奥数精讲与测试1—6年级全套课程
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【学生版】第22讲 · 二元一次不定方程

六年级奥数 · 教材第197–204页（第22讲全讲）

一、知识要点

不定方程有解条件与通解结构

本质：a,b互素时ax+by=c若有一组整数解(x₀,y₀)，则一切整数解为x=x₀−bt，y=y₀+at（t∈Z）。关键是求一组特解。
通解结构：特解 + t×方向向量 t=−1 特解(x₀,y₀) t=1 每走一步 x减b、y加a（保证 ax+by 不变）

求特解：观察法与逐步缩小系数法

本质：系数小直接观察一组整数解；系数大用最小系数除各项，把系数小的变量用另一变量表示，反复降次直到能观察。
逐步缩小系数：7x+19y=213 x = 30−2y + (3−5y)/7 令 (3−5y)/7 = u → 5y+7u=3 y = −u + (3−2u)/5 令 (3−2u)/5 = v → 2u+5v=3 观察 u=−1, v=1，回代得 y=2, x=25

正整数解：定t范围再枚举

本质：写出通解后，令x>0,y>0解不等式组求t的整数范围，再逐个代回列出所有正整数解。
枚举表：t 的整数范围 t=0t=1t=2… (25,2) ✓ (6,9) ✓ x<0 舍去

三元不定方程组：消元化为二元

本质：三元方程组先消去一元化为二元一次不定方程，解出后再代回求第三元。
三元 → 二元 → 回代求 z 三元方程组 消z 二元不定方程 回代 求 z

二、典例精讲

典例 A1
求 11x+15y=7 的整数解。
求 11x + 15y = 7 的整数解 （先试小整数 y，使 7−15y 能被 11 整除）
典例 A2
求方程 7x+19y=213 的所有正整数解。
求 7x + 19y = 213 的所有正整数解 （系数大，用逐步缩小系数法求特解）
典例 B1
求方程组{x+y+3z=100, 5x+3y+z=100}的全部整数解。
x+y+3z=100，5x+3y+z=100 （第二式×3 − 第一式，消去 z）
典例 B2
考察队每天11km前进，考察若干天后以每天13km返回。出发后第31天，走了2km后回到出发点。问考察了几天？
去时每天11km，返回每天13km 第31天只走了2km就回到出发点 （设去x天、考察y天；往返路程相等）
典例 C1
布袋红(标1)黄(标2)蓝(标3)球，摸出10个数字和21，红球最多不超过多少？
红(标1)、黄(标2)、蓝(标3)球共摸出10个 数字和=21，问红球最多几个 （设红x黄y，蓝=10−x−y）
典例 C2
非负整数a,b,c满足28a+30b+31c=365，p=a+b+c，求(1/100)[p(p²−100)]。
非负整数 a,b,c：28a+30b+31c=365 p=a+b+c，求 (1/100)[p(p²−100)] （联想到平年12个月：365=28×7+30×4+31×7）

三、水平测试

A层

水平测试 A 第1题
a、b都是正整数，且143a+500b=2001，求a+b。
水平测试 A 第2题
求方程9x+21y=79的整数解。
水平测试 A 第3题
求方程3x+4y=5的整数解。
水平测试 A 第4题
求方程7x+11y=123的整数解。
水平测试 A 第5题
求方程6x+22y=90的非负整数解。
水平测试 A 第6题
不超过100元买7元和9元练习本各x、y本，每种至少3本，购买方式共多少种？

B层

水平测试 A 第1题
a、b都是正整数，且143a+500b=2001，求a+b。
水平测试 A 第2题
求方程9x+21y=79的整数解。
水平测试 A 第3题
求方程3x+4y=5的整数解。
水平测试 A 第4题
求方程7x+11y=123的整数解。
水平测试 A 第5题
求方程6x+22y=90的非负整数解。
水平测试 A 第6题
不超过100元买7元和9元练习本各x、y本，每种至少3本，购买方式共多少种？
水平测试 B 第1题
三元方程x+y+z=2023的非负整数解组数。
水平测试 B 第2题
求方程2x+3y+7z=23的整数解。
水平测试 B 第3题
求方程组{5x+7y+9z=52, 3x+5y+7z=36}的正整数解。
水平测试 B 第4题
求方程123x+57y=531的全部正整数解。
水平测试 B 第5题
求方程3x+5y=1306的正整数解组数。
水平测试 B 第6题
(1)用19°模板画1°角；(2)17°模板能否画1°；(3)21°模板能否画1°。
水平测试 B 第7题
考察队每天17km前进、25km返回，第60天走24km后回出发点，考察几天？

C层

水平测试 A 第1题
a、b都是正整数，且143a+500b=2001，求a+b。
水平测试 A 第2题
求方程9x+21y=79的整数解。
水平测试 A 第3题
求方程3x+4y=5的整数解。
水平测试 A 第4题
求方程7x+11y=123的整数解。
水平测试 A 第5题
求方程6x+22y=90的非负整数解。
水平测试 A 第6题
不超过100元买7元和9元练习本各x、y本，每种至少3本，购买方式共多少种？
水平测试 C 第1题
套圈：小鸡9分小猴5分小狗2分，套10次每次都中、每种至少中一次，共61分。小鸡至少套中几次？
水平测试 C 第2题
5%、8%、9%盐水各60、60、47克，配7%盐水100克，甲最多/最少用多少克？
水平测试 C 第3题
公鸡5元母鸡3元小鸡1元3只，100元买100只（三种都有），各买多少？
水平测试 C 第4题
里程碑：第一次两位数，一小时后颠倒，再过一小时中间加0，三块碑各多少？
水平测试 C 第5题
每车22人剩1人；一空车开走后平均分乘其他车，每车最多32人。起初几车几人？
水平测试 C 第6题
既约真分数2/3、a/4、b/6分子都加b，和为6，求三个分数的积。
水平测试 C 第7题
纸币1、10、20、50元共20000元，买10000元电脑，证明不需找零即可付清。