常用整除特征 · 知识点讲解

本知识点

能被2整除的数的特征能被5整除的数的特征数尾系数和系数差系

解题路径

先按除数选择数尾系、数和系或数差系
把多个整除条件转化为数字限制
用枚举或同余检查候选数字

常用的数的整除特征

数尾系

一个数的末位能被 $2$ 或 $5$ 整除，这个数就能被 $2$ 或 $5$ 整除；

证明

以五位数为例： $\bar{a b c d e} =$ $a \times 10000 + b \times 1000 + c \times 100 + d \times 10 + e$

其中： $a \times 10000$ 、 $b \times 1000$ 、 $c \times 100$ 、 $d \times 10$ 部分都能被 $2$ 或 $5$ 整除，所以只需满足 $e$ 部分能被 $2$ 或 $5$ 整除

一个数的末两位能被 $4$ 或 $25$ 整除，这个数就能被 $4$ 或 $25$ 整除；

一个数的末三位能被 $8$ 或 $125$ 整除，这个数就能被 $8$ 或 $125$ 整除．

书写格式：∵ $4 | \bar{c d}$ ，∴ $4 | \bar{a b c d}$ ；反之也成立∵ $4 | \bar{a b c d}$ ，∴ $4 | \bar{c d}$ ．

数和系

一个数各位数字之和能被 $3$ 整除，这个数就能被 $3$ 整除；

一个数各位数字之和能被 $9$ 整除，这个数就能被 $9$ 整除．

书写格式：∵ $9 | (a + b + c + d)$ ，∴ $9 | \bar{a b c d}$ ；反之也成立∵ $9 | \bar{a b c d}$ ，∴ $9 | (a + b + c + d)$ ．

证明

以五位数为例： $\bar{a b c d e} =$ $a \times 10000 + b \times 1000 + c \times 100 + d \times 10 + e$

$= a \times 9999 + b \times 999 + c \times 99 + d \times 9 + (a + b + c + d + e)$

所以只需满足各个数位的数字之和 $a + b + c + d + e$ 能被 $3$ 或 $9$ 整除

数差系

被 $11$ 整除的数的特性：一个整数从右向左依次标位，如果它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 $11$ 整除，那么这个数能被 $11$ 整除．

书写格式：∵ $11 | (b + d) - (a + c)$ ，∴ $11 | \bar{a b c d}$ ；反之也成立∵ $11 | \bar{a b c d}$ ，∴ $11 | (b + d) - (a + c)$ ．

配套例题

看懂这几道题，就掌握了这个点

先做再看解析；做错的题建议加入练习单，到「诊断练习」里集中攻克。

题 A1-01-002难度 B · 巩固

用 $0$ 、 $2$ 、 $5$ 、 $7$ 四个数字组成四位数（数字不重复），请分别写出满足下列要求的所有四位数：

⑴ 能同时被 $2$ 、 $5$ 整除：．

⑵ 能被 $5$ 整除但不能被 $2$ 整除：．

⑶ 能被 $2$ 整除但不能被 $5$ 整除：__．

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解：

⑴ $2570$ ， $2750$ ， $5270$ ， $5720$ ， $7250$ ， $7520$

⑵ $2075$ ， $2705$ ， $7025$ ， $7205$

⑶ $5072$ ， $5702$ ， $7052$ ， $7502$

答：⑴ 2570、2750、5270、5720、7250、7520；⑵ 2075、2705、7025、7205；⑶ 5072、5702、7052、7502。

题 A1-01-003难度 B · 巩固

⑴在四位数 $\bar{12 □ 0}$ 的方框里填一个数字，使它能同时被 $2$ 、 $3$ 、 $5$ 整除，最多有（）种填法．

A． $2$ ； B． $3$ ； C． $4$ ； D．无数．

⑵ 四位数 $\bar{□ 369}$ 的方框里填一个数字，使它能被 $3$ 整除，最多有种填法；

四位数 $\bar{369 □}$ 的方框里填一个数字，使它能被 $3$ 整除，最多有种填法．

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解：

⑴ ∵四位数末位为 $0$ ，能被 $2$ 、 $5$ 整除

∴只需要保证能被 $3$ 整除即可．

则各个数位上数字之和能被 $3$ 整除，空白中可填 $0$ 、 $3$ 、 $6$ 、 $9$ ．

选 $C$ ．

⑵ $3$ ， $4$

答：⑴ C；⑵ 3种、4种。

题 A1-01-004难度 B · 巩固

用 $10$ 以内的奇数组成一个能同时被 $3$ 、 $5$ 整除的最大三位数、最小四位数，分别是________和________．（每个数的数字不重复）

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$10$ 以内的奇数有 $1$ 、 $3$ 、 $5$ 、 $7$ 、 $9$ ，能同时被 $3$ 、 $5$ 整除的最大三位数 $975$ ．

最小四位数 $1395$ ．

题 A1-01-005难度 C · 综合

在四位数 $\bar{56 A 2}$ 中， $A$ 分别取什么值时，这个四位数能分别被 $9$ ， $8$ ， $4$ ， $11$ 整除？

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$9 | \bar{56 A 2}$ 时，则 $9 | 5 + 6 + A + 2$ ,即 $9 | 13 + A$ ,∴ $A = 5$ ；

$8 | \bar{56 A 2}$ 时，则 $8 | \bar{6 A 2}$ ,又 $\bar{6 A 2} = 600 + \bar{A 2}$ ,故 $8 | \bar{A 2}$ ，∴ $A = 3$ 或 $7$ ；

$4 | \bar{56 A 2}$ 时，则 $4 | \bar{A 2}$ ,∴ $A = 1$ ， $3$ ， $5$ ， $7$ 或 $9$ ；

$11 | \bar{56 A 2}$ 时，则 $11 | (6 + 2) - (5 + A)$ ，即 $11 | 3 - A$ ，∴ $A = 3$ ．

题 A1-01-006难度 B · 巩固

在方框中填入两个相同的数字，使得四位数 $\bar{2 □ □ 4}$ 能同时被 $3$ 和 $4$ 整除，这样的数字有哪些？

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设方框中数字为 $x$ ，则 $3 | 2 x + 6$ ，可知 $3 | 2 x$ ， $x$ 应为 $3$ 的倍数． $4 | \bar{□ 4}$ ，从 $4$ 的整除特征易知， $x = 0, 2, 4, 6, 8$ ，∴ $x = 0$ 或 $6$ ．

题 A1-01-007难度 B · 巩固

在 $2020$ 右边添加一个数码 $2$ ，观察结果是否为 $9$ 的倍数，若不是，继续在右边添上一个数码 $2$ ，以此类推，则所得的第一个 $9$ 的倍数是__________．

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因为 $2 + 0 + 2 + 0 = 4$ ，至少要加 $7$ 个 $2$ 为 $9$ 的倍数．此时为 $20202222222$ ．

题 A1-01-008难度 D · 提升

在由 $1$ 、 $3$ 、 $5$ 、 $7$ 、 $9$ 组成的没有重复数字的数中，是 $9$ 的倍数的有______个．

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如果能被 $9$ 整除，那么这个数的各位数字和必须能被 $9$ 整除，一位数有1个，两位数有0个，三位数有6个，四位数有24个，五位数有0个，这样共有 $31$ 种．

题 A1-01-014

在 $45$ 、 $18$ 、 $60$ 、 $15$ 、 $20$ 五个数中，能同时被 $2$ 、 $5$ 整除的数是 $___________$ ．

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解：能同时被2、5整除的数，末位数字必须是0。在45、18、60、15、20中，末位是0的只有60和20。

答：60、20。

题 A1-01-015

$26$ 以内能被 $3$ 整除的所有数的和为 $___________$ ．

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解：26以内能被3整除的数有3、6、9、12、15、18、21、24，共8个。

它们的和为 $3 ＋ 6 ＋ 9 ＋ 12 ＋ 15 ＋ 18 ＋ 21 ＋ 24 ＝ 108$ 。

答：和为108。

题 A1-01-016

讨论 $x$ 、 $y$ 分别取什么值时，三位数 $\bar{x 3 y}$ 同时能被 $2$ 、 $3$ 、 $5$ 整除？

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解：三位数 $\bar{x 3 y}$ 同时能被2、5整除，个位必须是0，即 $y ＝ 0$ 。

再被3整除，数字和 $x ＋ 3 ＋ 0 ＝ x ＋ 3$ 必须是3的倍数；x在百位不能取0，所以x可以取3、6、9。

答： $x ＝ 3 、 6 、 9 ， y ＝ 0$ ，对应三位数330、630、930。

题 A1-01-021

⑴ 在18，27，30，46，51，65，102这些数中，能被2整除的数是；能被5整除的数是．

⑵ 在75，42，50，88，40中，既是2的倍数又能被5整除的数有．

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解：⑴ 个位是0、2、4、6、8的数能被2整除：18、30、46、102；个位是0或5的数能被5整除：30、65。

⑵ 既是2的倍数又能被5整除的数，末位必须是0：50、40。

答：⑴ 能被2整除：18、30、46、102；能被5整除：30、65。⑵ 50、40。

题 A1-01-022

⑴ 在能够被 $2$ 整除的数中，最大的三位数是，最小的三位数是．

⑵ 在能够被 $3$ 整除的数中，最大的三位数是，最小的三位数是．

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解：⑴ 能被2整除需个位是偶数：最大的三位数是998，最小的是100。

⑵ 能被3整除需数字和是3的倍数： $9 ＋ 9 ＋ 9 ＝ 27$ ，最大的是999； $1 ＋ 0 ＋ 2 ＝ 3$ ，最小的是102。

答：⑴ 998；100。⑵ 999；102。

题 A1-01-024

在 $□$ 处填入适当的数字，使四位数 $\bar{13 □ 6}$ 能被 $3$ 整除． $□$ 处可有种不同的填法？

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解：设四位数13□6中方框内的数字为x。它能被3整除，所以 $1 ＋ 3 ＋ x ＋ 6 ＝ x ＋ 10$ 是3的倍数。

在0～9中满足条件的数字为2、5、8。

答：可填2、5、8，共3种填法。

题 A1-01-034

从 $0 、 2 、 3 、 5$ 四个数字中，任选三个（不能重复）数字，组成分别符合下列条件的数，并填在相应的横线上：

⑴ 能被 $2$ 整除的最小三位数：________

⑵ 能被 $5$ 整除的最大三位数: ________

⑶ 能同时被 $2 、 5$ 整除的最大三位数：________

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解：⑴ 能被2整除的数末位是0或2。要使三位数最小，百位取最小的非零数字2，个位只能取0，十位从剩下的3、5中取较小的3，得到230。

⑵ 能被5整除的数末位是0或5。要使三位数最大，百位取5，个位取0，十位取3，得到530。

⑶ 能同时被2、5整除的数末位必须是0，百位取5、十位取3，最大为530。

答：⑴ 230。⑵ 530。⑶ 530。

题 A1-01-017

从 $0$ 、 $1$ 、 $3$ 、 $5$ 、 $7$ 这五个数字中选取不同的三个数字，可以组成哪几个既是 $3$ 的倍数，又是 $5$ 的倍数的三位数？

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解：既是3的倍数又是5的倍数，即能被15整除：末位必须是0或5，且各位数字和是3的倍数。

末位取0时，另两位从1、3、5、7中选且两数之和是3的倍数，只有1与5、5与7两组，可组成150、510、570、750。

末位取5时，另两位从0、1、3、7中选且三个数字之和是3的倍数，可组成105、705、135、315、375、735。

答：共10个：105、135、150、315、375、510、570、705、735、750。

题 A1-01-018

一个能同时被2、3、5整除的三位数，它的百位上的数比十位上的数大9，这个数是__________．

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解：百位数字比十位数字大9，两个数字只能是9和0，即百位9、十位0。能同时被2、5整除，个位必须是0，得到900。

检验： $9 ＋ 0 ＋ 0 ＝ 9$ ，是3的倍数，满足条件。

答：这个数是900。

题 A1-01-019

有0、1、4、7、9五个数字，从中选出不同的四个数字组成四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，那么第五个数的末位数字是________．

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解：五个数字的和为21。选四个数字后仍能被3整除，被舍去的数字必须是3的倍数，因此只能舍去0或9。

按从小到大排列，前五个四位数依次为1047、1074、1407、1470、1479。

答：第五个数的末位数字是9。

题 A1-01-023

在方框中填入两个相同的数字，使得四位数 $\bar{4 □ □ 2}$ 能同时被 $3$ 和 $4$ 整除，这样的数字有哪些？

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解：设方框中的数字为x。被4整除看末两位 $\bar{x 2}$ ，其中能被4整除的只有12、32、52、72、92，所以x是奇数。

被3整除看数字和 $4 ＋ x ＋ x ＋ 2 ＝ 2 x ＋ 6$ ，需要 $2 x$ 被3整除，即x是3的倍数。

同时满足两个条件的数字为3和9。

答：这样的数字是3和9。

题 A1-01-027

⑴ 能同时被2、5、3整除的最大三位数是．

⑵ 能同时被2、3、5整除的最小三位数是．

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解：能同时被2、3、5整除的数就是 $2 \times 3 \times 5 ＝ 30$ 的倍数。

三位数中30的倍数最大为990，最小为120。

答：⑴ 990。⑵ 120。

题 A1-01-028

用0、3、6这3个数字（不重复）组成一个三位数，它同时能被2、5整除，这个三位数最大的是，最小的是．

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解：同时能被2、5整除的三位数末位必须是0，百位与十位由3、6组成，只有360和630。

答：最大是630，最小是360。

题 A1-01-029

求满足下面各题条件的字母的值：（相同字母代表相同数字）

⑴ $3 | \bar{a 12 a}$ ⑵ $5 | \bar{b 12 b}$ ⑶ $9 | \bar{c 1 c 0}$

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解：⑴ $3 | \bar{a 12 a}$ 需数字和 $a ＋ 1 ＋ 2 ＋ a ＝ 2 a ＋ 3$ 被3整除，即 $2 a$ 被3整除，a是3的倍数；a在首位不能为0，所以a取3、6、9。

⑵ $5 | \bar{b 12 b}$ 需末位是0或5；b在首位不能为0，所以b取5。

⑶ $9 | \bar{c 1 c 0}$ 需 $c ＋ 1 ＋ c ＋ 0 ＝ 2 c ＋ 1$ 被9整除， $2 c ＋ 1$ 只能等于9，所以c取4。

答：⑴ a为3、6、9。⑵ b为5。⑶ c为4。

题 A1-01-031

有一个四位数既能被2整除又能被5整除，它的前两位是能被3整除中最小的两位数，四位数字之和是奇数，则这个数可能是什么？

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解：既能被2整除又能被5整除，末位必须是0；能被3整除的最小两位数是12，所以前两位是12，这个四位数形如12□0。

四位数字之和 $1 ＋ 2 ＋ □ ＋ 0$ 是奇数，所以方框中的数字为偶数，可以填0、2、4、6、8。

答：这个数可能是1200、1220、1240、1260、1280。