主要内容
- 上台阶问题
- 平面分割问题
1.上台阶问题
问题描述
请思考以下问题，并动手编写程序：
楼梯有n个台阶，上楼可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶。一共有多少种上楼的方法？
问题分析
1. 假设有1个台阶，只有1种方法：
2. 假设有2级台阶，只有2种方法：
3. 假设有3级台阶
3.1 先爬1阶，接下来还有2阶台阶，那问题就是有2阶台阶怎么爬：
3.2 先爬2阶，接下来还有1阶台阶，那问题就是有1阶台阶怎么爬：
4. 假设有n级台阶
4.1 先爬1阶，接下来还有 n - 1 阶台阶，那问题就是有n - 1阶台阶怎么爬:
4.2 先爬2阶，接下来还有 n - 2 阶台阶，那问题就是有n - 2阶台阶怎么爬：
数学归纳法得出，有n阶台阶那么就是 n - 1 阶台阶和 n - 2 阶台阶爬上楼顶的方法的和。
公式： f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) , 这不就是菲波那切数列数量求和吗？
编程求解
#include < iostream >
#include < vector >
using namespace std;
int climbStairs(int n) {
//建立容器
vector dp(n+1, 0);
//设定边界值
dp[0]=1;
dp[1]=1;
//循环求解
for(int i=2;i<=n;i++){
dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
}
return dp[n];
}
int main(){
int n;
cin >> n;
cout << climbStairs(n) << endl;
return 0;
}
算法优化
使用容器占用较大的空间，可以用p,q,r三个变量循环代替容器。
#include < iostream >
using namespace std;
int climbStairs(int n) {
int p = 0, q = 0, r = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
p = q;
q = r;
r = p + q;
}
return r;
}
int main(){
int n;
cin >> n;
cout << climbStairs(n) << endl;
return 0;
}