复合数整除判定 · 知识点讲解

本知识点

互素复合数的整除特征整除条件的合取

解题路径

把除数拆成互素因数的乘积
分别写出每个因数的整除条件
联立条件并验证

特殊合数的整除数特征

对于一些未学过的合数，如 $6, 36, 45, 72$ ，可以写成 $6 = 2 \times 3$ ， $36 = 4 \times 9$ ， $45 = 5 \times 9$ ， $72 = 8 \times 9$ ，拆分成两个互素且学过的两数乘积．

例

已知 $\bar{7814 a}$ 能被 $12$ 整除，求 $a$ 的值．

解： $12 = 3 \times 4$ ，且 $3$ 与 $4$ 互素，

∵ $3 | \bar{7814 a}$ ,∴ $3 | (7 + 8 + 1 + 4 + a)$ ，∴ $a$ 的可能值为1，4，7，

又 $4 | \bar{7814 a}$ ,∴ $4 | 4 a$ ，∴ $a$ 的可能值为0，4，8

∴ $a = 4$

思考

为什么要拆成互素的两个数呢？

配套例题

看懂这几道题，就掌握了这个点

先做再看解析；做错的题建议加入练习单，到「诊断练习」里集中攻克。

题 A1-01-009难度 B · 巩固

若四位数 $\bar{9 a 8 a}$ 能被 $15$ 整除，则 $a$ 代表的数字是．

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因为 $15$ 是 $3$ 和 $5$ 的倍数，所以 $\bar{9 a 8 a}$ 既能被 $3$ 整除，也能被 $5$ 整除．

能被 $5$ 整除的数的个位数字是 $0$ 或 $5$ ，能被 $3$ 整除的数的各位数字的和是 $3$ 的倍数．

当 $a = 0$ 时， $9 + a + 8 + a = 17$ ，不是 $3$ 的倍数；

当 $a = 5$ 时， $9 + a + 8 + a = 27$ ，是 $3$ 的倍数．

所以， $a$ 代表的数字是 $5$ ．

题 A1-01-010难度 C · 综合

一张旧发票上写有 $72$ 瓶饮料，总价为 $x 67.9 y$ 元，由于两头的数字模糊不清，分别用 $x, y$ 表示，每瓶饮料的单价也看不清了，那么 $x, y$ 的值是多少？

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解：总价 $x 67.9 y$ 元化成以分为单位的整数为五位数 $x 679 y$ 。 $72 ＝ 8 \times 9$ ，且8与9互素，所以 $x 679 y$ 必须同时被8和9整除。

由末三位 $79 y$ 被8整除，得 $y ＝ 2$ ；再由各位数字和 $x ＋ 6 ＋ 7 ＋ 9 ＋ 2 ＝ x ＋ 24$ 被9整除，得 $x ＝ 3$ 。

回代： $367.92 \div 72 ＝ 5.11$ （元），整除关系成立。

答： $x ＝ 3 ， y ＝ 2$ 。

题 A1-01-011难度 D · 提升

在 $724$ 的左边添加一个数码 $a$ ，右边添加一个数码 $b$ ，组成一个五位数．如果这个五位数是 $12$ 的倍数，求 $a \times b$ 的最大值．

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解：组成的五位数为 $\bar{a 724 b}$ 。 $12 ＝ 3 \times 4$ ，且3与4互素，所以这个五位数必须同时被3和4整除。

被4整除看末两位 $4 b$ ，所以b只能取0、4、8。

被3整除看数字和 $a ＋ 7 ＋ 2 ＋ 4 ＋ b ＝ a ＋ b ＋ 13$ ：当 $b ＝ 0$ 时a最大取8；当 $b ＝ 4$ 时a最大取7；当 $b ＝ 8$ 时a最大取9。

比较三种情况， $a \times b$ 的最大值为 $9 \times 8 ＝ 72$ 。

答： $a \times b$ 的最大值是72。

题 A1-01-025

已知一个五位数 $\bar{A 691 B}$ 能被 $55$ 整除，那么符合题意的五位数是．

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解： $55 ＝ 5 \times 11$ ，且5与11互素，所以五位数必须同时被5和11整除，末位B只能是0或5。

若 $B ＝ 0$ ，由11整除特征得 $(A ＋ 9 ＋ 0) － (6 ＋ 1) ＝ A ＋ 2$ 是11的倍数，所以 $A ＝ 9$ ，得到96910。

若 $B ＝ 5$ ，由11整除特征得 $(A ＋ 9 ＋ 5) － (6 ＋ 1) ＝ A ＋ 7$ 是11的倍数，所以 $A ＝ 4$ ，得到46915。

两数回代均能被55整除。

答：96910或46915。

题 A1-01-035

一个六位数 $\bar{A 2008 B}$ 既能被 $8$ 整除又能被 $9$ 整除，那么 $A$ 的值为多少？

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解：六位数A2008B被8整除，只需末三位 $08 B$ 被8整除，因此 $B ＝ 0$ 或 $B ＝ 8$ 。

它还要被9整除，所以 $A ＋ 2 ＋ 8 ＋ B ＝ A ＋ B ＋ 10$ 是9的倍数。 $B ＝ 0$ 时 $A ＝ 8$ ； $B ＝ 8$ 时 $A ＝ 9$ 。

答：A可以是8或9；分别对应820080、920088。

题 A1-01-036

一个六位数 $\bar{12 A 34 B}$ 是 $88$ 的倍数，那么这个数是多少？

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解： $88 ＝ 8 \times 11$ ，且8与11互素。由末三位 $34 B$ 被8整除，得 $B ＝ 4$ 。

再用11整除特征： $(2 ＋ 3 ＋ 4) － (1 ＋ A ＋ 4) ＝ 4 － A$ 必须是11的倍数。A是数字，所以 $A ＝ 4$ 。

回代 $124344 \div 88 ＝ 1413$ 。

答：这个数是124344。