分数、小数与百分数互化

本知识点

分数的意义及读写分数的基本性质最简分数分数与小数的互化百分数与分数、小数的互化

解题路径

先判断目标表示形式
按分数基本性质或位值关系互化
约分并检查范围

分数与百分数

分数

分数的概念：两个正整数 $p$ 、 $q$ 相除，可以用分数（ $f r a c t i o n$ ） $\frac{p}{q}$ 表示．即 $p \div q = \frac{p}{q}$ ，读作 $q$ 分之 $p$ ，其中 $p$ 为分子， $q$ 为分母．（分母 $q \neq 0$ ）
分数的分类

分数可分为：真分数、假分数和带分数

真分数：分子比分母小的分数；
假分数：分子大于或者等于分母的分数；
带分数：一个正整数与一个真分数相加所成的数．

分数的基本性质

分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相等．即 $\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} = \frac{a \div n}{b \div n} (b \neq 0, k \neq 0, n \neq 0)$

约分和通分

把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程，称为约分（ $c a n c e l l i n g$ ）．
将异分母的分数分别化成与原分数大小相等的同分母分数，这个过程叫做通分．
分子和分母互素的分数，叫做最简分数．如 $\frac{5}{6}$ ，其中 $5$ 和 $6$ 互素， $\frac{5}{6}$ 是最简分数．分数的计算结果均需化为最简分数．

约分

$\frac{12}{18} = \frac{2 \times 2 \times 3}{2 \times 3 \times 3} = \frac{2}{3}$ ．

通分

\frac{5}{6}

与

\frac{7}{9}

：

\frac{5}{6} = \frac{5 \times 3}{6 \times 3} = \frac{15}{18}

，

\frac{7}{9} = \frac{7 \times 2}{9 \times 2} = \frac{14}{18}

．

百分数

把两个数量的比值写成 $\frac{n}{100}$ 的形式，称为百分数，也叫做百分比或百分率，记作 $n %$ ，读作百分之 $n$ ，符号“ $%$ ”叫做百分号．

例

0.45 = \frac{45}{100} = 45 %

注意

百分数和分数的区别

⑴ 百分数只能用来表示一个量与另一个量的倍数关系；

⑵ 分数除以上作用外，还可表示具体的数量．

配套例题

看懂这几道题，就掌握了这个点

先做再看解析；做错的题建议加入练习单，到「诊断练习」里集中攻克。

题 A1-02-001难度 A · 基础

⑴ 将下列分数化为小数：

① $\frac{23}{100}$ ； ② $\frac{7}{25}$ ； ③ $\frac{1}{8}$ ；④ $\frac{1}{7}$ ．

⑵ 将下列小数化为分数：

① $0.6$ ； ② $0.24$ ； ③ $0.375$ ； ④ $2.56$ ．

⑶ 将下列百分数化为分数：

① $25 %$ ； ② $87.5 %$ ； ③ $135 %$ ；

⑷ 假分数带分数互化：

① $\frac{9}{5} =______$ ；② $\frac{83}{24} =______$ ；③ $3 \frac{4}{7} =______$ ；④ $11 \frac{1}{11} =______$ ；

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解：

⑴ ① $0.23$ ；② $0.28$ ；③ $0.125$ ；④ $0 . \dot{1} 4285 \dot{7}$

⑵ ① $\frac{3}{5}$ ；② $\frac{6}{25}$ ；③ $\frac{3}{8}$ ；④ $2 \frac{14}{25}$

⑶ ① $\frac{1}{4}$ ；② $\frac{7}{8}$ ；③ $1 \frac{7}{20}$ ．

⑷ ① $1 \frac{4}{5}$ ；② $3 \frac{11}{24}$ ；③ $\frac{25}{7}$ ；④ $\frac{122}{11}$ ．

答：⑴ 0.23、0.28、0.125、0.142857循环；⑵ 3/5、6/25、3/8、2又14/25；⑶ 1/4、7/8、1又7/20；⑷ 1又4/5、3又11/24、25/7、122/11。

题 A1-02-019

基础计算：

⑴ 分数、小数、百分数互化

$0.24 = \frac{()}{()} = () %$ ； $________= \frac{()}{()} = 125 %$

⑵ 带分数假分数互化

$5 \frac{2}{9} =________$ ； $3 \frac{11}{13} =________$ ；

$\frac{24}{13} =________$ ； $\frac{123}{11} =________$ ；

⑶ 循环小数化分数

$0 . \overset{•}{6} =________$ ； $1 . \overset{•}{8} =________$ ； $0 . \overset{•}{2} \overset{•}{4} =________$ ；

$0.1 \overset{•}{2} =________$ ； $0.12 \overset{•}{3} =________$ ；

⑷ 下列分数中能够化为有限小数的是（）

A． $\frac{7}{18}$ ； B． $\frac{42}{12}$ ； C． $\frac{35}{66}$ ； D． $\frac{58}{99}$ ．

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解：⑴ $0.24 = \frac{24}{100} = \frac{6}{25} = 24 %$ ； $125 % = 1.25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$ 。

⑵ $5 \frac{2}{9} = \frac{5×9+2}{9} = \frac{47}{9}$ ； $3 \frac{11}{13} = \frac{3×13+11}{13} = \frac{50}{13}$ ； $\frac{24}{13} = 1 \frac{11}{13}$ ； $\frac{123}{11} = 11 \frac{2}{11}$ 。

⑶ $0 . \overset{•}{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ ； $1 . \overset{•}{8} = 1 + \frac{8}{9} = 1 \frac{8}{9}$ ； $0 . \overset{•}{2} \overset{•}{4} = \frac{24}{99} = \frac{8}{33}$ ； $0.1 \overset{•}{2} = \frac{12−1}{90} = \frac{11}{90}$ ； $0.12 \overset{•}{3} = \frac{123−12}{900} = \frac{111}{900} = \frac{37}{300}$ 。

⑷ 能化为有限小数的最简分数，分母只含素因数 2 或 5。A． $\frac{7}{18}$ 分母含素因数 3，不能；B． $\frac{42}{12} = \frac{7}{2}$ ，分母是 2，能；C． $\frac{35}{66}$ 分母含素因数 3 与 11，不能；D． $\frac{58}{99}$ 分母含素因数 3 与 11，不能。

答：⑴ $\frac{6}{25}$ 、24%， $\frac{5}{4}$ ；⑵ $\frac{47}{9}$ 、 $\frac{50}{13}$ 、 $1 \frac{11}{13}$ 、 $11 \frac{2}{11}$ ；⑶ $\frac{2}{3}$ 、 $1 \frac{8}{9}$ 、 $\frac{8}{33}$ 、 $\frac{11}{90}$ 、 $\frac{37}{300}$ ；⑷ B。

题 A1-02-024

⑴ 将下列分数化为小数：

① $\frac{29}{100}$ ； ② $\frac{24}{25}$ ； ③ $\frac{3}{8}$ ；

⑵ 将下列小数、百分数化为分数：

① $1.25$ ； ② $0.675$ ； ③ $12.5 %$ ；④ $275 %$ ．

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解：⑴ $\frac{29}{100} = 0.29$ ； $\frac{24}{25} = \frac{96}{100} = 0.96$ ； $\frac{3}{8} = 0.375$ 。

⑵ $1.25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4} = 1 \frac{1}{4}$ ； $0.675 = \frac{675}{1000} = \frac{27}{40}$ ； $12.5 % = \frac{12.5}{100} = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$ ； $275 % = \frac{275}{100} = \frac{11}{4} = 2 \frac{3}{4}$ 。

答：⑴ 0.29、0.96、0.375；⑵ $1 \frac{1}{4}$ 、 $\frac{27}{40}$ 、 $\frac{1}{8}$ 、 $2 \frac{3}{4}$ 。