奥数精讲与测试1—6年级全套课程
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【学生版】第3讲 · 分数的大小比较

六年级奥数 · 教材第21–28页（第3讲全讲）

一、知识要点

比较分数大小的基本方法

本质：通分法（统一分子或分母）、小数法（化小数）、作差法（差>0则被减数大）、作商法（商>1则被除数大）、交叉相乘法（ad>bc⟺a/b>c/d）、倒数法（倒数大反而小）。
八种方法速查 通分法统一分子或分母后比小数法化成小数逐位比作差法差>0，被减数大作商法商>1，被除数大交叉相乘ad>bc ⟺ a/b>c/d倒数法倒数大的反而小放缩法找中间标准数传递性质法真分数n/m<(n+k)/(m+k)

与1比较：接近1的分数

本质：当 a/b 与 c/d 都接近1时，写成 1−x 与 1−y，只需比较 x 与 y：x>y 则 1−x<1−y。
与1比较（典例A2） 666665/666667 = 1 − 2/666667 777776/777778 = 1 − 2/777778 2/666667 > 2/777778 ⇒ 1−2/666667 < 1−2/777778 故 666665/666667 < 777776/777778

真分数的性质与插值

本质：若 n/m 是真分数（n<m），则 n/m < (n+k)/(m+k)（k>0），即分子分母同加一个正数后分数变大。假分数相反。又 a/b < (a+c)/(b+d) < c/d（正数）。
插值不等式（Test B6） 11/222 < (11+111)/(222+2222)=122/2444 < 111/2222 倒数法验证：倒数大的原分数小

放缩求整数部分与繁分式

本质：求一个繁分数（分母为一串倒数和）的整数部分时，把分母整体放大/缩小成常数，从而把整个分数夹在两个相邻整数之间。
典例C2 放缩夹逼 分母 = 1/10+1/11+…+1/19（共10项） 分母 < 10×1/10 = 1 ⇒ 原式 > 1/1 = 1 分母 > 10×1/19 = 10/19 ⇒ 原式 < 19/10 = 1.9 1 < 原式 < 1.9，整数部分 = 1

二、典例精讲

典例 A1
分数 5/12、12/19、10/23、4/7、15/22 中，哪一个最大？
典例 A2
比较 666665/666667 和 777776/777778 的大小。
典例 B1
A = 1/(2020²−2020+1)，B = 1/(2020²−2019×2020+2019²)。比较 A 与 B。
典例 B2
在方框内填两个相邻整数，使 □ < 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 < □。
典例 C1
设 N = 10 × (2000²⁰⁰¹+2001²⁰⁰²)/(2000²⁰⁰⁰+2001²⁰⁰¹)，求 N 的整数部分。
典例 C2
求数 1/(1/10+1/11+1/12+…+1/19) 的整数部分。

三、水平测试

A层

水平测试 A 第1题(填空题)
比较大小：55553/55556 ______ 66662/66665。
水平测试 A 第2题(填空题)
比较大小：53²⁰⁰⁰/53¹⁹⁹⁹ ______ (53²⁰⁰⁰−2000)/(53¹⁹⁹⁹−2000)。
水平测试 A 第3题(填空题)
比较大小：12346/98761 ______ 12345/98765。
水平测试 A 第4题(填空题)
比较大小：22223/22224 ______ 33332/33333。
水平测试 A 第5题(填空题)
比较大小：43²⁰⁰¹/43²⁰⁰⁰ ______ (43²⁰⁰¹−2001)/(43²⁰⁰⁰−2001)。
水平测试 A 第6题(填空题)
比较大小：35861/35862 ______ 52971/52974。
水平测试 A 第7题(填空题)
比较大小：11111431/22222864 ______ 11111361/22222724。
水平测试 A 第8题(填空题)
比较大小：11111431/11111361 ______ 22222864/22222724。
水平测试 A 第9题(填空题)
比较 10/519、14/725、15/776、21/1088、35/1814 五个数，从大到小排列为______。
水平测试 A 第10题(填空题)
在 4/7、12/25、30/149、5/9、201/402 中最大的数是______。
水平测试 A 第11题(解答题)
求 9/10 + 99/100 + 999/1000 + … + 99999999999/100000000000 的整数部分。
水平测试 A 第12题(解答题)
有七个数，0.37、2/7、3/8、0.373、5/12 是其中的五个。已知从小到大排列的第三个数是2/7，求从大到小排列的中间数。

B层

水平测试 A 第1题(填空题)
比较大小：55553/55556 ______ 66662/66665。
水平测试 A 第2题(填空题)
比较大小：53²⁰⁰⁰/53¹⁹⁹⁹ ______ (53²⁰⁰⁰−2000)/(53¹⁹⁹⁹−2000)。
水平测试 A 第3题(填空题)
比较大小：12346/98761 ______ 12345/98765。
水平测试 A 第4题(填空题)
比较大小：22223/22224 ______ 33332/33333。
水平测试 A 第5题(填空题)
比较大小：43²⁰⁰¹/43²⁰⁰⁰ ______ (43²⁰⁰¹−2001)/(43²⁰⁰⁰−2001)。
水平测试 A 第6题(填空题)
比较大小：35861/35862 ______ 52971/52974。
水平测试 A 第7题(填空题)
比较大小：11111431/22222864 ______ 11111361/22222724。
水平测试 A 第8题(填空题)
比较大小：11111431/11111361 ______ 22222864/22222724。
水平测试 A 第9题(填空题)
比较 10/519、14/725、15/776、21/1088、35/1814 五个数，从大到小排列为______。
水平测试 A 第10题(填空题)
在 4/7、12/25、30/149、5/9、201/402 中最大的数是______。
水平测试 A 第11题(解答题)
求 9/10 + 99/100 + 999/1000 + … + 99999999999/100000000000 的整数部分。
水平测试 A 第12题(解答题)
有七个数，0.37、2/7、3/8、0.373、5/12 是其中的五个。已知从小到大排列的第三个数是2/7，求从大到小排列的中间数。
水平测试 B 第1题(填空题)
比较大小：777777775/777777779 ______ 888888883/888888887。
水平测试 B 第2题(填空题)
比较大小：100000005/100000008 ______ 800000003/800000006。
水平测试 B 第3题(填空题)
分数 4/9、17/35、101/203、3/7、151/301 中最大的一个数是______。
水平测试 B 第4题(填空题)
比较大小：34331279/34331281 ______ 51496919/51496922。
水平测试 B 第5题(填空题)
比较大小：34331279/51496919 ______ 34331281/51496922。
水平测试 B 第6题(填空题)
11/222、111/2222、(11+111)/(222+2222) 从大到小排列为______。
水平测试 B 第7题(填空题)
比较大小：111111110/222222221 ______ 444444443/888888887。
水平测试 B 第8题(填空题)
比较大小：222222220/444444441 ______ 333333334/666666669。
水平测试 B 第9题(填空题)
比较大小：2000²⁰⁰¹/2001²⁰⁰⁰ ______ (2000²⁰⁰¹+2001)/(2001²⁰⁰⁰+2001)。
水平测试 B 第10题(填空题)
比较大小：1999²⁰⁰⁰/2000¹⁹⁹⁹ ______ (1999²⁰⁰⁰+2000)/(2000¹⁹⁹⁹+2000)。
水平测试 B 第11题(解答题)
若 A=1/(2018²−2018+1)，B=1/(2018²−2017×2018+2017²)，比较 A 与 B 的大小。
水平测试 B 第12题(解答题)
一串分数：1/1, 1/2, 2/2, 1/3, 2/3, 3/3, 1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 1/5, …。问：(1) 3/50 是第几个分数？(2) 第423个分数是几分之几？

C层

水平测试 A 第1题(填空题)
比较大小：55553/55556 ______ 66662/66665。
水平测试 A 第2题(填空题)
比较大小：53²⁰⁰⁰/53¹⁹⁹⁹ ______ (53²⁰⁰⁰−2000)/(53¹⁹⁹⁹−2000)。
水平测试 A 第3题(填空题)
比较大小：12346/98761 ______ 12345/98765。
水平测试 A 第4题(填空题)
比较大小：22223/22224 ______ 33332/33333。
水平测试 A 第5题(填空题)
比较大小：43²⁰⁰¹/43²⁰⁰⁰ ______ (43²⁰⁰¹−2001)/(43²⁰⁰⁰−2001)。
水平测试 A 第6题(填空题)
比较大小：35861/35862 ______ 52971/52974。
水平测试 A 第7题(填空题)
比较大小：11111431/22222864 ______ 11111361/22222724。
水平测试 A 第8题(填空题)
比较大小：11111431/11111361 ______ 22222864/22222724。
水平测试 A 第9题(填空题)
比较 10/519、14/725、15/776、21/1088、35/1814 五个数，从大到小排列为______。
水平测试 A 第10题(填空题)
在 4/7、12/25、30/149、5/9、201/402 中最大的数是______。
水平测试 A 第11题(解答题)
求 9/10 + 99/100 + 999/1000 + … + 99999999999/100000000000 的整数部分。
水平测试 A 第12题(解答题)
有七个数，0.37、2/7、3/8、0.373、5/12 是其中的五个。已知从小到大排列的第三个数是2/7，求从大到小排列的中间数。
水平测试 C 第1题(填空题)
有七个数，0.42、3/7、11/26、0.424、26/61 是其中的五个。已知从小到大排列的第四个数是11/26，从大到小排列的第三个数是______。
水平测试 C 第2题(填空题)
1/12, 2/12, 3/12, …, 239/12 这239个数中所有不是整数的分数的和是______。
水平测试 C 第3题(填空题)
把 9/19 的分子、分母同加一个数，使它的结果成为 2/3，同加的那个数是______。
水平测试 C 第4题(填空题)
(13+□)/(71−□) = 5/9，□里填上相同的数，应填______。
水平测试 C 第5题(填空题)
8.01×1.24 + 8.02×1.23 + 8.03×1.22 的整数部分是______。
水平测试 C 第6题(填空题)
小华计算七个正整数的平均数（保留两位小数）时，将得数最后一位算错了。错误答案是21.85，正确答案应是______。
水平测试 C 第7题(填空题)
有15个正整数，去掉最大的数后平均数（保留一位小数）等于2.5，去掉最小的数后平均数（保留一位小数）等于2.8，最大数与最小数之差为______。
水平测试 C 第8题(填空题)
A = 12345678910111213 ÷ 31211101987654321，A的小数点后的前3位数字是______。
水平测试 C 第9题(填空题)
下式中五个分数都是最简真分数，要使不等式成立，这些分母的和最小是______。1/( ) > 2/( ) > 3/( ) > 4/( ) > 5/( )。
水平测试 C 第10题(填空题)
求 1/(1/20+1/21+…+1/29) 的整数部分是______。
水平测试 C 第11题(解答题)
有一个分数23/24，分母加上某数，而分子减去此数的2倍，分数值变为1/2，求此数。
水平测试 C 第12题(解答题)
给定数列：1/1, 1/2, 2/2, 1/2, 1/3, 2/3, 3/3, 2/3, 1/3, 1/4, …。问：(1) 9/10 是第几个分数？(2) 第500个分数是几分之几？
水平测试 C 第13题(解答题)
在分母小于15的最简分数中，比2/5大并且最接近2/5的是哪一个？
水平测试 C 第14题(解答题)
有一算式，左边括号里都是正整数，右边答案写出了四舍五入后的近似值：( )/3 + ( )/5 + ( )/7 ≈ 1.16。问左边三个方框里的正整数从左至右依次是多少？