整除、因数与倍数 · 知识点讲解

本知识点

整除的意义因数和倍数的意义找一个数的因数找一个数的倍数

解题路径

确认被除数、除数和商都是整数
检查余数是否为0
按“除数整除被除数”规范表述

数的整除

整除的定义

整数 $a$ 除以整数 $b$ $(b \neq 0)$ ，如果除得的商是整数且余数为零，则称 $a$ 被 $b$ 整除或 $b$ 整除 $a$ （记作 $b | a$ ）．

其中 $a$ 叫做 $b$ 的倍数， $b$ 叫做 $a$ 的因数（约数）；如果 $a$ 被 $b$ 除所得的余数不为 $0$ ，则称 $a$ 不能被 $b$ 整除，或 $b$ 不整除 $a$ （记作 $b | a$ ）．

整除、除尽与除不尽的区别

除尽：被除数、除数不一定是整数，商是整数或者有限小数，余数为 $0$ ．

整除：被除数、除数、商都是整数，且余数为 $0$ ．（为除尽的一种特殊情况）

除不尽：有余数．

范围约定：整除关系可以在整数范围内讨论；本讲后续枚举“因数、倍数”时，统一指正整数的正因数和正倍数，不把0和负数列入枚举。

配套例题

看懂这几道题，就掌握了这个点

先做再看解析；做错的题建议加入练习单，到「诊断练习」里集中攻克。

题 A1-01-001难度 A · 基础

⑴ 由 $3 \times 12 = 36$ ，我们可以得出：能被整除，或者能整除．

⑵ 一个正整数的正因数的个数是（填“有限的”或“无限的”），其中最小的正因数是，最大的正因数是；一个正整数的正倍数的个数是（填“有限的”或“无限的”），其中最小的正倍数是．

⑶ 除式 $6 \div 1.5 = 4$ 表示（）

A． $1.5$ 能整除 $6$ ； B． $6$ 能被 $1.5$ 整除；

C． $6$ 能整除 $1.5$ ； D． $6$ 能被 $1.5$ 除尽．

⑷ 下列说法中错误的是（）

A．若数 $a$ 能被数 $b$ 整除，则数 $b$ 一定能除尽数 $a$ ；

B．若数 $a$ 能被数 $b$ 除尽，则数 $b$ 一定能整除数 $a$ ；

C．一个大于 $1$ 的整数，至少能被两个数整除；

D．只能被两个不同的数整除且在 $10$ 以内的数中，最大的数是 $7$ ．

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解：⑴ 由 $3 \times 12 ＝ 36$ ，可知36能被3和12整除，3和12能整除36。

⑵ 本讲只讨论正整数的正因数和正倍数。一个正整数的正因数个数有限，最小正因数是1，最大正因数是它本身；正倍数个数无限，最小正倍数是它本身。

⑶ $6 \div 1.5 ＝ 4$ 表示6能被1.5除尽；因为1.5不是整数，不能使用“整除”，选D。

⑷ “除尽”不要求被除数、除数、商都是整数，例如 $1 \div 2 ＝ 0.5$ 可以除尽，但2不能整除1，因此错误项是B。

答：⑴ 36；3和12；3和12；36。⑵ 有限的；1；本身；无限的；本身。⑶ D。⑷ B。

题 A1-01-020

在算式① $9.6 \div 3 = 3.2$ ，② $2 \div 5 = 0.4$ ，③ $12 \div 3 = 4$ ，④ $8 \div 4 = 2$ ，⑤ $3 \div 2 = 1.5$ ，⑥ $5 \div 2.5 = 2$ 中，是除尽，是整除．（填写序号即可）

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解：除尽要求商是整数或有限小数且余数为0。六个算式的商3.2、0.4、4、2、1.5、2都满足，所以①②③④⑤⑥都是除尽。

整除还要求被除数、除数、商都是整数，只有 $12 \div 3 ＝ 4$ 和 $8 \div 4 ＝ 2$ 满足，即③④。

答：①②③④⑤⑥是除尽，③④是整除。

题 A1-01-030

下列算式能整除的是（）

A． $3 \div 2 = 1.5$ ； B． $10 \div 2.5 = 4$ ； C． $4.9 \div 0.7 = 7$ ； D． $8 \div 2 = 4$ ．

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解：整除要求被除数、除数、商都是整数且余数为0。

A中商1.5不是整数；B中除数2.5不是整数；C中被除数4.9和除数0.7都不是整数；只有 $8 \div 2 ＝ 4$ 三者都是整数。

答：选D。

题 A1-01-033

已知A能整除87，那么A是（）

A．奇数； B．偶数； C．奇数或偶数； D．不能确定．

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解：A能整除87，即A是87的正因数。由 $87 ＝ 3 \times 29$ ，87的正因数只有1、3、29、87，全是奇数。

答：选A。