底面18×9。依据：为什么想到这一步：四角切小方块会浪费，改成把整张纸裁成一块底面+四条侧面，总面积恰好等于18×12，用因式分解凑出底面尺寸。
2深4分米：侧面高4，LW+8(L+W)=216，凑出底面6×12；深6分米：侧面高6，LW+12(L+W)=216，凑出底面3×12。三种深度都能在18×12纸上不浪费地裁出，切割线分别见图21-9、21-10、21-11（实线切、虚线折）。依据：换一个深度就是把侧面高度代入同一个面积方程，重新凑底面即可。
答：能，切割线见图21-9、21-10、21-11
典型错法：只想到四角切小方块的传统做法。
典例 C1
长方体切成两个长方体。切面平行前后面，表面积增174；平行左右面，增138；平行上下面，增1334。求长方体体积。
训练点：由三个方向切面面积反求三边乘积。
提示：
1. 切一刀增两个切面。平行前后切，增的是2×宽×高。
2. 三个方向分别得到ab、ac、bc，三式相乘开方得abc。
1设长宽高为a,b,c。切面平行前后面切一刀，新增两个前后面，故2ab=174，ab=87=3×29。依据：为什么想到这一步：切一刀会露出两个相同的新切面，所以增加的表面积=2×切面面积，先除以2得到一个面的面积。
2平行左右面切：2ac=138，ac=69=3×23。依据：左右面面积=长×高=ac。
3平行上下面切：2bc=1334，bc=667=29×23。依据：上下面面积=长×宽=bc。
4三式相乘：(abc)²=ab·ac·bc=87×69×667=(3×29)(3×23)(29×23)=(3×29×23)²。依据：为什么想到这一步：题目只要体积abc，而三个已知量正好是ab、ac、bc，相乘就把三边凑成abc的平方。
5abc=3×29×23=2001。依据：开平方取正。
答：2001立方厘米
典型错法：忘记切一刀增两个面（要除以2）。
典例 C2
在五个方框中画出5种不同的正方体展开图（平移旋转重合算一种）。
训练点：正方体11种展开图分类。
提示：
1. 正方体展开图共11种：中间四连方两侧各一个（6种）；中间三连方两侧各一两个（3种）；其他（2种）。
1正方体展开图共11种。先记三类：四连方型6种（中间一排4个，上下各1个，位置错开）。依据：为什么想到这一步：中间一排4个围成侧面，上下两个当上下底，两个底在4个位置上错开共6种。
2三连方型3种（中间一排3个，两侧各1～2个）。依据：中间3个围成三面，其余三面配在两侧。
3其他型2种（两排或阶梯形）。依据：不能归进上面两类的只剩2种。
答：共11种（本题画5种即可）
典型错法：画成田字形或凹字形（不能折成正方体）。
三、水平测试
A层
水平测试 A 第1题(填空题)
长方体棱长之和48厘米，长5厘米、宽4厘米，表面积是______，体积是______。
答案：94平方厘米；60立方厘米
解析：4(5+4+h)=48，h=3。表面积=2(5×4+5×3+4×3)=94。体积=5×4×3=60。
水平测试 A 第2题(填空题)
联结长方体一顶点A和最远顶点G（图21-2）。(1)与AG相交的直线；(2)与AG异面的直线；(3)与DH平行的面；(4)与ABCD垂直的面。
答案：(1)AC,AB,AE,AD,GF,GE,GH,GC；(2)BC,CD,EF,EH,BF,DH；(3)面AEFB、面BFGC、面AEGC；(4)面AEFB、面BFGC、面CGHD、面AEHD、面AEGC
解析：按长方体顶点标注逐一判断共面/异面/平行/垂直。
水平测试 A 第3题(填空题)
一个正方体和一个长方体拼成新长方体，新长方体比原长方体表面积增加60平方厘米，正方体表面积是______。
答案：90平方厘米
解析：拼接时遮住两个正方形面（正方体一个、长方体一个），新增的60是正方体其余4个面。正方体一个面=60÷4=15，表面积=6×15=90。
水平测试 A 第4题(填空题)
长方体正好分割成3个体积相等的正方体，一个正方体表面积3平方厘米，原长方体表面积是______。
答案：7平方厘米
解析：正方体一个面=3÷6=0.5。3个正方体拼成长方体，遮住4个面。原表面积=3×3−4×0.5=9−2=7。
水平测试 A 第5题(填空题)
从长方体木料截下48立方分米后，剩下是棱长4分米正方体，原木料表面积是______。
答案：144平方分米
解析：截下部分截面=4×4=16，长=48÷16=3。原木料尺寸4×4×(4+3)=4×4×7。表面积=2(16+28+28)=144。
水平测试 A 第6题(填空题)
长方体铁皮水箱容量400升，底面是边长8分米正方形，水箱深______。
答案：6.25分米
解析：400升=400立方分米。底面积=8×8=64。深=400÷64=6.25。
水平测试 A 第7题(填空题)
长方体表面积14平方厘米，正好分成三个正方体，体积是______。
答案：3立方厘米
解析：三个正方体拼成长方体共14个正方形面露在外面（3×6−4=14），每个面=1。正方体棱长1，体积=1×3=3。
水平测试 A 第8题(填空题)
用棱长1厘米正方体小木块拼成棱长3厘米正方体，共需______块。
水平测试 A 第9题(填空题)
长方体与正方体底面积相等，长方体高是正方体高的2倍，正方体体积是长方体的______。
答案：1/2
解析：V=底面积×高，底面积相同，高是2倍则体积是2倍，正方体是长方体的1/2。
水平测试 A 第10题(填空题，配图21-3)
边长20cm正方体木块中间钻长方体孔（孔长20、宽2、高3cm），全部涂色（含孔内），涂色面积是______。
答案：2588平方厘米
解析：正方体外表面=20×20×6=2400，减去两个孔口2×3×2=12，得2388。孔内壁=2×20×2+3×20×2=80+120=200。合计2388+200=2588。
水平测试 A 第11题(解答题，配图21-4)
图21-4由棱长2厘米小正方体叠成，表面积与体积各是多少？
答案：360平方厘米，280立方厘米
解析：各方向视图数正方形面：表面积=2²×(15×6)=360。体积=2³×(1+3+6+10+15)=8×35=280。
水平测试 A 第12题(解答题)
10个表面涂色长方体（长宽高2、3、4），全截成1cm正方体。(1)两面有色共多少？(2)至少一面有色共多少？
答案：(1)120个；(2)240个
解析：每个长方体两面红=4×(2−2)+4×(3−2)+4×(4−2)=0+4+8=12，10个共120。至少一面红=总块数−内部无色=2×3×4−(0×1×2)=24−0=24每个，10个240。
B层
水平测试 A 第1题(填空题)
长方体棱长之和48厘米，长5厘米、宽4厘米，表面积是______，体积是______。
答案：94平方厘米；60立方厘米
解析：4(5+4+h)=48，h=3。表面积=2(5×4+5×3+4×3)=94。体积=5×4×3=60。
水平测试 A 第2题(填空题)
联结长方体一顶点A和最远顶点G（图21-2）。(1)与AG相交的直线；(2)与AG异面的直线；(3)与DH平行的面；(4)与ABCD垂直的面。
答案：(1)AC,AB,AE,AD,GF,GE,GH,GC；(2)BC,CD,EF,EH,BF,DH；(3)面AEFB、面BFGC、面AEGC；(4)面AEFB、面BFGC、面CGHD、面AEHD、面AEGC
解析：按长方体顶点标注逐一判断共面/异面/平行/垂直。
水平测试 A 第3题(填空题)
一个正方体和一个长方体拼成新长方体，新长方体比原长方体表面积增加60平方厘米，正方体表面积是______。
答案：90平方厘米
解析：拼接时遮住两个正方形面（正方体一个、长方体一个），新增的60是正方体其余4个面。正方体一个面=60÷4=15，表面积=6×15=90。
水平测试 A 第4题(填空题)
长方体正好分割成3个体积相等的正方体，一个正方体表面积3平方厘米，原长方体表面积是______。
答案：7平方厘米
解析：正方体一个面=3÷6=0.5。3个正方体拼成长方体，遮住4个面。原表面积=3×3−4×0.5=9−2=7。
水平测试 A 第5题(填空题)
从长方体木料截下48立方分米后，剩下是棱长4分米正方体，原木料表面积是______。
答案：144平方分米
解析：截下部分截面=4×4=16，长=48÷16=3。原木料尺寸4×4×(4+3)=4×4×7。表面积=2(16+28+28)=144。
水平测试 A 第6题(填空题)
长方体铁皮水箱容量400升，底面是边长8分米正方形，水箱深______。
答案：6.25分米
解析：400升=400立方分米。底面积=8×8=64。深=400÷64=6.25。
水平测试 A 第7题(填空题)
长方体表面积14平方厘米，正好分成三个正方体，体积是______。
答案：3立方厘米
解析：三个正方体拼成长方体共14个正方形面露在外面（3×6−4=14），每个面=1。正方体棱长1，体积=1×3=3。
水平测试 A 第8题(填空题)
用棱长1厘米正方体小木块拼成棱长3厘米正方体，共需______块。
水平测试 A 第9题(填空题)
长方体与正方体底面积相等，长方体高是正方体高的2倍，正方体体积是长方体的______。
答案：1/2
解析：V=底面积×高，底面积相同，高是2倍则体积是2倍，正方体是长方体的1/2。
水平测试 A 第10题(填空题，配图21-3)
边长20cm正方体木块中间钻长方体孔（孔长20、宽2、高3cm），全部涂色（含孔内），涂色面积是______。
答案：2588平方厘米
解析：正方体外表面=20×20×6=2400，减去两个孔口2×3×2=12，得2388。孔内壁=2×20×2+3×20×2=80+120=200。合计2388+200=2588。
水平测试 A 第11题(解答题，配图21-4)
图21-4由棱长2厘米小正方体叠成，表面积与体积各是多少？
答案：360平方厘米，280立方厘米
解析：各方向视图数正方形面：表面积=2²×(15×6)=360。体积=2³×(1+3+6+10+15)=8×35=280。
水平测试 A 第12题(解答题)
10个表面涂色长方体（长宽高2、3、4），全截成1cm正方体。(1)两面有色共多少？(2)至少一面有色共多少？
答案：(1)120个；(2)240个
解析：每个长方体两面红=4×(2−2)+4×(3−2)+4×(4−2)=0+4+8=12，10个共120。至少一面红=总块数−内部无色=2×3×4−(0×1×2)=24−0=24每个，10个240。
水平测试 B 第1题(填空题)
底面正方形长方体，侧面展开后是边长4分米正方形，体积是______。
答案：4立方分米
解析：侧面展开正方形边长=底面周长=4×底面边长=4，底面边长=1。高=4。体积=1×1×4=4。
水平测试 B 第2题(填空题)
正方体高增加3厘米成长方体，表面积比原正方体增96平方厘米，原正方体体积是______。
答案：512立方厘米
解析：增加的是四个侧面：4×棱长×3=96，棱长=8。体积=8³=512。
水平测试 B 第3题(填空题)
水箱长1分米、宽4.5cm，钢球浸没水深8.2cm，取出后水面降0.2cm，钢球重______克（1cm³钢重7.8克）。
答案：70.2克
解析：钢球体积=10×4.5×0.2=9cm³。重=9×7.8=70.2克。
水平测试 B 第4题(填空题)
两个相同长方体（10×5×2）拼成表面积最大的长方体，拼成后比原来两个表面积之和减少______。
答案：20平方厘米
解析：要表面积最大，应让最小面（5×2=10）贴合。减少2个贴合面=2×10=20。
水平测试 B 第5题(填空题)
长方体表面可以有______个面是正方形。
答案：6
解析：正方体是特殊长方体，6个面都是正方形。
水平测试 B 第6题(填空题)
三个棱长2分米立方体拼成长方体，表面积是______。
答案：56平方分米
解析：拼成2×2×6长方体。表面积=2(4+12+12)=56。
水平测试 B 第7题(填空题)
正方体涂红切成27个1cm小正方体，一面红____个，两面红____个，三面红____块。
答案：6；12；8
解析：n=3。一面=6(n−2)²=6；两面=12(n−2)=12；三面=8。
水平测试 B 第8题(填空题)
正方体棱长扩大3倍后体积162，原正方体体积是______。
答案：6立方厘米
解析：体积扩27倍。原=162÷27=6。
水平测试 B 第9题(填空题)
鱼池长8米宽5米深1米，水面比地面低1分米，两个1dm²正方形出水口，每秒排水2米，排完需______分钟。
答案：15分钟
解析：水体积=8×5×(1−0.1)=36m³。每秒排水=0.01×2×2=0.04m³/s（两个口）。时间=36÷0.04=900秒=15分。
水平测试 B 第10题(填空题，配图21-12)
长方体纸盒平面展开图（图21-12，总长40、总高10、突出12），体积是______。
答案：960立方厘米
解析：由展开图得a=12,b=10,h=(40−2×12)÷2=8。V=12×10×8=960。
水平测试 B 第11题(解答题，配图21-13)
棱长4cm正方体六面中心各挖去棱长1cm小正方体，表面积是多少？洞都打穿后表面积又变多少？
答案：120平方厘米；126平方厘米
解析：不打穿：每挖一个增4×1×1=4，六个增24，总=4×4×6+24=120。打穿后外表面=96−6=90，内部六个小通道侧面积=1.5×1×4×6=36，总=126。
水平测试 B 第12题(解答题)
大长方体表面涂红后分成小正方体，两面红的恰好100块，至少分成多少个小正方体？
答案：108个
解析：两面红=4(a−2)+4(b−2)+4(c−2)=100，即(a+b+c−6)=25，a+b+c=31。要块数abc最小，三数差越大越好。令其中一个为2（该组两面红为0），则另两数和=29，取2和27（差最大），块数=2×2×27=108。
水平测试 B 第13题(解答题，配图21-14/15)
正方体截面APQC（图21-14），在展开图21-15中画出四条边。
答案：见图A-22：A在ABFE面、C在ABCD面、P在EF边、Q在FG边；AC在ABCD面，AP在ABFE面，QC在BCGF面，PQ在EFGH面
解析：先在展开图上标出A、B、C、D、E、F、G、H各面位置，再根据截面顶点所在的棱连线。
C层
水平测试 A 第1题(填空题)
长方体棱长之和48厘米，长5厘米、宽4厘米，表面积是______，体积是______。
答案：94平方厘米；60立方厘米
解析：4(5+4+h)=48，h=3。表面积=2(5×4+5×3+4×3)=94。体积=5×4×3=60。
水平测试 A 第2题(填空题)
联结长方体一顶点A和最远顶点G（图21-2）。(1)与AG相交的直线；(2)与AG异面的直线；(3)与DH平行的面；(4)与ABCD垂直的面。
答案：(1)AC,AB,AE,AD,GF,GE,GH,GC；(2)BC,CD,EF,EH,BF,DH；(3)面AEFB、面BFGC、面AEGC；(4)面AEFB、面BFGC、面CGHD、面AEHD、面AEGC
解析：按长方体顶点标注逐一判断共面/异面/平行/垂直。
水平测试 A 第3题(填空题)
一个正方体和一个长方体拼成新长方体，新长方体比原长方体表面积增加60平方厘米，正方体表面积是______。
答案：90平方厘米
解析：拼接时遮住两个正方形面（正方体一个、长方体一个），新增的60是正方体其余4个面。正方体一个面=60÷4=15，表面积=6×15=90。
水平测试 A 第4题(填空题)
长方体正好分割成3个体积相等的正方体，一个正方体表面积3平方厘米，原长方体表面积是______。
答案：7平方厘米
解析：正方体一个面=3÷6=0.5。3个正方体拼成长方体，遮住4个面。原表面积=3×3−4×0.5=9−2=7。
水平测试 A 第5题(填空题)
从长方体木料截下48立方分米后，剩下是棱长4分米正方体，原木料表面积是______。
答案：144平方分米
解析：截下部分截面=4×4=16，长=48÷16=3。原木料尺寸4×4×(4+3)=4×4×7。表面积=2(16+28+28)=144。
水平测试 A 第6题(填空题)
长方体铁皮水箱容量400升，底面是边长8分米正方形，水箱深______。
答案：6.25分米
解析：400升=400立方分米。底面积=8×8=64。深=400÷64=6.25。
水平测试 A 第7题(填空题)
长方体表面积14平方厘米，正好分成三个正方体，体积是______。
答案：3立方厘米
解析：三个正方体拼成长方体共14个正方形面露在外面（3×6−4=14），每个面=1。正方体棱长1，体积=1×3=3。
水平测试 A 第8题(填空题)
用棱长1厘米正方体小木块拼成棱长3厘米正方体，共需______块。
水平测试 A 第9题(填空题)
长方体与正方体底面积相等，长方体高是正方体高的2倍，正方体体积是长方体的______。
答案：1/2
解析：V=底面积×高，底面积相同，高是2倍则体积是2倍，正方体是长方体的1/2。
水平测试 A 第10题(填空题，配图21-3)
边长20cm正方体木块中间钻长方体孔（孔长20、宽2、高3cm），全部涂色（含孔内），涂色面积是______。
答案：2588平方厘米
解析：正方体外表面=20×20×6=2400，减去两个孔口2×3×2=12，得2388。孔内壁=2×20×2+3×20×2=80+120=200。合计2388+200=2588。
水平测试 A 第11题(解答题，配图21-4)
图21-4由棱长2厘米小正方体叠成，表面积与体积各是多少？
答案：360平方厘米，280立方厘米
解析：各方向视图数正方形面：表面积=2²×(15×6)=360。体积=2³×(1+3+6+10+15)=8×35=280。
水平测试 A 第12题(解答题)
10个表面涂色长方体（长宽高2、3、4），全截成1cm正方体。(1)两面有色共多少？(2)至少一面有色共多少？
答案：(1)120个；(2)240个
解析：每个长方体两面红=4×(2−2)+4×(3−2)+4×(4−2)=0+4+8=12，10个共120。至少一面红=总块数−内部无色=2×3×4−(0×1×2)=24−0=24每个，10个240。
水平测试 C 第1题(填空题)
棱长4分米立方体各面正中挖边长1分米正方形洞，全部挖通，表面积是______，体积是______。
答案：126平方分米；54立方分米
解析：S=4²×6−1²×6+1.5×1×4×6=96−6+36=126。V=4³−1²×4×3+1³×2=64−12+2=54。
水平测试 C 第2题(填空题)
长方体8×5×4切成两个长方体后，表面积之和最大是______。
答案：264平方厘米
解析：原表面积=2(40+20+32)=184。切面选最大面8×5=40，增80。最大和=184+80=264。
水平测试 C 第3题(填空题)
60×40×30水箱注15cm深水，沉10cm立方体铁块，水面升到______。
答案：15又5/12厘米
解析：铁块体积=10³=1000。水箱底面积=60×40=2400。升高=1000÷2400=5/12。升到15+5/12=15又5/12。
水平测试 C 第4题(填空题)
长方体高缩短3.8cm成正方体，表面积比原来减45.6，原长方体表面积是______。
答案：99.6平方厘米
解析：减少的是四个侧面：4×棱长×3.8=45.6，棱长=3。原长方体=3×3×(3+3.8)。表面积=2(9+11.4+22.8)=99.6。
水平测试 C 第5题(填空题)
3.6米长方体木料锯成三段，表面积总和比原来增36平方分米，原体积是______。
答案：324立方分米
解析：锯两段切两刀，增4个截面。截面=36÷4=9。长36分米。体积=9×36=324。
水平测试 C 第6题(填空题)
15×16水箱有10cm深水，放石块后水面离底14cm，石块体积至少______。
答案：960立方厘米
解析：石块体积=排开水体积=15×16×(14−10)=960。
水平测试 C 第7题(填空题)
长方体长12、宽10，高整厘米，涂满后截成1cm小正方体，一面有色的有448个，原体积与表面积为______。
答案：1200立方厘米，680平方厘米
解析：一面红=2[(12−2)(10−2)+(12−2)(h−2)+(10−2)(h−2)]=448。即80+10(h−2)+8(h−2)=224，18(h−2)=144，h=10。V=12×10×10=1200，S=2(120+120+100)=680。
水平测试 C 第8题(填空题，配图21-22)
图21-22由棱长3cm小正方体搭成积木，体积是______，表面积是______。
答案：2700立方厘米；1296平方厘米
解析：积木由5×5×4=100个小正方体搭成。体积=3³×100=2700。表面积=3²×(4×5×4+5×5×2+14)=9×144=1296。
水平测试 C 第9题(填空题)
10个涂红正方体棱长1,3,5,…,19，全锯成1cm小正方体，至少一面红的共______个。
答案：6859个
解析：每个大正方体至少一面红=总体积−内部无色=(n³−(n−2)³)。求和Σ_{k=0}^{9}((2k+1)³−(2k−1)³)=19³−1³=6859（望远镜求和）。
水平测试 C 第10题(解答题)
单晶铜外形简单几何体，有三角形和八边形两种晶面，24个顶点每个顶点三条棱，求两种晶面数目。
答案：三角形晶面8个，八边形晶面6个
解析：顶点24，每顶点3条棱，棱数=24×3÷2=36。由欧拉公式V+F−E=2，面数F=2+36−24=14。设三角形x个、八边形y个：x+y=14，(3x+8y)/2=36。解得x=8,y=6。
水平测试 C 第11题(解答题，配图21-23)
27×8×8长方体分四部分重组成棱长12正方体，怎么分？
答案：见图A-23：把27×8×8先按宽切，补成12×12×12
解析：目标体积12³=1728，原体积27×8×8=1728相等。按图A-23A/B/C三步切割重排。
水平测试 C 第12题(解答题)
用一个平面截正方体，截面可以是几边形？
答案：三角形、四边形、五边形或六边形
解析：平面与正方体几个面相交就得到几边形；正方体6个面，最多交6条线成六边形，最少3条成三角形。
水平测试 C 第13题(解答题)
27块正方体：8块三面绿且交于顶点、12块两面绿、6块一面绿、1块全不绿。能否拼成表面全绿大正方体？
答案：能
解析：3×3×3大正方体表面涂色后正好：8个顶点三面绿、12条棱中间两面绿、6个面中心一面绿、1块中心无色。完全匹配。
水平测试 C 第14题(解答题)
长方体12条棱中，不相交的两条棱称为一对，不相交的棱有多少对？
答案：42对
解析：每条棱与4条相交、与3条平行、与4条异面（不相交）。12条棱每条有7条不相交，但每对算两次：12×7÷2=42。
水平测试 C 第15题(解答题，配图21-24)
由单位正方体积木堆成立体，正视图、俯视图、侧视图如图21-24，体积至少多少？
答案：18
解析：俯视图定最底层11个；正视图在一侧加7块；侧视图调整上层使符合，最少11+7=18块。
四、方法小结
长方体核心是“长宽高a,b,c”：棱长总和4(a+b+c)、表面积2(ab+bc+ca)、体积abc。切割切一刀增两个切面；打孔要数清楚新增内壁和减去的洞口，三向贯穿中心交汇要用容斥加回。浸水问题：水面升高部分体积=物体体积=容器底面积×升高。表面涂色正方体记住三面8、两面12(n−2)、一面6(n−2)²、无色(n−2)³。展开图与三视图靠空间想象，把立体拆成面、把面拼成立体来回练。
五、作业建议
基础必做：- 教材P188–189 水平测试A 第1–8题（基本公式与位置关系）
- 教材P189 水平测试A 第9、10题（体积比例、打孔涂色）
巩固选做：- 教材P189 水平测试A 第11、12题（叠积木、涂色块数）
- 教材P191–192 水平测试B 第1–10题（展开图、浸水、拼接）
提高挑战：- 教材P192 水平测试B 第11–13题（打穿表面积、两面红反求、截面展开图）
- 教材P194–196 水平测试C 第1–15题（综合：打穿体积、反求尺寸、欧拉公式、三视图）
六、课堂错因定位
症状：三向贯穿洞忘记中心交汇重复计算
根因：容斥：三个洞在中心重叠
补救：画示意图指出中心小正方体被三个洞各减一次。
症状：表面积增减数不清几个面
根因：切割：切一刀增两个面
补救：先问自己切了几刀、切面多大。
症状：浸水题用错底面积
根因：公式：升高体积=容器底×升高
补救：强调除以水箱底面积，不是物体底面积。
症状：涂色块数忘记减顶点
根因：两面红在棱中间不含顶点
补救：三面8顶点固定，两面=12(n−2)。
症状：展开图画成田字形
根因：空间想象：田字折不成正方体
补救：记住11种展开图，田字凹字排除。