奥数精讲与测试1—6年级全套课程
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【教师版】第3讲 · 分数的大小比较

六年级奥数 · 教材第21–28页（第3讲全讲）

一、知识要点

比较分数大小的基本方法

本质：通分法（统一分子或分母）、小数法（化小数）、作差法（差>0则被减数大）、作商法（商>1则被除数大）、交叉相乘法（ad>bc⟺a/b>c/d）、倒数法（倒数大反而小）。
八种方法速查 通分法统一分子或分母后比小数法化成小数逐位比作差法差>0，被减数大作商法商>1，被除数大交叉相乘ad>bc ⟺ a/b>c/d倒数法倒数大的反而小放缩法找中间标准数传递性质法真分数n/m<(n+k)/(m+k)
适用：分子分母都不大时用通分或交叉相乘；分子分母很接近1时用“与1比较”；分子小分母大时统一分子。
  1. 交叉相乘：2/3 与 3/5，2×5=10，3×3=9，10>9，故2/3>3/5。
  2. 与1比较：666665/666667=1−2/666667，777776/777778=1−2/777778，2/666667>2/777778，故前者<后者。
  3. 统一分子：典例A1五个分数分子5,12,10,4,15，最小公倍60，分母小者大，15/22=60/88最大。
典型错误：见到分数就通分，数字一大就崩；或把倒数法方向搞反。

与1比较：接近1的分数

本质：当 a/b 与 c/d 都接近1时，写成 1−x 与 1−y，只需比较 x 与 y：x>y 则 1−x<1−y。
与1比较（典例A2） 666665/666667 = 1 − 2/666667 777776/777778 = 1 − 2/777778 2/666667 > 2/777778 ⇒ 1−2/666667 < 1−2/777778 故 666665/666667 < 777776/777778
适用：典例A2、Test A1/A4/A6/B1/B2：分子分母差一个小常数（如差2、差3），直接写成1−差/分母。
  1. 典例A2：两个分数都=1−2/大分母，分母大的减去的少，所以分数大。
  2. Test A1：55553/55556=1−3/55556，66662/66665=1−3/66665，3/55556>3/66665，故前者<后者。
典型错误：写成1−x后忘记“减得多反而小”的方向。

真分数的性质与插值

本质：若 n/m 是真分数（n<m），则 n/m < (n+k)/(m+k)（k>0），即分子分母同加一个正数后分数变大。假分数相反。又 a/b < (a+c)/(b+d) < c/d（正数）。
插值不等式（Test B6） 11/222 < (11+111)/(222+2222)=122/2444 < 111/2222 倒数法验证：倒数大的原分数小
适用：Test B6：比较 11/222、111/2222、(11+111)/(222+2222)，中间那个是前两个的插值，必介于两者之间。
  1. 真分数分子分母同加k：1/2=0.5 < (1+1)/(2+1)=2/3≈0.667，成立。
  2. 插值：(a+c)/(b+d) 是 a/b 与 c/d 的加权平均，必介于两者之间。
  3. Test C3：9/19 分子分母同加x得2/3，列方程(9+x)/(19+x)=2/3，x=11。
典型错误：搞真假分数方向：假分数同加k反而变小。

放缩求整数部分与繁分式

本质：求一个繁分数（分母为一串倒数和）的整数部分时，把分母整体放大/缩小成常数，从而把整个分数夹在两个相邻整数之间。
典例C2 放缩夹逼 分母 = 1/10+1/11+…+1/19（共10项） 分母 < 10×1/10 = 1 ⇒ 原式 > 1/1 = 1 分母 > 10×1/19 = 10/19 ⇒ 原式 < 19/10 = 1.9 1 < 原式 < 1.9，整数部分 = 1
适用：典例C2：1/(1/10+…+1/19)。分母<10×1/10=1，故分数>1；分母>10×1/19=10/19，故分数<19/10=1.9。整数部分=1。
  1. 分母中最大项是1/10，最小项是1/19。
  2. 10项都放大成1/10→分母<1；都缩小成1/19→分母>10/19。
  3. 取倒数后不等号反向：1<原式<1.9。
典型错误：放缩跨度太大（如直接分母<1.5），夹不出整数。要把上下界取到相邻整数。

二、典例精讲

典例 A1
分数 5/12、12/19、10/23、4/7、15/22 中，哪一个最大？
训练点：统一分子（分子最小公倍数60）。
提示：
1. 分子5,12,10,4,15的最小公倍数是多少？60。
2. 统一成60后，分母越小分数越大。
15/12=60/144，12/19=60/95，10/23=60/138，4/7=60/105，15/22=60/88。
依据：分子统一为60。
2分子相同，分母小的大。88最小，对应15/22。
依据：同分子比较。
答：15/22 最大
典型错法：统一分母算超大LCM。
典例 A2
比较 666665/666667 和 777776/777778 的大小。
训练点：与1比较，写成1−2/分母。
提示：
1. 两个分数都比1小2/分母。
2. 2/666667 与 2/777778 哪个大？
1666665/666667=1−2/666667，777776/777778=1−2/777778。
依据：分子比分母小2。
22/666667>2/777778（分子同，分母小的大）。
依据：同分子比较。
3减去的多反而小：1−2/666667 < 1−2/777778。
依据：方向。
答：666665/666667 < 777776/777778
典型错法：方向搞反。
典例 B1
A = 1/(2020²−2020+1)，B = 1/(2020²−2019×2020+2019²)。比较 A 与 B。
训练点：化简分母，比较分母大小。
提示：
1. B的分母=2020²+2019²−2019×2020。把2019²−2019×2020提取2019。
2. 2019²−2019×2020=2019(2019−2020)=−2019。
1B分母=2020²+2019(2019−2020)=2020²−2019。
依据：提取2019。
22020²−2019=2020²−2020+1（因为2020−1=2019）。
依据：−2019=−2020+1。
3B分母=A分母，分子都是1，故A=B。
依据：分母相同。
答：A = B
典型错法：不敢提取公因式。
典例 B2
在方框内填两个相邻整数，使 □ < 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 < □。
训练点：分组放缩，把和夹在两个整数之间。
提示：
1. 1+1/2+1/3+1/6=2，先把这几项凑成整数。
2. 剩下1/4+1/5+1/7+1/8+1/9+1/10，放缩估计它在0到1之间。
1原式=2+1/4+1/5+1/7+1/8+1/9+1/10。
依据：1+1/2+1/3+1/6=2。
2放缩上界：(1/4+1/8)+(1/5+1/10)+1/7+1/9 < 3/8+3/10+1/5+1/8 = 1/2+1/2=1。
依据：1/7<1/5，1/9<1/8。
3所以原式<3，且原式>2，填2和3。
依据：剩下的和在0到1之间。
答：2 < 原式 < 3
典型错法：硬通分，放缩跨度太大夹不出。
典例 C1
设 N = 10 × (2000²⁰⁰¹+2001²⁰⁰²)/(2000²⁰⁰⁰+2001²⁰⁰¹)，求 N 的整数部分。
训练点：设A=2000²⁰⁰⁰，B=2001²⁰⁰¹，把分式放缩。
提示：
1. 记A=2000²⁰⁰⁰，B=2001²⁰⁰¹。分式=(2000A+2001B)/(A+B)=2000+B/(A+B)。
2. B/(A+B)介于0和1之间，需精确估计：B>9A（因为B=2001×2001²⁰⁰⁰>2001A>9A）。
1分式=2000+B/(A+B)<2001，故N<20010。
依据：B/(A+B)<1。
2B=2001×2001²⁰⁰⁰>2001A>9A，即A<B/9。
依据：B是A的两千多倍。
3B/(A+B)>B/(B/9+B)=0.9，故N>10×2000.9=20009。
依据：A放小。
420009<N<20010，整数部分=20009。
依据：夹逼。
答：20009
典型错法：不估计B/A比值，夹不出0.9这一步。
典例 C2
求数 1/(1/10+1/11+1/12+…+1/19) 的整数部分。
训练点：分母整体放缩夹逼。
提示：
1. 分母共10项，最大项1/10，最小项1/19。
2. 分母<10×1/10=1，分母>10×1/19。
1分母<10×1/10=1，故原式>1/1=1。
依据：每项≤1/10。
2分母>10×1/19=10/19，故原式<19/10=1.9。
依据：每项≥1/19。
31<原式<1.9，整数部分=1。
依据：夹逼。
答：1
典型错法：放缩太粗夹不出。

三、水平测试

A层

水平测试 A 第1题(填空题)
比较大小：55553/55556 ______ 66662/66665。
答案：<
解析：55553/55556=1−3/55556，66662/66665=1−3/66665。3/55556>3/66665，故前者<后者。
水平测试 A 第2题(填空题)
比较大小：53²⁰⁰⁰/53¹⁹⁹⁹ ______ (53²⁰⁰⁰−2000)/(53¹⁹⁹⁹−2000)。
答案：<
解析：交叉相乘（或取倒数）：真分数同减一个正数后变小，故原分数<后者。
水平测试 A 第3题(填空题)
比较大小：12346/98761 ______ 12345/98765。
答案：>
解析：12346/98761=12345/98761+1/98761，而12345/98761>12345/98765，故前者>后者。
水平测试 A 第4题(填空题)
比较大小：22223/22224 ______ 33332/33333。
答案：<
解析：都写成1−1/分母：1/22224>1/33333，故前者<后者。
水平测试 A 第5题(填空题)
比较大小：43²⁰⁰¹/43²⁰⁰⁰ ______ (43²⁰⁰¹−2001)/(43²⁰⁰⁰−2001)。
答案：<
解析：同Test A2，真分数同减正数后变小，原分数<后者。
水平测试 A 第6题(填空题)
比较大小：35861/35862 ______ 52971/52974。
答案：>
解析：35861/35862=1−1/35862=1−3/107586，52971/52974=1−3/52974。3/107586<3/52974，故前者减去的少，前者大。
水平测试 A 第7题(填空题)
比较大小：11111431/22222864 ______ 11111361/22222724。
答案：>
解析：两数都接近1/2：前者=1/2(1−1/11111432)，后者=1/2(1−1/11111362)。1/11111432<1/11111362，前者减得少，故前者大。
水平测试 A 第8题(填空题)
比较大小：11111431/11111361 ______ 22222864/22222724。
答案：>
解析：都=1+70/分母：1+70/11111361 与 1+70/11111362（22222724=2×11111362）。分母小的分数大，故前者>后者。
水平测试 A 第9题(填空题)
比较 10/519、14/725、15/776、21/1088、35/1814 五个数，从大到小排列为______。
答案：15/776 > 14/725 > 21/1088 > 35/1814 > 10/519
解析：统一分子（LCM=210），分母小者大。对应分母换算后即得此序。
水平测试 A 第10题(填空题)
在 4/7、12/25、30/149、5/9、201/402 中最大的数是______。
答案：4/7
解析：201/402=1/2。大于1/2的有4/7和5/9，交叉相乘4×9=36>5×7=35，故4/7最大。
水平测试 A 第11题(解答题)
求 9/10 + 99/100 + 999/1000 + … + 99999999999/100000000000 的整数部分。
答案：10
解析：每一项=1−1/10^k，从k=1到k=11共11项。和=11−(1/10+1/100+…+1/100000000000)=11−0.11111111111≈10.8889，整数部分是10。
水平测试 A 第12题(解答题)
有七个数，0.37、2/7、3/8、0.373、5/12 是其中的五个。已知从小到大排列的第三个数是2/7，求从大到小排列的中间数。
答案：0.37
解析：五个已知排序：2/7≈0.286 < 0.37 < 0.373 < 3/8=0.375 < 5/12≈0.417。从小到大第三是2/7，说明另两个都比2/7小。从大到小七个为：5/12,3/8,0.373,0.37,2/7,?,?，中间第4个=0.37。

B层

水平测试 A 第1题(填空题)
比较大小：55553/55556 ______ 66662/66665。
答案：<
解析：55553/55556=1−3/55556，66662/66665=1−3/66665。3/55556>3/66665，故前者<后者。
水平测试 A 第2题(填空题)
比较大小：53²⁰⁰⁰/53¹⁹⁹⁹ ______ (53²⁰⁰⁰−2000)/(53¹⁹⁹⁹−2000)。
答案：<
解析：交叉相乘（或取倒数）：真分数同减一个正数后变小，故原分数<后者。
水平测试 A 第3题(填空题)
比较大小：12346/98761 ______ 12345/98765。
答案：>
解析：12346/98761=12345/98761+1/98761，而12345/98761>12345/98765，故前者>后者。
水平测试 A 第4题(填空题)
比较大小：22223/22224 ______ 33332/33333。
答案：<
解析：都写成1−1/分母：1/22224>1/33333，故前者<后者。
水平测试 A 第5题(填空题)
比较大小：43²⁰⁰¹/43²⁰⁰⁰ ______ (43²⁰⁰¹−2001)/(43²⁰⁰⁰−2001)。
答案：<
解析：同Test A2，真分数同减正数后变小，原分数<后者。
水平测试 A 第6题(填空题)
比较大小：35861/35862 ______ 52971/52974。
答案：>
解析：35861/35862=1−1/35862=1−3/107586，52971/52974=1−3/52974。3/107586<3/52974，故前者减去的少，前者大。
水平测试 A 第7题(填空题)
比较大小：11111431/22222864 ______ 11111361/22222724。
答案：>
解析：两数都接近1/2：前者=1/2(1−1/11111432)，后者=1/2(1−1/11111362)。1/11111432<1/11111362，前者减得少，故前者大。
水平测试 A 第8题(填空题)
比较大小：11111431/11111361 ______ 22222864/22222724。
答案：>
解析：都=1+70/分母：1+70/11111361 与 1+70/11111362（22222724=2×11111362）。分母小的分数大，故前者>后者。
水平测试 A 第9题(填空题)
比较 10/519、14/725、15/776、21/1088、35/1814 五个数，从大到小排列为______。
答案：15/776 > 14/725 > 21/1088 > 35/1814 > 10/519
解析：统一分子（LCM=210），分母小者大。对应分母换算后即得此序。
水平测试 A 第10题(填空题)
在 4/7、12/25、30/149、5/9、201/402 中最大的数是______。
答案：4/7
解析：201/402=1/2。大于1/2的有4/7和5/9，交叉相乘4×9=36>5×7=35，故4/7最大。
水平测试 A 第11题(解答题)
求 9/10 + 99/100 + 999/1000 + … + 99999999999/100000000000 的整数部分。
答案：10
解析：每一项=1−1/10^k，从k=1到k=11共11项。和=11−(1/10+1/100+…+1/100000000000)=11−0.11111111111≈10.8889，整数部分是10。
水平测试 A 第12题(解答题)
有七个数，0.37、2/7、3/8、0.373、5/12 是其中的五个。已知从小到大排列的第三个数是2/7，求从大到小排列的中间数。
答案：0.37
解析：五个已知排序：2/7≈0.286 < 0.37 < 0.373 < 3/8=0.375 < 5/12≈0.417。从小到大第三是2/7，说明另两个都比2/7小。从大到小七个为：5/12,3/8,0.373,0.37,2/7,?,?，中间第4个=0.37。
水平测试 B 第1题(填空题)
比较大小：777777775/777777779 ______ 888888883/888888887。
答案：<
解析：都=1−4/分母：4/777777779>4/888888887，故前者<后者。
水平测试 B 第2题(填空题)
比较大小：100000005/100000008 ______ 800000003/800000006。
答案：<
解析：都=1−3/分母：3/100000008>3/800000006，故前者<后者。
水平测试 B 第3题(填空题)
分数 4/9、17/35、101/203、3/7、151/301 中最大的一个数是______。
答案：151/301
解析：只有151/301的分子大于分母的一半（151>150.5），其余都<1/2，故最大。
水平测试 B 第4题(填空题)
比较大小：34331279/34331281 ______ 51496919/51496922。
答案：<
解析：前者=1−2/34331281=1−6/102993843，后者=1−3/51496922=1−6/102993844。6/102993843>6/102993844，故前者<后者。
水平测试 B 第5题(填空题)
比较大小：34331279/51496919 ______ 34331281/51496922。
答案：<
解析：交叉相乘交换位置后同上题方向比较。
水平测试 B 第6题(填空题)
11/222、111/2222、(11+111)/(222+2222) 从大到小排列为______。
答案：111/2222 > (11+111)/(222+2222) > 11/222
解析：用倒数法：中间数是前两数的插值，必介于两者之间。
水平测试 B 第7题(填空题)
比较大小：111111110/222222221 ______ 444444443/888888887。
答案：<
解析：倒数法比较。
水平测试 B 第8题(填空题)
比较大小：222222220/444444441 ______ 333333334/666666669。
答案：<
解析：倒数法比较。
水平测试 B 第9题(填空题)
比较大小：2000²⁰⁰¹/2001²⁰⁰⁰ ______ (2000²⁰⁰¹+2001)/(2001²⁰⁰⁰+2001)。
答案：>
解析：交叉相乘及放缩法比较。
水平测试 B 第10题(填空题)
比较大小：1999²⁰⁰⁰/2000¹⁹⁹⁹ ______ (1999²⁰⁰⁰+2000)/(2000¹⁹⁹⁹+2000)。
答案：>
解析：同Test B9，交叉相乘及放缩法。
水平测试 B 第11题(解答题)
若 A=1/(2018²−2018+1)，B=1/(2018²−2017×2018+2017²)，比较 A 与 B 的大小。
答案：A = B
解析：B分母=2018²+2017²−2017×2018=2018²+2017(2017−2018)=2018²−2017=2018²−2018+1=A分母，故A=B。
水平测试 B 第12题(解答题)
一串分数：1/1, 1/2, 2/2, 1/3, 2/3, 3/3, 1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 1/5, …。问：(1) 3/50 是第几个分数？(2) 第423个分数是几分之几？
答案：(1) 1228；(2) 17/29
解析：按分母分组，分母n有n个分数。(1)前49组共49×50/2=1225个，3/50是第50组第3个，1225+3=1228。(2)28×29/2=406<423<29×30/2=435，第423个是分母29的第423−406=17个=17/29。

C层

水平测试 A 第1题(填空题)
比较大小：55553/55556 ______ 66662/66665。
答案：<
解析：55553/55556=1−3/55556，66662/66665=1−3/66665。3/55556>3/66665，故前者<后者。
水平测试 A 第2题(填空题)
比较大小：53²⁰⁰⁰/53¹⁹⁹⁹ ______ (53²⁰⁰⁰−2000)/(53¹⁹⁹⁹−2000)。
答案：<
解析：交叉相乘（或取倒数）：真分数同减一个正数后变小，故原分数<后者。
水平测试 A 第3题(填空题)
比较大小：12346/98761 ______ 12345/98765。
答案：>
解析：12346/98761=12345/98761+1/98761，而12345/98761>12345/98765，故前者>后者。
水平测试 A 第4题(填空题)
比较大小：22223/22224 ______ 33332/33333。
答案：<
解析：都写成1−1/分母：1/22224>1/33333，故前者<后者。
水平测试 A 第5题(填空题)
比较大小：43²⁰⁰¹/43²⁰⁰⁰ ______ (43²⁰⁰¹−2001)/(43²⁰⁰⁰−2001)。
答案：<
解析：同Test A2，真分数同减正数后变小，原分数<后者。
水平测试 A 第6题(填空题)
比较大小：35861/35862 ______ 52971/52974。
答案：>
解析：35861/35862=1−1/35862=1−3/107586，52971/52974=1−3/52974。3/107586<3/52974，故前者减去的少，前者大。
水平测试 A 第7题(填空题)
比较大小：11111431/22222864 ______ 11111361/22222724。
答案：>
解析：两数都接近1/2：前者=1/2(1−1/11111432)，后者=1/2(1−1/11111362)。1/11111432<1/11111362，前者减得少，故前者大。
水平测试 A 第8题(填空题)
比较大小：11111431/11111361 ______ 22222864/22222724。
答案：>
解析：都=1+70/分母：1+70/11111361 与 1+70/11111362（22222724=2×11111362）。分母小的分数大，故前者>后者。
水平测试 A 第9题(填空题)
比较 10/519、14/725、15/776、21/1088、35/1814 五个数，从大到小排列为______。
答案：15/776 > 14/725 > 21/1088 > 35/1814 > 10/519
解析：统一分子（LCM=210），分母小者大。对应分母换算后即得此序。
水平测试 A 第10题(填空题)
在 4/7、12/25、30/149、5/9、201/402 中最大的数是______。
答案：4/7
解析：201/402=1/2。大于1/2的有4/7和5/9，交叉相乘4×9=36>5×7=35，故4/7最大。
水平测试 A 第11题(解答题)
求 9/10 + 99/100 + 999/1000 + … + 99999999999/100000000000 的整数部分。
答案：10
解析：每一项=1−1/10^k，从k=1到k=11共11项。和=11−(1/10+1/100+…+1/100000000000)=11−0.11111111111≈10.8889，整数部分是10。
水平测试 A 第12题(解答题)
有七个数，0.37、2/7、3/8、0.373、5/12 是其中的五个。已知从小到大排列的第三个数是2/7，求从大到小排列的中间数。
答案：0.37
解析：五个已知排序：2/7≈0.286 < 0.37 < 0.373 < 3/8=0.375 < 5/12≈0.417。从小到大第三是2/7，说明另两个都比2/7小。从大到小七个为：5/12,3/8,0.373,0.37,2/7,?,?，中间第4个=0.37。
水平测试 C 第1题(填空题)
有七个数，0.42、3/7、11/26、0.424、26/61 是其中的五个。已知从小到大排列的第四个数是11/26，从大到小排列的第三个数是______。
答案：0.424
解析：五数排序：0.42<11/26≈0.423<0.424<26/61≈0.426<3/7≈0.429。第四是11/26说明另两个都比11/26大。从大到小：3/7,26/61,0.424,…，第三个=0.424。
水平测试 C 第2题(填空题)
1/12, 2/12, 3/12, …, 239/12 这239个数中所有不是整数的分数的和是______。
答案：2200
解析：总和=(1+2+…+239)/12=120×239/12=2390；其中整数项为12/12,24/12,…,228/12即1,2,…,19，和=190。非整数和=2390−190=2200。
水平测试 C 第3题(填空题)
把 9/19 的分子、分母同加一个数，使它的结果成为 2/3，同加的那个数是______。
答案：11
解析：(9+x)/(19+x)=2/3，3(9+x)=2(19+x)，27+3x=38+2x，x=11。
水平测试 C 第4题(填空题)
(13+□)/(71−□) = 5/9，□里填上相同的数，应填______。
答案：17
解析：(13+x)/(71−x)=5/9，9(13+x)=5(71−x)，117+9x=355−5x，14x=238，x=17。
水平测试 C 第5题(填空题)
8.01×1.24 + 8.02×1.23 + 8.03×1.22 的整数部分是______。
答案：29
解析：原式=1.23×(8.01+8.02+8.03)+0.01×8.01−0.01×8.03=1.23×24.06−0.0002≈29.59，整数部分29。
水平测试 C 第6题(填空题)
小华计算七个正整数的平均数（保留两位小数）时，将得数最后一位算错了。错误答案是21.85，正确答案应是______。
答案：21.86
解析：整数和在21.80×7=152.6与21.90×7=153.3之间，整数和=153。153/7≈21.857≈21.86。
水平测试 C 第7题(填空题)
有15个正整数，去掉最大的数后平均数（保留一位小数）等于2.5，去掉最小的数后平均数（保留一位小数）等于2.8，最大数与最小数之差为______。
答案：4
解析：14×2.45=34.3，14×2.54=35.56，去掉最大后14数和=35；同理去掉最小后和=39。最大−最小=39−35=4。
水平测试 C 第8题(填空题)
A = 12345678910111213 ÷ 31211101987654321，A的小数点后的前3位数字是______。
答案：395
解析：放缩：A>1234/3122≈0.3952，A<1235/3121≈0.3957，故0.3952<A<0.3957，前三位=395。
水平测试 C 第9题(填空题)
下式中五个分数都是最简真分数，要使不等式成立，这些分母的和最小是______。1/( ) > 2/( ) > 3/( ) > 4/( ) > 5/( )。
答案：40
解析：从最小自然数试：1/2>2/5>3/8>4/11>5/14（均最简真分数），分母和=2+5+8+11+14=40。
水平测试 C 第10题(填空题)
求 1/(1/20+1/21+…+1/29) 的整数部分是______。
答案：2
解析：分母<10×1/20=0.5，故原式>2；分母>10×1/29，故原式<2.9。整数部分=2。
水平测试 C 第11题(解答题)
有一个分数23/24，分母加上某数，而分子减去此数的2倍，分数值变为1/2，求此数。
答案：4(2/5)
解析：(23−2x)/(24+x)=1/2，2(23−2x)=24+x，46−4x=24+x，5x=22，x=22/5=4(2/5)。
水平测试 C 第12题(解答题)
给定数列：1/1, 1/2, 2/2, 1/2, 1/3, 2/3, 3/3, 2/3, 1/3, 1/4, …。问：(1) 9/10 是第几个分数？(2) 第500个分数是几分之几？
答案：(1) 第90个和第92个；(2) 16/23
解析：分母n有2n−1个分数，前n组共n²个。(1)前9组共81个，9/10是分母10组的第9个和第11个：81+9=90，81+11=92。(2)22²=484<500<23²=529，第500个是分母23的第500−484=16个=16/23。
水平测试 C 第13题(解答题)
在分母小于15的最简分数中，比2/5大并且最接近2/5的是哪一个？
答案：5/12
解析：设m/n，m/n−2/5=(5m−2n)/(5n)>0且最小，取5m−2n=1，m=(2n+1)/5。n<15使m为整数的最大n=12，m=5。
水平测试 C 第14题(解答题)
有一算式，左边括号里都是正整数，右边答案写出了四舍五入后的近似值：( )/3 + ( )/5 + ( )/7 ≈ 1.16。问左边三个方框里的正整数从左至右依次是多少？
答案：1、2、3
解析：1.16介于1.155与1.165之间。×105：121.275≤35a+21b+15c<122.325，故35a+21b+15c=122。试验得35×1+21×2+15×3=122，依次为1,2,3。

四、方法小结

分数大小比较核心是“选对方法”，不是一律通分。接近1的写成1−x；分子小则统一分子；分母小则统一分母；大数用交叉相乘或倒数；繁分式用放缩夹出整数部分。真分数有同加k变大、插值介于两数之间两条性质。分数串位置问题按分母分组，用三角形数或奇数平方定位。

五、作业建议

基础必做：
  • 教材P22–23 水平测试A 第1–6题（与1比较、交叉相乘）
  • 教材P23 水平测试A 第7–10题（统一分子分母）
巩固选做：
  • 教材P23 水平测试A 第11、12题（整数部分、排序定位）
  • 教材P25 水平测试B 第1–6题（大数比较、倒数法）
  • 教材P25 水平测试B 第7–12题（高次幂、分数串）
提高挑战：
  • 教材P27–28 水平测试C 第1–6题（综合排序、方程）
  • 教材P28 水平测试C 第7–14题（放缩定位、最简分数、近似值）

六、课堂错因定位

症状：见分数就通分，数字大就崩
根因：不熟与1比较、统一分子等技巧。
补救：典例A2、Test A1专练：先写成1−x。
症状：统一分子/分母选错方向
根因：没看分子小还是分母小。
补救：典例A1示范：分子5,12,10,4,15小，统一成60。
症状：倒数法方向搞反
根因：记不住“倒数大反而小”。
补救：Test B6/B7/B8专练倒数法。
症状：繁分式整数部分夹不出来
根因：放缩跨度太大。
补救：典例C2：分母每项分别取最大1/10和最小1/19。
症状：分数串位置算错
根因：没按分母分组、不会用三角形数。
补救：Test B12/C12：先算前n组总数。