代数1-整除与分数 · 第 001 讲

第1讲整除（一）

36 道题6 个知识模块全讲答案解析已开放

本讲全部题目与解析均已通过最终网页检查，可逐题展开，也可打印含解析版。

课前基础

认识正整数、小数与四则运算
能读写多位数并理解数位

本讲目标

准确区分整除与除尽
熟练使用2、3、4、5、8、9、11的整除特征
能把复合整除条件转化为互素因子的整除条件

知识模块 01 · 基础知识

整除、因数与倍数

先分清整除与除尽，再建立因数、倍数及其有限性和无限性。

例题 1随堂练习 1作业 2

本模块知识点

整除的意义因数和倍数的意义找一个数的因数找一个数的倍数

解题路径

确认被除数、除数和商都是整数
检查余数是否为0
按“除数整除被除数”规范表述

知识讲解定义、性质与方法

数的整除

整除的定义

整数 $a$ 除以整数 $b$ $(b \neq 0)$ ，如果除得的商是整数且余数为零，则称 $a$ 被 $b$ 整除或 $b$ 整除 $a$ （记作 $b | a$ ）．

其中 $a$ 叫做 $b$ 的倍数， $b$ 叫做 $a$ 的因数（约数）；如果 $a$ 被 $b$ 除所得的余数不为 $0$ ，则称 $a$ 不能被 $b$ 整除，或 $b$ 不整除 $a$ （记作 $b | a$ ）．

整除、除尽与除不尽的区别

除尽：被除数、除数不一定是整数，商是整数或者有限小数，余数为 $0$ ．

整除：被除数、除数、商都是整数，且余数为 $0$ ．（为除尽的一种特殊情况）

除不尽：有余数．

范围约定：整除关系可以在整数范围内讨论；本讲后续枚举“因数、倍数”时，统一指正整数的正因数和正倍数，不把0和负数列入枚举。

例题教师示范

例题 13教师示范A1-01-001难度 A · 基础

⑴ 由 $3 \times 12 = 36$ ，我们可以得出：能被整除，或者能整除．

⑵ 一个正整数的正因数的个数是（填“有限的”或“无限的”），其中最小的正因数是，最大的正因数是；一个正整数的正倍数的个数是（填“有限的”或“无限的”），其中最小的正倍数是．

⑶ 除式 $6 \div 1.5 = 4$ 表示（）

A． $1.5$ 能整除 $6$ ； B． $6$ 能被 $1.5$ 整除；

C． $6$ 能整除 $1.5$ ； D． $6$ 能被 $1.5$ 除尽．

⑷ 下列说法中错误的是（）

A．若数 $a$ 能被数 $b$ 整除，则数 $b$ 一定能除尽数 $a$ ；

B．若数 $a$ 能被数 $b$ 除尽，则数 $b$ 一定能整除数 $a$ ；

C．一个大于 $1$ 的整数，至少能被两个数整除；

D．只能被两个不同的数整除且在 $10$ 以内的数中，最大的数是 $7$ ．

查看答案解析

解：⑴ 由 $3 \times 12 ＝ 36$ ，可知36能被3和12整除，3和12能整除36。

⑵ 本讲只讨论正整数的正因数和正倍数。一个正整数的正因数个数有限，最小正因数是1，最大正因数是它本身；正倍数个数无限，最小正倍数是它本身。

⑶ $6 \div 1.5 ＝ 4$ 表示6能被1.5除尽；因为1.5不是整数，不能使用“整除”，选D。

⑷ “除尽”不要求被除数、除数、商都是整数，例如 $1 \div 2 ＝ 0.5$ 可以除尽，但2不能整除1，因此错误项是B。

答：⑴ 36；3和12；3和12；36。⑵ 有限的；1；本身；无限的；本身。⑶ D。⑷ B。

练习随堂完成

练习 10随堂完成A1-01-020

在算式① $9.6 \div 3 = 3.2$ ，② $2 \div 5 = 0.4$ ，③ $12 \div 3 = 4$ ，④ $8 \div 4 = 2$ ，⑤ $3 \div 2 = 1.5$ ，⑥ $5 \div 2.5 = 2$ 中，是除尽，是整除．（填写序号即可）

查看答案解析

解：除尽要求商是整数或有限小数且余数为0。六个算式的商3.2、0.4、4、2、1.5、2都满足，所以①②③④⑤⑥都是除尽。

整除还要求被除数、除数、商都是整数，只有 $12 \div 3 ＝ 4$ 和 $8 \div 4 ＝ 2$ 满足，即③④。

答：①②③④⑤⑥是除尽，③④是整除。

作业独立完成

作业 13独立完成A1-01-030

下列算式能整除的是（）

A． $3 \div 2 = 1.5$ ； B． $10 \div 2.5 = 4$ ； C． $4.9 \div 0.7 = 7$ ； D． $8 \div 2 = 4$ ．

查看答案解析

解：整除要求被除数、除数、商都是整数且余数为0。

A中商1.5不是整数；B中除数2.5不是整数；C中被除数4.9和除数0.7都不是整数；只有 $8 \div 2 ＝ 4$ 三者都是整数。

答：选D。

作业 12独立完成A1-01-033

已知A能整除87，那么A是（）

A．奇数； B．偶数； C．奇数或偶数； D．不能确定．

查看答案解析

解：A能整除87，即A是87的正因数。由 $87 ＝ 3 \times 29$ ，87的正因数只有1、3、29、87，全是奇数。

答：选A。

知识模块 02 · 方法原理

位值原理与整除证明

把多位数写成各数位数字与10的幂之和，为整除特征提供统一证明工具。

例题 0随堂练习 0作业 0

本模块知识点

位值原理多位数的代数表示整除特征的证明

解题路径

按数位展开多位数
拆出必定整除的部分
只保留决定余数的数位组合

知识讲解定义、性质与方法

位值原理

定义

同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同．也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”．

例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理．

位值原理的表达形式

以五位数为例： $\bar{a b c d e} =$ $a \times 10000 + b \times 1000 + c \times 100 + d \times 10 + e$

应用：数的整除特征可以通过位值原理来证明

注意

一个五位数可表示为 $\bar{a b c d e}$ ，读作“ba”（同“拔”），区别于 $a b c d e$ ；

$\bar{a b c d e}$ 表示一个五位数， $a b c d e$ 表示五个字母相乘

知识模块 03 · 核心技能

常用整除特征

用数尾、数字和与奇偶位差判断2、3、4、5、8、9、11、25、125等数的整除性。

例题 7随堂练习 7作业 8

本模块知识点

能被2整除的数的特征能被5整除的数的特征数尾系数和系数差系

解题路径

先按除数选择数尾系、数和系或数差系
把多个整除条件转化为数字限制
用枚举或同余检查候选数字

知识讲解定义、性质与方法

常用的数的整除特征

数尾系

一个数的末位能被 $2$ 或 $5$ 整除，这个数就能被 $2$ 或 $5$ 整除；

证明

以五位数为例： $\bar{a b c d e} =$ $a \times 10000 + b \times 1000 + c \times 100 + d \times 10 + e$

其中： $a \times 10000$ 、 $b \times 1000$ 、 $c \times 100$ 、 $d \times 10$ 部分都能被 $2$ 或 $5$ 整除，所以只需满足 $e$ 部分能被 $2$ 或 $5$ 整除

一个数的末两位能被 $4$ 或 $25$ 整除，这个数就能被 $4$ 或 $25$ 整除；

一个数的末三位能被 $8$ 或 $125$ 整除，这个数就能被 $8$ 或 $125$ 整除．

书写格式：∵ $4 | \bar{c d}$ ，∴ $4 | \bar{a b c d}$ ；反之也成立∵ $4 | \bar{a b c d}$ ，∴ $4 | \bar{c d}$ ．

数和系

一个数各位数字之和能被 $3$ 整除，这个数就能被 $3$ 整除；

一个数各位数字之和能被 $9$ 整除，这个数就能被 $9$ 整除．

书写格式：∵ $9 | (a + b + c + d)$ ，∴ $9 | \bar{a b c d}$ ；反之也成立∵ $9 | \bar{a b c d}$ ，∴ $9 | (a + b + c + d)$ ．

证明

以五位数为例： $\bar{a b c d e} =$ $a \times 10000 + b \times 1000 + c \times 100 + d \times 10 + e$

$= a \times 9999 + b \times 999 + c \times 99 + d \times 9 + (a + b + c + d + e)$

所以只需满足各个数位的数字之和 $a + b + c + d + e$ 能被 $3$ 或 $9$ 整除

数差系

被 $11$ 整除的数的特性：一个整数从右向左依次标位，如果它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 $11$ 整除，那么这个数能被 $11$ 整除．

书写格式：∵ $11 | (b + d) - (a + c)$ ，∴ $11 | \bar{a b c d}$ ；反之也成立∵ $11 | \bar{a b c d}$ ，∴ $11 | (b + d) - (a + c)$ ．

例题教师示范

例题 12教师示范A1-01-002难度 B · 巩固

用 $0$ 、 $2$ 、 $5$ 、 $7$ 四个数字组成四位数（数字不重复），请分别写出满足下列要求的所有四位数：

⑴ 能同时被 $2$ 、 $5$ 整除：．

⑵ 能被 $5$ 整除但不能被 $2$ 整除：．

⑶ 能被 $2$ 整除但不能被 $5$ 整除：__．

查看答案解析

解：

⑴ $2570$ ， $2750$ ， $5270$ ， $5720$ ， $7250$ ， $7520$

⑵ $2075$ ， $2705$ ， $7025$ ， $7205$

⑶ $5072$ ， $5702$ ， $7052$ ， $7502$

答：⑴ 2570、2750、5270、5720、7250、7520；⑵ 2075、2705、7025、7205；⑶ 5072、5702、7052、7502。

例题 11教师示范A1-01-003难度 B · 巩固

⑴在四位数 $\bar{12 □ 0}$ 的方框里填一个数字，使它能同时被 $2$ 、 $3$ 、 $5$ 整除，最多有（）种填法．

A． $2$ ； B． $3$ ； C． $4$ ； D．无数．

⑵ 四位数 $\bar{□ 369}$ 的方框里填一个数字，使它能被 $3$ 整除，最多有种填法；

四位数 $\bar{369 □}$ 的方框里填一个数字，使它能被 $3$ 整除，最多有种填法．

查看答案解析

解：

⑴ ∵四位数末位为 $0$ ，能被 $2$ 、 $5$ 整除

∴只需要保证能被 $3$ 整除即可．

则各个数位上数字之和能被 $3$ 整除，空白中可填 $0$ 、 $3$ 、 $6$ 、 $9$ ．

选 $C$ ．

⑵ $3$ ， $4$

答：⑴ C；⑵ 3种、4种。

例题 10教师示范A1-01-004难度 B · 巩固

用 $10$ 以内的奇数组成一个能同时被 $3$ 、 $5$ 整除的最大三位数、最小四位数，分别是________和________．（每个数的数字不重复）

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$10$ 以内的奇数有 $1$ 、 $3$ 、 $5$ 、 $7$ 、 $9$ ，能同时被 $3$ 、 $5$ 整除的最大三位数 $975$ ．

最小四位数 $1395$ ．

例题 9教师示范A1-01-005难度 C · 综合

在四位数 $\bar{56 A 2}$ 中， $A$ 分别取什么值时，这个四位数能分别被 $9$ ， $8$ ， $4$ ， $11$ 整除？

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$9 | \bar{56 A 2}$ 时，则 $9 | 5 + 6 + A + 2$ ,即 $9 | 13 + A$ ,∴ $A = 5$ ；

$8 | \bar{56 A 2}$ 时，则 $8 | \bar{6 A 2}$ ,又 $\bar{6 A 2} = 600 + \bar{A 2}$ ,故 $8 | \bar{A 2}$ ，∴ $A = 3$ 或 $7$ ；

$4 | \bar{56 A 2}$ 时，则 $4 | \bar{A 2}$ ,∴ $A = 1$ ， $3$ ， $5$ ， $7$ 或 $9$ ；

$11 | \bar{56 A 2}$ 时，则 $11 | (6 + 2) - (5 + A)$ ，即 $11 | 3 - A$ ，∴ $A = 3$ ．

例题 8教师示范A1-01-006难度 B · 巩固

在方框中填入两个相同的数字，使得四位数 $\bar{2 □ □ 4}$ 能同时被 $3$ 和 $4$ 整除，这样的数字有哪些？

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设方框中数字为 $x$ ，则 $3 | 2 x + 6$ ，可知 $3 | 2 x$ ， $x$ 应为 $3$ 的倍数． $4 | \bar{□ 4}$ ，从 $4$ 的整除特征易知， $x = 0, 2, 4, 6, 8$ ，∴ $x = 0$ 或 $6$ ．

例题 7教师示范A1-01-007难度 B · 巩固

在 $2020$ 右边添加一个数码 $2$ ，观察结果是否为 $9$ 的倍数，若不是，继续在右边添上一个数码 $2$ ，以此类推，则所得的第一个 $9$ 的倍数是__________．

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因为 $2 + 0 + 2 + 0 = 4$ ，至少要加 $7$ 个 $2$ 为 $9$ 的倍数．此时为 $20202222222$ ．

例题 6教师示范A1-01-008难度 D · 提升

在由 $1$ 、 $3$ 、 $5$ 、 $7$ 、 $9$ 组成的没有重复数字的数中，是 $9$ 的倍数的有______个．

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如果能被 $9$ 整除，那么这个数的各位数字和必须能被 $9$ 整除，一位数有1个，两位数有0个，三位数有6个，四位数有24个，五位数有0个，这样共有 $31$ 种．

练习随堂完成

练习 9随堂完成A1-01-014

在 $45$ 、 $18$ 、 $60$ 、 $15$ 、 $20$ 五个数中，能同时被 $2$ 、 $5$ 整除的数是 $___________$ ．

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解：能同时被2、5整除的数，末位数字必须是0。在45、18、60、15、20中，末位是0的只有60和20。

答：60、20。

练习 8随堂完成A1-01-015

$26$ 以内能被 $3$ 整除的所有数的和为 $___________$ ．

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解：26以内能被3整除的数有3、6、9、12、15、18、21、24，共8个。

它们的和为 $3 ＋ 6 ＋ 9 ＋ 12 ＋ 15 ＋ 18 ＋ 21 ＋ 24 ＝ 108$ 。

答：和为108。

练习 7随堂完成A1-01-016

讨论 $x$ 、 $y$ 分别取什么值时，三位数 $\bar{x 3 y}$ 同时能被 $2$ 、 $3$ 、 $5$ 整除？

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解：三位数 $\bar{x 3 y}$ 同时能被2、5整除，个位必须是0，即 $y ＝ 0$ 。

再被3整除，数字和 $x ＋ 3 ＋ 0 ＝ x ＋ 3$ 必须是3的倍数；x在百位不能取0，所以x可以取3、6、9。

答： $x ＝ 3 、 6 、 9 ， y ＝ 0$ ，对应三位数330、630、930。

练习 6随堂完成A1-01-021

⑴ 在18，27，30，46，51，65，102这些数中，能被2整除的数是；能被5整除的数是．

⑵ 在75，42，50，88，40中，既是2的倍数又能被5整除的数有．

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解：⑴ 个位是0、2、4、6、8的数能被2整除：18、30、46、102；个位是0或5的数能被5整除：30、65。

⑵ 既是2的倍数又能被5整除的数，末位必须是0：50、40。

答：⑴ 能被2整除：18、30、46、102；能被5整除：30、65。⑵ 50、40。

练习 5随堂完成A1-01-022

⑴ 在能够被 $2$ 整除的数中，最大的三位数是，最小的三位数是．

⑵ 在能够被 $3$ 整除的数中，最大的三位数是，最小的三位数是．

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解：⑴ 能被2整除需个位是偶数：最大的三位数是998，最小的是100。

⑵ 能被3整除需数字和是3的倍数： $9 ＋ 9 ＋ 9 ＝ 27$ ，最大的是999； $1 ＋ 0 ＋ 2 ＝ 3$ ，最小的是102。

答：⑴ 998；100。⑵ 999；102。

练习 4随堂完成A1-01-024

在 $□$ 处填入适当的数字，使四位数 $\bar{13 □ 6}$ 能被 $3$ 整除． $□$ 处可有种不同的填法？

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解：设四位数13□6中方框内的数字为x。它能被3整除，所以 $1 ＋ 3 ＋ x ＋ 6 ＝ x ＋ 10$ 是3的倍数。

在0～9中满足条件的数字为2、5、8。

答：可填2、5、8，共3种填法。

练习 3随堂完成A1-01-034

从 $0 、 2 、 3 、 5$ 四个数字中，任选三个（不能重复）数字，组成分别符合下列条件的数，并填在相应的横线上：

⑴ 能被 $2$ 整除的最小三位数：________

⑵ 能被 $5$ 整除的最大三位数: ________

⑶ 能同时被 $2 、 5$ 整除的最大三位数：________

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解：⑴ 能被2整除的数末位是0或2。要使三位数最小，百位取最小的非零数字2，个位只能取0，十位从剩下的3、5中取较小的3，得到230。

⑵ 能被5整除的数末位是0或5。要使三位数最大，百位取5，个位取0，十位取3，得到530。

⑶ 能同时被2、5整除的数末位必须是0，百位取5、十位取3，最大为530。

答：⑴ 230。⑵ 530。⑶ 530。

作业独立完成

作业 11独立完成A1-01-017

从 $0$ 、 $1$ 、 $3$ 、 $5$ 、 $7$ 这五个数字中选取不同的三个数字，可以组成哪几个既是 $3$ 的倍数，又是 $5$ 的倍数的三位数？

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解：既是3的倍数又是5的倍数，即能被15整除：末位必须是0或5，且各位数字和是3的倍数。

末位取0时，另两位从1、3、5、7中选且两数之和是3的倍数，只有1与5、5与7两组，可组成150、510、570、750。

末位取5时，另两位从0、1、3、7中选且三个数字之和是3的倍数，可组成105、705、135、315、375、735。

答：共10个：105、135、150、315、375、510、570、705、735、750。

作业 10独立完成A1-01-018

一个能同时被2、3、5整除的三位数，它的百位上的数比十位上的数大9，这个数是__________．

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解：百位数字比十位数字大9，两个数字只能是9和0，即百位9、十位0。能同时被2、5整除，个位必须是0，得到900。

检验： $9 ＋ 0 ＋ 0 ＝ 9$ ，是3的倍数，满足条件。

答：这个数是900。

作业 9独立完成A1-01-019

有0、1、4、7、9五个数字，从中选出不同的四个数字组成四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，那么第五个数的末位数字是________．

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解：五个数字的和为21。选四个数字后仍能被3整除，被舍去的数字必须是3的倍数，因此只能舍去0或9。

按从小到大排列，前五个四位数依次为1047、1074、1407、1470、1479。

答：第五个数的末位数字是9。

作业 8独立完成A1-01-023

在方框中填入两个相同的数字，使得四位数 $\bar{4 □ □ 2}$ 能同时被 $3$ 和 $4$ 整除，这样的数字有哪些？

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解：设方框中的数字为x。被4整除看末两位 $\bar{x 2}$ ，其中能被4整除的只有12、32、52、72、92，所以x是奇数。

被3整除看数字和 $4 ＋ x ＋ x ＋ 2 ＝ 2 x ＋ 6$ ，需要 $2 x$ 被3整除，即x是3的倍数。

同时满足两个条件的数字为3和9。

答：这样的数字是3和9。

作业 7独立完成A1-01-027

⑴ 能同时被2、5、3整除的最大三位数是．

⑵ 能同时被2、3、5整除的最小三位数是．

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解：能同时被2、3、5整除的数就是 $2 \times 3 \times 5 ＝ 30$ 的倍数。

三位数中30的倍数最大为990，最小为120。

答：⑴ 990。⑵ 120。

作业 6独立完成A1-01-028

用0、3、6这3个数字（不重复）组成一个三位数，它同时能被2、5整除，这个三位数最大的是，最小的是．

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解：同时能被2、5整除的三位数末位必须是0，百位与十位由3、6组成，只有360和630。

答：最大是630，最小是360。

作业 5独立完成A1-01-029

求满足下面各题条件的字母的值：（相同字母代表相同数字）

⑴ $3 | \bar{a 12 a}$ ⑵ $5 | \bar{b 12 b}$ ⑶ $9 | \bar{c 1 c 0}$

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解：⑴ $3 | \bar{a 12 a}$ 需数字和 $a ＋ 1 ＋ 2 ＋ a ＝ 2 a ＋ 3$ 被3整除，即 $2 a$ 被3整除，a是3的倍数；a在首位不能为0，所以a取3、6、9。

⑵ $5 | \bar{b 12 b}$ 需末位是0或5；b在首位不能为0，所以b取5。

⑶ $9 | \bar{c 1 c 0}$ 需 $c ＋ 1 ＋ c ＋ 0 ＝ 2 c ＋ 1$ 被9整除， $2 c ＋ 1$ 只能等于9，所以c取4。

答：⑴ a为3、6、9。⑵ b为5。⑶ c为4。

作业 4独立完成A1-01-031

有一个四位数既能被2整除又能被5整除，它的前两位是能被3整除中最小的两位数，四位数字之和是奇数，则这个数可能是什么？

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解：既能被2整除又能被5整除，末位必须是0；能被3整除的最小两位数是12，所以前两位是12，这个四位数形如12□0。

四位数字之和 $1 ＋ 2 ＋ □ ＋ 0$ 是奇数，所以方框中的数字为偶数，可以填0、2、4、6、8。

答：这个数可能是1200、1220、1240、1260、1280。

知识模块 04 · 解题模型

复合数整除判定

把6、12、15、36、45、72等复合除数拆成互素因数，再联立已有整除特征。

例题 3随堂练习 1作业 2

本模块知识点

互素复合数的整除特征整除条件的合取

解题路径

把除数拆成互素因数的乘积
分别写出每个因数的整除条件
联立条件并验证

知识讲解定义、性质与方法

特殊合数的整除数特征

对于一些未学过的合数，如 $6, 36, 45, 72$ ，可以写成 $6 = 2 \times 3$ ， $36 = 4 \times 9$ ， $45 = 5 \times 9$ ， $72 = 8 \times 9$ ，拆分成两个互素且学过的两数乘积．

例

已知 $\bar{7814 a}$ 能被 $12$ 整除，求 $a$ 的值．

解： $12 = 3 \times 4$ ，且 $3$ 与 $4$ 互素，

∵ $3 | \bar{7814 a}$ ,∴ $3 | (7 + 8 + 1 + 4 + a)$ ，∴ $a$ 的可能值为1，4，7，

又 $4 | \bar{7814 a}$ ,∴ $4 | 4 a$ ，∴ $a$ 的可能值为0，4，8

∴ $a = 4$

思考

为什么要拆成互素的两个数呢？

例题教师示范

例题 5教师示范A1-01-009难度 B · 巩固

若四位数 $\bar{9 a 8 a}$ 能被 $15$ 整除，则 $a$ 代表的数字是．

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因为 $15$ 是 $3$ 和 $5$ 的倍数，所以 $\bar{9 a 8 a}$ 既能被 $3$ 整除，也能被 $5$ 整除．

能被 $5$ 整除的数的个位数字是 $0$ 或 $5$ ，能被 $3$ 整除的数的各位数字的和是 $3$ 的倍数．

当 $a = 0$ 时， $9 + a + 8 + a = 17$ ，不是 $3$ 的倍数；

当 $a = 5$ 时， $9 + a + 8 + a = 27$ ，是 $3$ 的倍数．

所以， $a$ 代表的数字是 $5$ ．

例题 4教师示范A1-01-010难度 C · 综合

一张旧发票上写有 $72$ 瓶饮料，总价为 $x 67.9 y$ 元，由于两头的数字模糊不清，分别用 $x, y$ 表示，每瓶饮料的单价也看不清了，那么 $x, y$ 的值是多少？

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解：总价 $x 67.9 y$ 元化成以分为单位的整数为五位数 $x 679 y$ 。 $72 ＝ 8 \times 9$ ，且8与9互素，所以 $x 679 y$ 必须同时被8和9整除。

由末三位 $79 y$ 被8整除，得 $y ＝ 2$ ；再由各位数字和 $x ＋ 6 ＋ 7 ＋ 9 ＋ 2 ＝ x ＋ 24$ 被9整除，得 $x ＝ 3$ 。

回代： $367.92 \div 72 ＝ 5.11$ （元），整除关系成立。

答： $x ＝ 3 ， y ＝ 2$ 。

例题 3教师示范A1-01-011难度 D · 提升

在 $724$ 的左边添加一个数码 $a$ ，右边添加一个数码 $b$ ，组成一个五位数．如果这个五位数是 $12$ 的倍数，求 $a \times b$ 的最大值．

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解：组成的五位数为 $\bar{a 724 b}$ 。 $12 ＝ 3 \times 4$ ，且3与4互素，所以这个五位数必须同时被3和4整除。

被4整除看末两位 $4 b$ ，所以b只能取0、4、8。

被3整除看数字和 $a ＋ 7 ＋ 2 ＋ 4 ＋ b ＝ a ＋ b ＋ 13$ ：当 $b ＝ 0$ 时a最大取8；当 $b ＝ 4$ 时a最大取7；当 $b ＝ 8$ 时a最大取9。

比较三种情况， $a \times b$ 的最大值为 $9 \times 8 ＝ 72$ 。

答： $a \times b$ 的最大值是72。

练习随堂完成

练习 2随堂完成A1-01-025

已知一个五位数 $\bar{A 691 B}$ 能被 $55$ 整除，那么符合题意的五位数是．

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解： $55 ＝ 5 \times 11$ ，且5与11互素，所以五位数必须同时被5和11整除，末位B只能是0或5。

若 $B ＝ 0$ ，由11整除特征得 $(A ＋ 9 ＋ 0) － (6 ＋ 1) ＝ A ＋ 2$ 是11的倍数，所以 $A ＝ 9$ ，得到96910。

若 $B ＝ 5$ ，由11整除特征得 $(A ＋ 9 ＋ 5) － (6 ＋ 1) ＝ A ＋ 7$ 是11的倍数，所以 $A ＝ 4$ ，得到46915。

两数回代均能被55整除。

答：96910或46915。

作业独立完成

作业 3独立完成A1-01-035

一个六位数 $\bar{A 2008 B}$ 既能被 $8$ 整除又能被 $9$ 整除，那么 $A$ 的值为多少？

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解：六位数A2008B被8整除，只需末三位 $08 B$ 被8整除，因此 $B ＝ 0$ 或 $B ＝ 8$ 。

它还要被9整除，所以 $A ＋ 2 ＋ 8 ＋ B ＝ A ＋ B ＋ 10$ 是9的倍数。 $B ＝ 0$ 时 $A ＝ 8$ ； $B ＝ 8$ 时 $A ＝ 9$ 。

答：A可以是8或9；分别对应820080、920088。

作业 2独立完成A1-01-036

一个六位数 $\bar{12 A 34 B}$ 是 $88$ 的倍数，那么这个数是多少？

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解： $88 ＝ 8 \times 11$ ，且8与11互素。由末三位 $34 B$ 被8整除，得 $B ＝ 4$ 。

再用11整除特征： $(2 ＋ 3 ＋ 4) － (1 ＋ A ＋ 4) ＝ 4 － A$ 必须是11的倍数。A是数字，所以 $A ＝ 4$ 。

回代 $124344 \div 88 ＝ 1413$ 。

答：这个数是124344。

知识模块 05 · 提升模型

高阶整除与数字谜

把分组数位、周期数串和未知数字问题转化为余数关系。

例题 2随堂练习 0作业 0

本模块知识点

分组数位整除法周期数字串数字谜余数思想

解题路径

观察除数与10的幂的关系
按一位、两位或三位分组
建立余数条件并求未知数字

知识讲解定义、性质与方法

整除数特征拓展

数尾系： $2$ , $5$ :看末一位； $2^{2}$ , $5^{2}$ :看末两位； $2^{3}$ , $5^{3}$ :看末三位；……
数和系： $3$ ， $9$ ：各位数和； $33$ ， $99$ ：两位一截作和； $333$ ， $999$ ：三位一截作和；……
数差系： $11$ ：奇数位之和与偶数位之和作差； $101$ ：两位一截，奇和与偶和作差； $1001$ ：三位一截，奇数段之和与偶数段之和作差；……

Tip

①由 $33 = 3 \times 11$ ，可沿用 $11$ 的分组判定形式来检查 $33$ ；但要被33整除，还必须同时满足3整除；

②由 $1001 = 7 \times 11 \times 13$ （记忆方法：三个连续素数乘积），可得 $7$ ， $11$ ， $13$ 的整除判定和 $1001$ 相同．

例题教师示范

例题 2教师示范A1-01-012难度 C · 综合

在方框中填入 $0$ ～ $9$ 的适当数字，使得九位数 $\bar{2017 □ 7102}$ 为 $7$ 的倍数，求此时的九位数．

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即 $7 | \bar{7 □ 7} - (102 + 201)$ ， $7 | \bar{4 □ 4}$ ，得 $□ = 3$

九位数为 $201737102$

例题 1教师示范A1-01-013难度 D · 提升

⑴已知 $\bar{8 a b 8 a b 8 a b 8 a b 8 a b}$ 是 $77$ 的倍数，则 $\bar{8 a b}$ 最大为_________．

⑵能被 $33$ 整除的六位数 $\bar{19 x y 87}$ 的个数是_________．

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⑵能被 3 3 整除的六位数 1 9 x y 8 7 ¯ 的个数是_________．

⑴ $77 = 7 \times 11$

$77 | \bar{8 a b 8 a b 8 a b 8 a b 8 a b} \Rightarrow 77 | (\bar{8 a b} + \bar{8 a b} + \bar{8 a b} - \bar{8 a b} - \bar{8 a b}) \Rightarrow 77 | \bar{8 a b}$

所以 $\bar{8 a b}$ 是 $77$ 的倍数

$77 \times 10 = 770$ ， $770 + 77 = 847$ ， $847 + 77 = 924$

所以 $\bar{a b} = 47$ ．所以 $\bar{8 a b}$ 最大为 $847$ ．
⑵ $33 | \bar{19 x y 87} \Rightarrow 33 | (19 + \bar{x y} + 87) \Rightarrow 33 | (\bar{x y} + 99 + 7) \Rightarrow 33 | (\bar{x y} + 7)$

∴ $3$ 个， $192687$ ， $195987$ ， $199287$ ．

知识模块 06 · 综合训练

整除综合训练

综合使用整除定义、常用特征、数字组成与余数方法。

例题 0随堂练习 1作业 1

本模块知识点

整除综合数字组成多条件整除

解题路径

识别所需整除特征
缩小数字范围
逐项验证并规范作答

练习随堂完成

练习 1随堂完成A1-01-026

下列说法错误的是（）

A．一个偶数与一个奇数相乘，积一定是偶数；

B．一个偶数与一个奇数相加，和一定是奇数；

C．一个偶数与一个偶数相除，商一定是偶数；

D．一个偶数除以一个奇数，如果商是一个自然数，那么商一定是偶数．

查看答案解析

解：偶数与奇数相乘，积含有因数2，一定是偶数，A正确；偶数与奇数相加，和一定是奇数，B正确。

偶数除以偶数，商不一定是偶数，例如 $6 \div 2 ＝ 3$ ，商是奇数，C错误。

偶数除以奇数，如果商是自然数，那么偶数等于奇数与商的乘积；奇数乘奇数仍为奇数，不可能得到偶数，所以商必须是偶数，D正确。

答：选C。

作业独立完成

作业 1独立完成A1-01-032

⑴ 不超过 $1000$ 的最大偶数是：；

⑵ $100 ~ 500$ 之间有多少个奇数：；

⑶ 连续三个偶数的和等于 $120$ ，则这三个偶数分别为：．

查看答案解析

解：⑴ 1000本身是偶数，所以不超过1000的最大偶数是1000。

⑵ 100～500之间的奇数为101、103、…、499，共有 $(499 － 101) \div 2 ＋ 1 ＝ 200$ （个）。

⑶ 连续三个偶数的和等于中间偶数的3倍，中间偶数为 $120 \div 3 ＝ 40$ ，所以这三个偶数是38、40、42。

答：⑴ 1000。⑵ 200个。⑶ 38、40、42。