奥数精讲与测试1—6年级全套课程
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【教师版】第22讲 · 二元一次不定方程

六年级奥数 · 教材第197–204页（第22讲全讲）

一、知识要点

不定方程有解条件与通解结构

本质：a,b互素时ax+by=c若有一组整数解(x₀,y₀)，则一切整数解为x=x₀−bt，y=y₀+at（t∈Z）。关键是求一组特解。
通解结构：特解 + t×方向向量 t=−1 特解(x₀,y₀) t=1 每走一步 x减b、y加a（保证 ax+by 不变）
适用：典例A1（11x+15y=7）：观察得x₀=2,y₀=−1，通解x=2−15t,y=−1+11t。测试A2（9x+21y=79）：gcd(9,21)=3不整除79，无解。
  1. 验证：把x=x₀−bt,y=y₀+at代入ax+by=a(x₀−bt)+b(y₀+at)=ax₀+by₀=c，仍成立。
  2. 两个特解之差必是(−b,a)的整数倍（由a,b互素保证），所以通解无遗漏。
  3. 若gcd(a,b)=d不整除c，则左边是d的倍数右边不是，无解。
典型错误：通解t的系数符号写反；或忘记先判断gcd是否整除c就硬求。

求特解：观察法与逐步缩小系数法

本质：系数小直接观察一组整数解；系数大用最小系数除各项，把系数小的变量用另一变量表示，反复降次直到能观察。
逐步缩小系数：7x+19y=213 x = 30−2y + (3−5y)/7 令 (3−5y)/7 = u → 5y+7u=3 y = −u + (3−2u)/5 令 (3−2u)/5 = v → 2u+5v=3 观察 u=−1, v=1，回代得 y=2, x=25
适用：典例A2（7x+19y=213）：用7除各项得x=30−2y+(3−5y)/7，令(3−5y)/7=u，得5y+7u=3；再用5除得y=−u+(3−2u)/5，令v=(3−2u)/5，得2u+5v=3，观察u=−1,v=1。
  1. 用较小系数7除方程各项，把x表示成整数部分加一个分数。
  2. 分数部分必须也是整数，引入新变量u，得到系数更小的新不定方程。
  3. 反复做直到系数小到能直接观察一组解，再逐层回代。
典型错误：回代时算错；或停在中间层没有回代到原变量。

正整数解：定t范围再枚举

本质：写出通解后，令x>0,y>0解不等式组求t的整数范围，再逐个代回列出所有正整数解。
枚举表：t 的整数范围 t=0t=1t=2… (25,2) ✓ (6,9) ✓ x<0 舍去
适用：典例A2（7x+19y=213）通解x=25−19t,y=2+7t。x>0得t<25/19≈1.3，y>0得t>−2/7≈−0.29，故t=0,1，得(25,2),(6,9)。测试B5（3x+5y=1306）求组数87。
  1. 通解写出后不要急着枚举，先列不等式组。
  2. 解出t的范围是一个开区间，只取区间内整数。
  3. 把每个整数t代回，列出全部正整数解。
典型错误：不等式边界取错（等号是否包含0）；或漏枚举某个整数t。

三元不定方程组：消元化为二元

本质：三元方程组先消去一元化为二元一次不定方程，解出后再代回求第三元。
三元 → 二元 → 回代求 z 三元方程组 消z 二元不定方程 回代 求 z
适用：典例B1（{x+y+3z=100,5x+3y+z=100}）：两式消z得7x+4y=100，解出x,y再代回求z。测试B3（{5x+7y+9z=52,3x+5y+7z=36}）同法。
  1. 两式乘适当系数消去z，得到只含x,y的二元不定方程。
  2. 按二元方法求通解。
  3. 把x,y代回原式求z，z也会带同一个参数t。
典型错误：消元算错；或解出x,y后忘记代回求z。

二、典例精讲

典例 A1
求 11x+15y=7 的整数解。
训练点：观察法求特解，写通解。
提示：
1. 试小整数y，使7−15y能被11整除。
2. y=−1时7−15×(−1)=22，是11的倍数。
1观察：y=−1时7−15×(−1)=22，22÷11=2，x=2。得特解x₀=2,y₀=−1。
依据：为什么想到这一步：系数11、15都不大，直接试小整数y最快；让不含y的一侧7−15y成为11的倍数。
2由定理，通解x=x₀−15t=2−15t，y=y₀+11t=−1+11t（a=11,b=15）。
依据：找到一组特解后，按定理x配−bt、y配+at写出全部解。
答：x=2−15t，y=−1+11t（t为整数）
典型错法：通解写成x=2+15t,y=−1−11t（符号反了）。
典例 A2
求方程 7x+19y=213 的所有正整数解。
训练点：逐步缩小系数法求特解，再定t范围。
提示：
1. 用最小系数7除各项，把x写成整数加分数。
2. 反复降次直到能观察，再逐层回代。
1用最小系数7除各项：x=(213−19y)/7=30−2y+(3−5y)/7。
依据：为什么想到这一步：19=2×7+5，把x拆成整数部分加一个真分数，分数必须也是整数。
2令(3−5y)/7=u，则5y+7u=3。再用5除：y=(3−7u)/5=−u+(3−2u)/5。
依据：分数部分必须为整数，引入新变量u，得到一个系数更小的新不定方程。
3令(3−2u)/5=v，则2u+5v=3。观察u=−1,v=1。
依据：反复降次，直到系数小到一眼能看出一组解。
4回代：u=−1代入y=−u+(3−2u)/5=1+(3+2)/5=2；y=2代入x=30−2y+(3−5y)/7=30−4−1=25。
依据：逐层代回，先求u再求y最后求x。
5通解x=25−19t，y=2+7t。
依据：a=7,b=19，写通解。
6正整数：25−19t>0得t<25/19≈1.3；2+7t>0得t>−2/7≈−0.29。故t=0,1。
依据：先列不等式组定t范围，不要急着枚举。
7t=0：(25,2)；t=1：(6,9)。
依据：把范围内的整数t逐个代回。
答：(x,y)=(25,2) 或 (6,9)
典型错法：回代算错；或t范围取错把t=2也算入。
典例 B1
求方程组{x+y+3z=100, 5x+3y+z=100}的全部整数解。
训练点：三元方程组消元化二元。
提示：
1. 第二式乘3减第一式，消去z。
1第二式×3−第一式：15x+9y+3z−(x+y+3z)=300−100，即14x+8y=200，化简7x+4y=100。
依据：为什么想到这一步：两式中z的系数分别是3和1，把第二式乘3就和第一式的z同为3，相减消去z。
2观察特解x=−100,y=200（7×(−100)+4×200=100）。通解x=−100−4t，y=200+7t。
依据：系数7、4，凑一个特解后按定理写通解（a=7,b=4）。
3代回第一式：(−100−4t)+(200+7t)+3z=100，3t+3z=0，z=−t。
依据：为什么必须回代：x,y里都带t，代回原式才能求出第三个元z（z也带同一个t）。
答：x=−100−4t，y=200+7t，z=−t（t为整数）
典型错法：消元系数错；或忘记回代求z。
典例 B2
考察队每天11km前进，考察若干天后以每天13km返回。出发后第31天，走了2km后回到出发点。问考察了几天？
训练点：列不定方程解应用题。
提示：
1. 设去时x天、考察y天。回来用了31−1−x−y天（第31天当天走2km）。
2. 去的路程=11x，回的路程=13×(30−x−y)+2。
1设去x天、考察y天。前30天里：去用x天、考察y天，其余(30−x−y)天以每天13km返回；第31天当天走2km。往返路程相等：11x=13(30−x−y)+2。
依据：为什么这样列：去的路程=11x；返回的路程=13×返回天数+第31天的2km。关键是第31天当天只走2km，不是一整天。
2化简：11x=390−13x−13y+2，24x+13y=392。
依据：整理成标准不定方程。
3观察特解x=12,y=8（24×12+13×8=392）。通解x=13t+12，y=−24t+8。
依据：a=24,b=13，凑特解后写通解。
4x>0,y>0：13t+12>0且−24t+8>0，得−12/13<t<1/3，整数t只能取0。
依据：正天数约束把t夹到唯一值。
5x=12,y=8，考察了8天。
依据：y即考察天数。
答：8天
典型错法：时间分配错（第31天当天只走2km不是一整天）。
典例 C1
布袋红(标1)黄(标2)蓝(标3)球，摸出10个数字和21，红球最多不超过多少？
训练点：三元约束化为二元，求最大值。
提示：
1. 设红球x黄球y，蓝球=10−x−y。
2. 数字和：x+2y+3(10−x−y)=21。
1设红x黄y，蓝=10−x−y。数字和：x+2y+3(10−x−y)=21。
依据：为什么想到这一步：三个未知量，用总数10把蓝球表示出来，就只剩x,y两个元。
2化简：x+2y+30−3x−3y=21，2x+y=9。
依据：消去蓝球变量。
3y=9−2x≥0（黄球不能为负），得x≤4.5，x最大整数4。
依据：要求红球最多，就让另一个非负变量尽量小（取0）。
答：4个
典型错法：忘记蓝球=10−x−y，列不出方程。
典例 C2
非负整数a,b,c满足28a+30b+31c=365，p=a+b+c，求(1/100)[p(p²−100)]。
训练点：用夹逼法定p，不必解出a,b,c。
提示：
1. 28≤28a+30b+31c≤31(a+b+c)=31p。
2. 由365≤31p和365≥28p夹出p。
1系数28、30、31正好是小月、平月、大月天数，和365是平年天数，猜想p=a+b+c=12。下面用夹逼严格验证。
依据：为什么想到这一步：题目不求a,b,c具体值，只问p，所以不必解三元方程，先夹出p。
2每项系数≥28、≤31，故28p≤28a+30b+31c=365≤31p。
依据：把a,b,c都提出来，系数分别取最小28和最大31放缩。
3p≤365/28≈13.0，p≥365/31≈11.8，故p只可能是12或13。
依据：解两个不等式把p夹成两个候选。
4p=13时：最小和=28×13=364，只有a=13,b=c=0取到364≠365；其余组合和≥366>365，矛盾。故p≠13。
依据：逐个排除候选，不能只算下界就下结论。
5故p=12。(1/100)[12(12²−100)]=12×44/100=5.28。
依据：代入目标式。
答：5.28
典型错法：硬解三个未知数；或p=13时不验证就排除。

三、水平测试

A层

水平测试 A 第1题
a、b都是正整数，且143a+500b=2001，求a+b。
答案：9
解析：b≤2001/500=4。试b=1:143a=1501不整除；b=2:143a=1001,a=7。b=3,4不行。a+b=9。
水平测试 A 第2题
求方程9x+21y=79的整数解。
答案：无整数解
解析：gcd(9,21)=3，3不整除79，故无整数解。
水平测试 A 第3题
求方程3x+4y=5的整数解。
答案：x=3−4t，y=−1+3t（t为整数）
解析：观察x₀=3,y₀=−1（9−4=5）。通解x=3−4t,y=−1+3t。
水平测试 A 第4题
求方程7x+11y=123的整数解。
答案：x=−369−11t，y=246+7t（t为整数）
解析：7x+11y=1的特解x=−3,y=2。乘123得x₀=−369,y₀=246。通解x=−369−11t,y=246+7t。
水平测试 A 第5题
求方程6x+22y=90的非负整数解。
答案：(x,y)=(15,0) 或 (4,3)
解析：化简3x+11y=45。观察x=4,y=3。通解x=4−11t,y=3+3t。非负：4−11t≥0得t≤0；3+3t≥0得t≥−1。t=0:(4,3)；t=−1:(15,0)。
水平测试 A 第6题
不超过100元买7元和9元练习本各x、y本，每种至少3本，购买方式共多少种？
答案：29种
解析：7x+9y≤100，x≥3,y≥3。枚举y=3时x=3..10共8种；y=4时x=3..9共7种；y=5时x=3..7共5种；y=6时x=3..6共4种；y=7时x=3..5共3种；y=8时x=3,4共2种。合计8+7+5+4+3+2=29。

B层

水平测试 A 第1题
a、b都是正整数，且143a+500b=2001，求a+b。
答案：9
解析：b≤2001/500=4。试b=1:143a=1501不整除；b=2:143a=1001,a=7。b=3,4不行。a+b=9。
水平测试 A 第2题
求方程9x+21y=79的整数解。
答案：无整数解
解析：gcd(9,21)=3，3不整除79，故无整数解。
水平测试 A 第3题
求方程3x+4y=5的整数解。
答案：x=3−4t，y=−1+3t（t为整数）
解析：观察x₀=3,y₀=−1（9−4=5）。通解x=3−4t,y=−1+3t。
水平测试 A 第4题
求方程7x+11y=123的整数解。
答案：x=−369−11t，y=246+7t（t为整数）
解析：7x+11y=1的特解x=−3,y=2。乘123得x₀=−369,y₀=246。通解x=−369−11t,y=246+7t。
水平测试 A 第5题
求方程6x+22y=90的非负整数解。
答案：(x,y)=(15,0) 或 (4,3)
解析：化简3x+11y=45。观察x=4,y=3。通解x=4−11t,y=3+3t。非负：4−11t≥0得t≤0；3+3t≥0得t≥−1。t=0:(4,3)；t=−1:(15,0)。
水平测试 A 第6题
不超过100元买7元和9元练习本各x、y本，每种至少3本，购买方式共多少种？
答案：29种
解析：7x+9y≤100，x≥3,y≥3。枚举y=3时x=3..10共8种；y=4时x=3..9共7种；y=5时x=3..7共5种；y=6时x=3..6共4种；y=7时x=3..5共3种；y=8时x=3,4共2种。合计8+7+5+4+3+2=29。
水平测试 B 第1题
三元方程x+y+z=2023的非负整数解组数。
答案：2049300组
解析：对每个x=k，y+z=2023−k有2024−k组。总数=Σ_{k=0}^{2023}(2024−k)=1+2+…+2024=2024×2025/2=2049300。
水平测试 B 第2题
求方程2x+3y+7z=23的整数解。
答案：x=−2−7v−3u，y=2+7v+2u，z=3−v（u,v为整数）
解析：令2x+3y=t，则t+7z=23。先解2x+3y=t：x=−t−3u,y=t+2u。再解t+7z=23：观察t₀=2,z₀=3，通解t=2+7v,z=3−v。代入得x=−2−7v−3u,y=2+7v+2u。
水平测试 B 第3题
求方程组{5x+7y+9z=52, 3x+5y+7z=36}的正整数解。
答案：(4,2,2) 或 (3,4,1)
解析：第一式−第二式：2x+2y+2z=16即x+y+z=8。与第二式联立消z：3x+5y+7(8−x−y)=36，−4x−2y=−20，2x+y=10。y=10−2x。x=4,y=2,z=2；x=3,y=4,z=1。
水平测试 B 第4题
求方程123x+57y=531的全部正整数解。
答案：(x,y)=(2,5)
解析：两边除以3：41x+19y=177。y=(177−41x)/19=9−2x+(6−3x)/19。观察x=2时(6−6)/19=0，y=5。通解x=2−19t,y=5+41t。正整数只t=0一组。
水平测试 B 第5题
求方程3x+5y=1306的正整数解组数。
答案：87组
解析：x=(1306−5y)/3=435−2y+(y+1)/3。观察y=−1时(x=437,y=−1)。通解x=437−5t,y=−1+3t。x>0得t<87.4，y>0得t>1/3。t=1..87共87组。
水平测试 B 第6题
(1)用19°模板画1°角；(2)17°模板能否画1°；(3)21°模板能否画1°。
答案：(1)能，19×19−360=1；(2)能，17×53−180×5=1；(3)不能
解析：画1°即找整数m,n使m·模板角−n·180=±1。(1)19m−180n=1，m=19,n=2（19×19=361=2×180+1）。(2)17m−180n=1，m=53,n=5（17×53=901=5×180+1）。(3)21m−180n=1，左边3的倍数右边不是，无解。
水平测试 B 第7题
考察队每天17km前进、25km返回，第60天走24km后回出发点，考察几天？
答案：23天
解析：设去x天考察y天。17x=25(59−x−y)+24。化简42x+25y=1499。通解x=25t−3,y=−42t+65。x>0,y>0得3/25<t<65/42，t=1。x=22,y=23。

C层

水平测试 A 第1题
a、b都是正整数，且143a+500b=2001，求a+b。
答案：9
解析：b≤2001/500=4。试b=1:143a=1501不整除；b=2:143a=1001,a=7。b=3,4不行。a+b=9。
水平测试 A 第2题
求方程9x+21y=79的整数解。
答案：无整数解
解析：gcd(9,21)=3，3不整除79，故无整数解。
水平测试 A 第3题
求方程3x+4y=5的整数解。
答案：x=3−4t，y=−1+3t（t为整数）
解析：观察x₀=3,y₀=−1（9−4=5）。通解x=3−4t,y=−1+3t。
水平测试 A 第4题
求方程7x+11y=123的整数解。
答案：x=−369−11t，y=246+7t（t为整数）
解析：7x+11y=1的特解x=−3,y=2。乘123得x₀=−369,y₀=246。通解x=−369−11t,y=246+7t。
水平测试 A 第5题
求方程6x+22y=90的非负整数解。
答案：(x,y)=(15,0) 或 (4,3)
解析：化简3x+11y=45。观察x=4,y=3。通解x=4−11t,y=3+3t。非负：4−11t≥0得t≤0；3+3t≥0得t≥−1。t=0:(4,3)；t=−1:(15,0)。
水平测试 A 第6题
不超过100元买7元和9元练习本各x、y本，每种至少3本，购买方式共多少种？
答案：29种
解析：7x+9y≤100，x≥3,y≥3。枚举y=3时x=3..10共8种；y=4时x=3..9共7种；y=5时x=3..7共5种；y=6时x=3..6共4种；y=7时x=3..5共3种；y=8时x=3,4共2种。合计8+7+5+4+3+2=29。
水平测试 C 第1题
套圈：小鸡9分小猴5分小狗2分，套10次每次都中、每种至少中一次，共61分。小鸡至少套中几次？
答案：5次
解析：设鸡x猴y狗z。x+y+z=10，9x+5y+2z=61。消z：7x+3y=41。y=(41−7x)/3=13−2x+(2−x)/3。x=2时y=9,z=−1（舍）；x=5时y=2,z=3。鸡至少5次。
水平测试 C 第2题
5%、8%、9%盐水各60、60、47克，配7%盐水100克，甲最多/最少用多少克？
答案：最多49克，最少35克
解析：设甲x乙y丙z克。x+y+z=100，5x+8y+9z=700。解得y=200−4x，z=3x−100。0≤x≤60,0≤y≤60,0≤z≤47。由y≥0得x≤50，y≤60得x≥35；z≥0得x≥34，z≤47得x≤49。故35≤x≤49。
水平测试 C 第3题
公鸡5元母鸡3元小鸡1元3只，100元买100只（三种都有），各买多少？
答案：(4,18,78)、(8,11,81)、(12,4,84)
解析：设公x母m小z。5x+3m+z/3=100，x+m+z=100。消z：7x+4m=100。x=−100+4t,m=200−7t。25<t<28.6，t=26,27,28。对应(4,18,78),(8,11,81),(12,4,84)。
水平测试 C 第4题
里程碑：第一次两位数，一小时后颠倒，再过一小时中间加0，三块碑各多少？
答案：16，61，106
解析：设第一次10a+b，第二次10b+a，第三次100a+b。车速匀速：(10b+a)−(10a+b)=(100a+b)−(10b+a)，化简9(b−a)=99a−9b，即2b=11a。a=1,b=6。三块16,61,106。
水平测试 C 第5题
每车22人剩1人；一空车开走后平均分乘其他车，每车最多32人。起初几车几人？
答案：24辆车，529名旅客
解析：设起初x车y人。y=22x+1。空一车后(x−1)车平均分乘：y/(x−1)为整数且≤32。(22x+1)/(x−1)=22+23/(x−1)为整数，x−1|23。x−1=1或23。x=2时22+23=45>32舍；x=24时23≤32。y=22×24+1=529。
水平测试 C 第6题
既约真分数2/3、a/4、b/6分子都加b，和为6，求三个分数的积。
答案：5/12
解析：(2+b)/3+(a+b)/4+2b/6=6，整理3a+11b=64。a=(64−11b)/3=21−4b+(1+b)/3。b=2时a=14；b=5时a=3。a/4、b/6为既约真分数，a=3,b=5。积=(2/3)(3/4)(5/6)=30/72=5/12。
水平测试 C 第7题
纸币1、10、20、50元共20000元，买10000元电脑，证明不需找零即可付清。
答案：证明见解析
解析：由整除性，1元张数必是10的倍数（否则总钱数个位凑不齐20000），把1元按10张一捆换成10元。设10元x张、20元y张、50元z张，则x+2y+5z=2000。若x≥1000或y≥500或z≥200，可直接取1000张10元、500张20元或200张50元付清10000元。否则2y+5z<2000，于是x>1800；把所有50元堆一起最多9950元，再用20元补到9990或10000，不足用1元（已按10张一捆）补齐，不需找零。

四、方法小结

二元一次不定方程ax+by=c：先判断gcd(a,b)|c，否则无解。有解时求一组特解(x₀,y₀)——系数小用观察，系数大用逐步缩小系数法。写出通解x=x₀−bt，y=y₀+at。要求正整数/非负整数解时，列x>0,y>0不等式组定t的整数范围，逐个代回。三元方程组先消一元化二元，解出再回代求第三元。应用题关键是设元后把总量关系写成方程。

五、作业建议

基础必做：
  • 教材P199 水平测试A 第1–5题（求整数解、判断无解）
  • 教材P199 水平测试A 第6题（枚举购买方式）
巩固选做：
  • 教材P200–201 水平测试B 第1–5题（三元、正整数解组数）
  • 教材P201 水平测试B 第6、7题（模板角、考察队应用）
提高挑战：
  • 教材P203–204 水平测试C 第1–7题（套圈、盐水、百钱百鸡、里程碑、旅客、分数、纸币证明）

六、课堂错因定位

症状：通解t系数符号写反
根因：没理解x配−bt、y配+at
补救：代回原方程验证：a(x₀−bt)+b(y₀+at)=ax₀+by₀=c。
症状：不判断gcd就硬求
根因：有解条件忘记
补救：先算gcd(a,b)，不整除c直接答无解。
症状：正整数t范围边界错
根因：不等式解错
补救：列出不等式组后逐个t代回检验。
症状：三元题消元后忘回代
根因：流程不完整
补救：解出x,y后必须代回原式求z。
症状：应用题不会列方程
根因：设元后找不到等量关系
补救：先设两个未知数，把题目中的总量关系写成等式。