高阶整除与数字谜 · 知识点讲解

本知识点

分组数位整除法周期数字串数字谜余数思想

解题路径

观察除数与10的幂的关系
按一位、两位或三位分组
建立余数条件并求未知数字

整除数特征拓展

数尾系： $2$ , $5$ :看末一位； $2^{2}$ , $5^{2}$ :看末两位； $2^{3}$ , $5^{3}$ :看末三位；……
数和系： $3$ ， $9$ ：各位数和； $33$ ， $99$ ：两位一截作和； $333$ ， $999$ ：三位一截作和；……
数差系： $11$ ：奇数位之和与偶数位之和作差； $101$ ：两位一截，奇和与偶和作差； $1001$ ：三位一截，奇数段之和与偶数段之和作差；……

Tip

①由 $33 = 3 \times 11$ ，可沿用 $11$ 的分组判定形式来检查 $33$ ；但要被33整除，还必须同时满足3整除；

②由 $1001 = 7 \times 11 \times 13$ （记忆方法：三个连续素数乘积），可得 $7$ ， $11$ ， $13$ 的整除判定和 $1001$ 相同．

配套例题

看懂这几道题，就掌握了这个点

先做再看解析；做错的题建议加入练习单，到「诊断练习」里集中攻克。

题 A1-01-012难度 C · 综合

在方框中填入 $0$ ～ $9$ 的适当数字，使得九位数 $\bar{2017 □ 7102}$ 为 $7$ 的倍数，求此时的九位数．

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即 $7 | \bar{7 □ 7} - (102 + 201)$ ， $7 | \bar{4 □ 4}$ ，得 $□ = 3$

九位数为 $201737102$

题 A1-01-013难度 D · 提升

⑴已知 $\bar{8 a b 8 a b 8 a b 8 a b 8 a b}$ 是 $77$ 的倍数，则 $\bar{8 a b}$ 最大为_________．

⑵能被 $33$ 整除的六位数 $\bar{19 x y 87}$ 的个数是_________．

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⑵能被 3 3 整除的六位数 1 9 x y 8 7 ¯ 的个数是_________．

⑴ $77 = 7 \times 11$

$77 | \bar{8 a b 8 a b 8 a b 8 a b 8 a b} \Rightarrow 77 | (\bar{8 a b} + \bar{8 a b} + \bar{8 a b} - \bar{8 a b} - \bar{8 a b}) \Rightarrow 77 | \bar{8 a b}$

所以 $\bar{8 a b}$ 是 $77$ 的倍数

$77 \times 10 = 770$ ， $770 + 77 = 847$ ， $847 + 77 = 924$

所以 $\bar{a b} = 47$ ．所以 $\bar{8 a b}$ 最大为 $847$ ．
⑵ $33 | \bar{19 x y 87} \Rightarrow 33 | (19 + \bar{x y} + 87) \Rightarrow 33 | (\bar{x y} + 99 + 7) \Rightarrow 33 | (\bar{x y} + 7)$

∴ $3$ 个， $192687$ ， $195987$ ， $199287$ ．