奥数精讲与测试1—6年级全套课程
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【教师版】第4讲 · 估值与取整

六年级奥数 · 教材第29–35页（第4讲全讲）

一、知识要点

估值两步法：先定范围再锁定整数

本质：第一步：根据题设范围（人数、份数等）求出所求量的上下界；第二步：在范围内用约数、奇偶、整数和等条件锁定唯一整数解。
典例A1 估值两步 人数 455 ≤ N ≤ 665 ⇒ 3 ≤ 人均 ≤ 4(35/91) 范围内整数候选：3 和 4 人均须是1995的约数，4不是，故=3元
适用：典例A1：人数在455到665之间，1995÷665=3≤人均≤1995÷455=4(35/91)。范围内整数只有3和4，再用“人均是1995的约数”排除4，得3。
  1. 每班30人：30×14+35=455；每班45人：45×14+35=665。
  2. 1995÷665=3，1995÷455=4.38…，人均在3到4.38之间。
  3. 人均整数候选3或4；1995=3×665，4不整除1995，取3。
典型错误：只算出范围3到4.38就停，忘了用“约数”条件在3和4间定夺。

放缩法确定乘积/分式整数部分

本质：把算式放大和缩小成两个接近的常数，使上下界落在相邻整数之间，则整数部分即下界整数。
典例B1 乘积放缩 下界：31.719×1.2798 > 31.7×1.27 = 31.7+8.559 > 40 上界：31.719×1.2798 < 32×1.28 = 40.96 < 41 40 < 原式 < 41 ⇒ 整数部分 = 40
适用：典例B1：31.719×1.2798。下界>31.7×1.27>40，上界<32×1.28=40.96<41，故整数部分40。
  1. 放缩时舍位进位步长要小，让结果贴近真值。
  2. 下界逐步加：31.7×0.27=31.7×0.2+31.7×0.07>6.3+2=8.3。
  3. 上界取整到32和1.28，乘积40.96仍<41。
典型错误：放缩太粗（如下界取30×1=30，上界取33×1.3=42.9），夹不出唯一整数。

平均数反求整数和

本质：若m个数的平均数保留两位小数时末位算错（其余对），则真实平均数在错值±0.01内，乘以m得到整数和范围，取唯一整数和再除回。
平均数反求（Test A6） 错值12.43末位错 ⇒ 真实平均∈[12.40, 12.49] ×13：161.2 ≤ 整数和 ≤ 162.4 ⇒ 整数和 = 162 正确答案 = 162/13 ≈ 12.46
适用：Test A6：13个数平均12.43末位错。真实平均在12.40~12.49，×13在161.2~162.4间，整数和=162，162/13≈12.46。
  1. 末位错意味着前三位数字对，误差不超过0.01。
  2. ×个数后必含唯一整数（因为区间长度0.09×m通常<1）。
  3. 再用整数和÷m得正确平均。
典型错误：忘记四舍五入前的实际区间是[12.395,12.495)，端点取错。

调和和分组放缩

本质：对 1+1/2+1/3+…+1/n，不能整体放成1/n，要按 2^k 分组：把 (1/3+1/4)、(1/5~1/8)、(1/9~1/16) 分别夹到常数。
典例C1 分组夹逼 1+1/2+…+1/16 下界：1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8×4)+(1/16×8) = 3 上界：1+1/2+1/3+(1/4×4)+(1/8×8)+1/16 = 3(43/48) 3 < 原式 < 3.896 ⇒ 整数部分 = 3
适用：典例C1：1+1/2+…+1/16。下界>1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8×4)+(1/16×8)=3；上界<1+1/2+1/3+(1/4×4)+(1/8×8)+1/16<3(43/48)。整数部分3。
  1. 把1/3,1/4都缩小成1/4→这组≥1/2。
  2. 把1/5~1/8都缩小成1/8→这组≥4×1/8=1/2。
  3. 上界类似放大，得<3.896。
典型错误：整体放成1/16得下界1.9、整体放大1/2得上界8.5，跨度太大夹不出。

二、典例精讲

典例 A1
某校师生为贫困地区捐款1995元。这个学校共有35名教师，14个教学班。各班学生人数相同，且不少于30人，不超过45人。如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元？
训练点：先由人数范围定人均范围，再用约数锁定。
提示：
1. 最少人数=30×14+35=455，最多=45×14+35=665。
2. 人均=1995÷人数，范围是多少？范围内整数有哪几个？哪个是1995的约数？
1人数范围：455≤N≤665。
依据：每班30到45人。
21995÷665=3，1995÷455=4(35/91)，故3≤人均≤4.38。
依据：反向放缩。
3整数候选3、4。人均须是1995的约数，1995=3×665，4不整除1995。
依据：约数条件。
答：平均每人捐款3元
典型错法：只算范围不筛约数。
典例 A2
有一列数，第1个数是105，第2个数是85，从第3个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么第19个数的整数部分是几？
训练点：逐项求平均，观察区间收缩。
提示：
1. 先算前几项：95,90,92.5,91.25,91.875。
2. 平均数总介于两数之间，区间会越来越窄。
1第3=95，第4=90，第5=92.5，第6=91.25，第7=91.875。
依据：逐项取平均。
2从第8项起，任何平均数都在91.25与91.875之间。
依据：区间收缩。
3所有这些数整数部分都是91。
依据：91.25到91.875整数部分都是91。
答：91
典型错法：硬算19项。
典例 B1
31.719 × 1.2798 的整数部分是几？
训练点：放缩法，步长要小。
提示：
1. 下界：31.719×1.2798 > 31.7×1.27，拆开31.7×0.27估计。
2. 上界：< 32×1.28 = 40.96 < 41。
1下界>31.7×1.27=31.7+31.7×0.2+31.7×0.07>31.7+6.3+2=40。
依据：放缩下界。
2上界<32×1.28=40.96<41。
依据：放大因子。
340<原式<41。
依据：夹逼。
答：40
典型错法：放缩太粗夹不出。
典例 B2
比较 S_n = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + … + n/2ⁿ 与 2 的大小。
训练点：裂项：n/2ⁿ = (n+1)/2ⁿ⁻¹ − (n+2)/2ⁿ。
提示：
1. 把每一项拆成两数差：1/2=2−3/2，2/4=3/2−4/4，…
2. n/2ⁿ=(n+1)/2ⁿ⁻¹−(n+2)/2ⁿ。
1每项拆成相邻两项差。
依据：验证：(n+1)/2ⁿ⁻¹−(n+2)/2ⁿ=[2(n+1)−(n+2)]/2ⁿ=n/2ⁿ。
2S_n=2−(n+2)/2ⁿ<2。
依据：中间抵消。
答：S_n < 2
典型错法：不会裂项，硬算前几项猜。
典例 C1
A = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + … + 1/16 的整数部分是多少？
训练点：分组放缩调和和。
提示：
1. 把1/3,1/4一组；1/5~1/8一组；1/9~1/16一组。
2. 每组分别缩小和放大。
1下界>1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8×4)+(1/16×8)=3。
依据：每组缩小。
2上界<1+1/2+1/3+(1/4×4)+(1/8×8)+1/16=3(43/48)。
依据：每组放大。
33<A<3.896。
依据：夹逼。
答：3
典型错法：整体放成1/2得上界8.5，无用。
典例 C2
今有长度分别为1厘米、2厘米、3厘米、…、9厘米的木棍各1根（不许折断），从中选用若干根组成正方形，可有多少种不同方法？
训练点：先由总长定边长上界，再枚举每种边长。
提示：
1. 总长(1+…+9)/4=11.25，最大边长≤11。
2. 边长11,10,9,8,7分别看能否凑出四条边。
1总长45，边长≤45/4=11.25，即≤11。
依据：正方形周长=4×边长≤45。
2边长11：9+2=8+3=7+4=6+5，1种。边长10：9+1=8+2=7+3=6+4，1种。
依据：枚举。
3边长9：8+1=7+2=6+3=5+4=9，共5种组合。
依据：用单独9作边或两两凑。
4边长8：7+1=6+2=5+3，1种。边长7：6+1=5+2=4+3，1种。边长≤6不存在。
依据：枚举。
5共1+1+5+1+1=9种。
依据：相加。
答：9种
典型错法：漏算边长9的5种组合。
典例 C3
在 [1²/2017]、[2²/2017]、…、[2017²/2017] 中，有多少个不同的整数？
训练点：分析相邻两项差何时>1。
提示：
1. a_n=n²/2017。a_{n+1}−a_n=((n+1)²−n²)/2017=(2n+1)/2017。
2. 当差<1时取整最多+1；当差>1时取整会跳过整数。分界(2n+1)/2017=1→n≈1008。
1a_{n+1}−a_n=(2n+1)/2017。n<1008时差<1，取整连续。
依据：2×1008+1=2017。
2[a_1008]=1008²/2017≈503，从0到503都能取到（504个）。
依据：连续段。
3n>1008时差>1，[a_1009],…,[a_2017]每个都不同，共2017−1008=1009个。
依据：跳跃段。
4共504+1009=1513个。
依据：相加。
答：1513个
典型错法：不分连续段和跳跃段，重复计数。

三、水平测试

A层

水平测试 A 第1题(填空题)
比较大小：63/125 ______ 23/50。
答案：>
解析：63/125>1/2（63>62.5），23/50<1/2（23<25），故63/125>23/50。
水平测试 A 第2题(填空题)
把 579/580、42/43、1427/1428 从小到大排列应为______。
答案：42/43 < 579/580 < 1427/1428
解析：都=1−1/分母：1/43>1/580>1/1428，故减去越多越小，得此序。
水平测试 A 第3题(填空题)
在 10/17、12/19、15/23、20/33、60/101 这五个数中最小的数是______。
答案：10/17
解析：统一分子60：10/17=60/102，12/19=60/95，15/23=60/92，20/33=60/99，60/101。分母最大102，对应10/17最小。
水平测试 A 第4题(填空题)
有一列数，第1个数是103，第2个数是83，从第3个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，则第2019个数的整数部分是______。
答案：89
解析：前几项：103,83,93,88,90.5,89.25,89.875。之后每项都在89.25与89.875之间，整数部分89。
水平测试 A 第5题(填空题)
分数和 1/3+1/4+1/5+1/6+1/7 的整数部分是______。
答案：1
解析：下界=1/5+(1/3+1/7)+(1/4+1/6)>1/5+10/25+10/25=1；上界<2/3+3/5<2，故整数部分1。
水平测试 A 第6题(填空题)
老师在黑板上写了13个正整数，让小王计算平均数（保留两位小数），小王算出12.43。老师说最后一位数字错了，其他数字都对，正确答案应是______。
答案：12.46
解析：真实平均在12.395~12.495，×13=161.1~162.4，整数和=162，162/13≈12.46。
水平测试 A 第7题(填空题)
有两组数，第一组平均数12.8，第二组平均数10.2，而这两组数总的平均数是12.02，那么第一组数的个数与第二组数的个数的比值为______。
答案：7/3
解析：12.8x+10.2y=12.02(x+y)，0.78x=1.82y，x/y=1.82/0.78=7/3。
水平测试 A 第8题(填空题)
有7个正整数的平均值约等于30.23，后来发现这个小数的最后一位是错的，正确的两位小数的近似平均值为______。
答案：30.29
解析：30.2×7=211.4，整数和>211，试212：212/7=30.285…≈30.29；213/7=30.428…不符。
水平测试 A 第9题(填空题)
甲、乙两数是正整数，如果甲数的5/6恰好是乙数的1/4，那么甲、乙两数的和的最小值是______。
答案：13
解析：5/6甲=1/4乙，甲=3/10乙。乙最小=10，甲=3，和=13。
水平测试 A 第10题(填空题)
已知34个偶数的平均数，保留一位小数是15.9，如果保留两位小数，得数最小为______。
答案：15.88
解析：15.85≤平均<15.95，×34=538.9≤和<542.3，偶数和最小=540，540/34≈15.88。
水平测试 A 第11题(填空题)
0.123456…5051 / 0.515049…4321 在表示为小数时，小数点后的前三位数为______。
答案：239
解析：放缩分子5位、分母3位：0.12345/0.516<a<0.12346/0.515，即0.2392<a<0.2397，前三位239。

B层

水平测试 A 第1题(填空题)
比较大小：63/125 ______ 23/50。
答案：>
解析：63/125>1/2（63>62.5），23/50<1/2（23<25），故63/125>23/50。
水平测试 A 第2题(填空题)
把 579/580、42/43、1427/1428 从小到大排列应为______。
答案：42/43 < 579/580 < 1427/1428
解析：都=1−1/分母：1/43>1/580>1/1428，故减去越多越小，得此序。
水平测试 A 第3题(填空题)
在 10/17、12/19、15/23、20/33、60/101 这五个数中最小的数是______。
答案：10/17
解析：统一分子60：10/17=60/102，12/19=60/95，15/23=60/92，20/33=60/99，60/101。分母最大102，对应10/17最小。
水平测试 A 第4题(填空题)
有一列数，第1个数是103，第2个数是83，从第3个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，则第2019个数的整数部分是______。
答案：89
解析：前几项：103,83,93,88,90.5,89.25,89.875。之后每项都在89.25与89.875之间，整数部分89。
水平测试 A 第5题(填空题)
分数和 1/3+1/4+1/5+1/6+1/7 的整数部分是______。
答案：1
解析：下界=1/5+(1/3+1/7)+(1/4+1/6)>1/5+10/25+10/25=1；上界<2/3+3/5<2，故整数部分1。
水平测试 A 第6题(填空题)
老师在黑板上写了13个正整数，让小王计算平均数（保留两位小数），小王算出12.43。老师说最后一位数字错了，其他数字都对，正确答案应是______。
答案：12.46
解析：真实平均在12.395~12.495，×13=161.1~162.4，整数和=162，162/13≈12.46。
水平测试 A 第7题(填空题)
有两组数，第一组平均数12.8，第二组平均数10.2，而这两组数总的平均数是12.02，那么第一组数的个数与第二组数的个数的比值为______。
答案：7/3
解析：12.8x+10.2y=12.02(x+y)，0.78x=1.82y，x/y=1.82/0.78=7/3。
水平测试 A 第8题(填空题)
有7个正整数的平均值约等于30.23，后来发现这个小数的最后一位是错的，正确的两位小数的近似平均值为______。
答案：30.29
解析：30.2×7=211.4，整数和>211，试212：212/7=30.285…≈30.29；213/7=30.428…不符。
水平测试 A 第9题(填空题)
甲、乙两数是正整数，如果甲数的5/6恰好是乙数的1/4，那么甲、乙两数的和的最小值是______。
答案：13
解析：5/6甲=1/4乙，甲=3/10乙。乙最小=10，甲=3，和=13。
水平测试 A 第10题(填空题)
已知34个偶数的平均数，保留一位小数是15.9，如果保留两位小数，得数最小为______。
答案：15.88
解析：15.85≤平均<15.95，×34=538.9≤和<542.3，偶数和最小=540，540/34≈15.88。
水平测试 A 第11题(填空题)
0.123456…5051 / 0.515049…4321 在表示为小数时，小数点后的前三位数为______。
答案：239
解析：放缩分子5位、分母3位：0.12345/0.516<a<0.12346/0.515，即0.2392<a<0.2397，前三位239。
水平测试 B 第1题(填空题)
A = 1×2×3×…×100 的末尾有______个连续的零。
答案：24
解析：末尾零由因子5决定：[100/5]+[100/25]=20+4=24个。
水平测试 B 第2题(填空题)
已知 A = (11×70+12×69+…+20×61)/(11×69+12×68+…+20×60)×100，A的整数部分为______。
答案：101
解析：分子=分母+(11+12+…+20)。多出部分夹在1/69与1/60之间：(1+1/69)×100<A<(1+1/60)×100，即101.45<A<101.67，整数部分101。
水平测试 B 第3题(填空题)
在分母小于10的真分数中，最接近0.618的是______。
答案：5/8
解析：0.618×9=5.562，×8=4.944，…逐项比较，5/8=0.625最接近。
水平测试 B 第4题(填空题)
已知A、B、C、D、E、F六个数的平均数是1335，A、B、C、D四个数的平均数是1964.25，C、D、E、F四个数的平均数是1031.25，A、B、E、F的平均数是______。
答案：1009.5
解析：六数和=8010，ABCD和=7857，CDEF和=4125。EF=8010−7857=153，AB=8010−4125=3885。ABEF和=4038，平均=1009.5。
水平测试 B 第5题(填空题)
数 a = 10/100+10/101+10/102+…+10/110 的整数部分是______。
答案：1
解析：11项：下界>11×10/110=1，上界<11×10/100=1.1，故整数部分1。
水平测试 B 第6题(填空题)
A = 1/(1/1991+1/1992+…+1/2000) 的整数部分是______。
答案：199
解析：10项：分母<10/1991→A>199.1；分母>10/2000→A<200。整数部分199。
水平测试 B 第7题(填空题)
已知 1/3 = 1/A+1/B，A、B是两个不同的正整数且A>B，则A=______，B=______。
答案：A=12，B=4
解析：A>B则1/A<1/B，2/B>1/3即B<6。试B=4：1/A=1/3−1/4=1/12，A=12。
水平测试 B 第8题(填空题)
小明家住在一条小胡同里，各家号码从1号连续排下去，全胡同所有家的号码之和再减去小明家号码是60，小明家号码是______。
答案：6
解析：n(n+1)/2−x=60。n=11时和=66，x=6；n=12时和=78，x=18>12不可能。故6号。
水平测试 B 第9题(填空题)
一本书页码连续正整数1,2,3,…，当将这些页码加起来时，某个页码加了两次，得到不正确结果1991。这个被加了两次的页码为______。
答案：38
解析：n(n+1)/2在1991−n与1991之间。n=62时和=1953，错加=1991−1953=38。
水平测试 B 第10题(填空题)
用0,1,2,…,9这10个数字组成五个两位数，使这五个数的和为奇数，且尽可能大，这个和为______。
答案：351
解析：两偶三奇时和最大：十位取9,8,7,6,4，个位取0,1,2,3,5，和=10×34+11=351。
水平测试 B 第11题(填空题)
在 1, 1/2, 1/3, …, 1/100 中选出若干个数，使它们的和大于3，至少要选______个数。
答案：11
解析：从大到小选：1+1/2+…+1/6=2.45<3；加1/7+…+1/10=2.928<3；再加1/11=3.01>3。至少11个。
水平测试 B 第12题(填空题)
学校组织夏令营，先乘车，每辆车60个座位至少需4辆；后乘船，定员70人的船至少需3条。到达后分组，分的组数跟每组人数恰好相等，参加夏令营的人数为______。
答案：196
解析：人数在181~210之间，且是完全平方数。14²=196唯一符合。

C层

水平测试 A 第1题(填空题)
比较大小：63/125 ______ 23/50。
答案：>
解析：63/125>1/2（63>62.5），23/50<1/2（23<25），故63/125>23/50。
水平测试 A 第2题(填空题)
把 579/580、42/43、1427/1428 从小到大排列应为______。
答案：42/43 < 579/580 < 1427/1428
解析：都=1−1/分母：1/43>1/580>1/1428，故减去越多越小，得此序。
水平测试 A 第3题(填空题)
在 10/17、12/19、15/23、20/33、60/101 这五个数中最小的数是______。
答案：10/17
解析：统一分子60：10/17=60/102，12/19=60/95，15/23=60/92，20/33=60/99，60/101。分母最大102，对应10/17最小。
水平测试 A 第4题(填空题)
有一列数，第1个数是103，第2个数是83，从第3个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，则第2019个数的整数部分是______。
答案：89
解析：前几项：103,83,93,88,90.5,89.25,89.875。之后每项都在89.25与89.875之间，整数部分89。
水平测试 A 第5题(填空题)
分数和 1/3+1/4+1/5+1/6+1/7 的整数部分是______。
答案：1
解析：下界=1/5+(1/3+1/7)+(1/4+1/6)>1/5+10/25+10/25=1；上界<2/3+3/5<2，故整数部分1。
水平测试 A 第6题(填空题)
老师在黑板上写了13个正整数，让小王计算平均数（保留两位小数），小王算出12.43。老师说最后一位数字错了，其他数字都对，正确答案应是______。
答案：12.46
解析：真实平均在12.395~12.495，×13=161.1~162.4，整数和=162，162/13≈12.46。
水平测试 A 第7题(填空题)
有两组数，第一组平均数12.8，第二组平均数10.2，而这两组数总的平均数是12.02，那么第一组数的个数与第二组数的个数的比值为______。
答案：7/3
解析：12.8x+10.2y=12.02(x+y)，0.78x=1.82y，x/y=1.82/0.78=7/3。
水平测试 A 第8题(填空题)
有7个正整数的平均值约等于30.23，后来发现这个小数的最后一位是错的，正确的两位小数的近似平均值为______。
答案：30.29
解析：30.2×7=211.4，整数和>211，试212：212/7=30.285…≈30.29；213/7=30.428…不符。
水平测试 A 第9题(填空题)
甲、乙两数是正整数，如果甲数的5/6恰好是乙数的1/4，那么甲、乙两数的和的最小值是______。
答案：13
解析：5/6甲=1/4乙，甲=3/10乙。乙最小=10，甲=3，和=13。
水平测试 A 第10题(填空题)
已知34个偶数的平均数，保留一位小数是15.9，如果保留两位小数，得数最小为______。
答案：15.88
解析：15.85≤平均<15.95，×34=538.9≤和<542.3，偶数和最小=540，540/34≈15.88。
水平测试 A 第11题(填空题)
0.123456…5051 / 0.515049…4321 在表示为小数时，小数点后的前三位数为______。
答案：239
解析：放缩分子5位、分母3位：0.12345/0.516<a<0.12346/0.515，即0.2392<a<0.2397，前三位239。
水平测试 C 第1题(填空题)
比较大小：(2/3×2/3×…×2/3) [20个2/3] ______ 0.001。
答案：<
解析：(2/3)²⁰=2²⁰/3²⁰=2³⁰/3²⁰×1/2¹⁰<1/2¹⁰=1/1024<1/1000=0.001。
水平测试 C 第2题(填空题)
(1+19/92)+(1+19/92×2)+…+(1+19/92×11) 的结果是x，与x最接近的整数是______。
答案：25
解析：x=11+19/92×(1+…+11)=11+19/92×66=24(29/46)，29/46>1/2，接近25。
水平测试 C 第3题(填空题)
用四舍五入计算3个分数和的近似值 A/3+B/5+C/7≈1.16，正整数A、B、C的值分别是______。
答案：1、2、3
解析：1.155≤(35A+21B+15C)/105<1.165，即35A+21B+15C=122。试验35×1+21×2+15×3=122。
水平测试 C 第4题(填空题)
从1到2023中，共有______个完全平方数。
答案：44
解析：44²=1936<2023<2025=45²，共44个。
水平测试 C 第5题(填空题)
已知3²⁰²²的数字之和为A，A的数字之和为B，B的数字之和为C，C=______。
答案：9
解析：3²⁰²²=(3²)¹⁰¹¹<10¹⁰¹¹，A<9099，B<36，C<18。又9|3²⁰²²故9|A,B,C，C=9。
水平测试 C 第6题(填空题)
2020与某个三位数的和为一个完全平方数，这样的三位数共有______个。
答案：8
解析：2120≤a+2020≤3019，即47²=2209到54²=2916之间，共54−47+1=8个。
水平测试 C 第7题(填空题)
已知 s = 10000/(1+1/1991+1/1992+…+1/2000)，则s的整数部分为______。
答案：9950
解析：10/2000<分母<10/1991，取倒数夹逼得9950(50/2001)<s<9950(50/2010)，整数部分9950。
水平测试 C 第8题(填空题)
已知A=135791113151719212325，A的反序数为B，A÷B在小数点后的前五位数字依次是______。
答案：2、5、9、5、3
解析：A÷B<135792/523212<0.25954，A÷B>135791/523213>0.25953，前五位25953。
水平测试 C 第9题(填空题)
若分数 (□−8)/(4×□+33) 中□内是一个两位数，为了使该分数成为可约分数，□内的数最大是______。
答案：99
解析：倒数=(4×□+33)/(□−8)=4+65/(□−8)，故□−8须有因子5或13。最大两位数99−8=91=7×13，填99。
水平测试 C 第10题(填空题)
用A表示积 4/5×6/7×8/9×…×1000000/1000001，A与0.002的大小关系为______。
答案：A < 0.002
解析：补B=5/6×7/8×…×1000001/1000002，A×B=4/1000002<4/1000000，A<√(4/1000000)=0.002。
水平测试 C 第11题(填空题)
已知 N = 1+1/5+1/11+1/19+1/29+1/41+…+1/[k(k+1)−1]+…+1/10099，则N的整数部分为______。
答案：1
解析：分母k(k+1)−1夹在(k−1)k与k(k+1)之间，放缩得1<N<1+1−1/100<2，整数部分1。
水平测试 C 第12题(填空题)
有一长3米的线段，第一次三等分去掉中间部分，第二次把剩下的每条再三等分去掉中间部分。继续这一过程，至少______次，才使剩下的所有线段长度和小于0.4米。
答案：5
解析：每次剩下原长的2/3。3×(2/3)⁴=0.59>0.4，3×(2/3)⁵=0.395<0.4，至少5次。
水平测试 C 第13题(填空题)
四个连续正整数倒数之和为19/20，则这四个正整数的两两乘积之和为______。
答案：119
解析：设a,a+1,a+2,a+3，倒数和<4/a，故a<4(4/19)。试得a=3，四数3,4,5,6。两两乘积和=3×4+3×5+3×6+4×5+4×6+5×6=119。
水平测试 C 第14题(填空题)
国际象棋比赛奖金总数10000元，发给前五名，每名奖金都是100的整数倍，名次在前的比在后的多。第一名=第二+三名，第二名=第四+五名，第三名最多可以得到______元。
答案：1700
解析：设第i名100a_i元，整理得3a₂+2a₃=100。100<5a₂故a₂>20且为偶数，a₂≥22，a₃=(100−3a₂)/2≤17，最多17×100=1700元。
水平测试 C 第15题(解答题)
设 S = 1²/(1×3)+2²/(3×5)+…+1011²/(2021×2023)，求S的整数部分。
答案：252
解析：通项n²/[(2n−1)(2n+1)]=1/4[1+1/2(1/(2n−1)−1/(2n+1))]。S=1/4[1011+1/2(1−1/2023)]≈252.87，整数部分252。

四、方法小结

估值与取整核心是“先夹后锁”：先用条件把所求量夹在两个相邻数之间，再用约数、奇偶、整数和等条件锁定唯一整数。乘积和分式用放缩，步长要小；调和和按2^k分组；平均数看错末位用×个数反求整数和。遇到大数不硬算，先找范围。

五、作业建议

基础必做：
  • 教材P30 水平测试A 第1–6题（比较、数列整数部分、平均数）
  • 教材P31 水平测试A 第7–11题（比值、反求整数和、放缩）
巩固选做：
  • 教材P32 水平测试B 第1–6题（末尾零、繁分式、平均数链）
  • 教材P32–33 水平测试B 第7–12题（埃及分数、页码、最小组数）
提高挑战：
  • 教材P34–35 水平测试C 第1–8题（乘方比较、数字和、完全平方数）
  • 教材P35 水平测试C 第9–15题（可约分数、乘积放缩、科赫曲线、奖金分配、裂项）

六、课堂错因定位

症状：只算范围不锁定整数
根因：忘了第二步用约数/奇偶/整数和筛选。
补救：典例A1示范：范围3到4.38后再筛1995的约数。
症状：放缩太粗夹不出整数
根因：放缩步长太大。
补救：典例B1：下界逐小步加，上界只取到32×1.28。
症状：调和和整体放缩
根因：不会按2^k分组。
补救：典例C1：分组1/3+1/4、1/5~1/8。
症状：平均数反求整数和端点错
根因：忘了四舍五入前区间是[错值−0.005,错值+0.005)。
补救：Test A6：12.395~12.495×13。
症状：取整函数计数混乱
根因：不分连续段和跳跃段。
补救：典例C3：n<1008连续、n>1008跳跃。