第2讲分数与百分数综合

知识模块 01 · 基础知识

分数、小数与百分数互化

统一分数、小数、百分数和带分数的表示，并保证结果化为最简形式。

例题 1随堂练习 1作业 1

本模块知识点

分数的意义及读写分数的基本性质最简分数分数与小数的互化百分数与分数、小数的互化

解题路径

先判断目标表示形式
按分数基本性质或位值关系互化
约分并检查范围

01

知识讲解定义、性质与方法

分数与百分数

分数

分数的概念：两个正整数 $p$ 、 $q$ 相除，可以用分数（ $f r a c t i o n$ ） $\frac{p}{q}$ 表示．即 $p \div q = \frac{p}{q}$ ，读作 $q$ 分之 $p$ ，其中 $p$ 为分子， $q$ 为分母．（分母 $q \neq 0$ ）
分数的分类

分数可分为：真分数、假分数和带分数

真分数：分子比分母小的分数；
假分数：分子大于或者等于分母的分数；
带分数：一个正整数与一个真分数相加所成的数．

分数的基本性质

分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相等．即 $\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} = \frac{a \div n}{b \div n} (b \neq 0, k \neq 0, n \neq 0)$

约分和通分

把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程，称为约分（ $c a n c e l l i n g$ ）．
将异分母的分数分别化成与原分数大小相等的同分母分数，这个过程叫做通分．
分子和分母互素的分数，叫做最简分数．如 $\frac{5}{6}$ ，其中 $5$ 和 $6$ 互素， $\frac{5}{6}$ 是最简分数．分数的计算结果均需化为最简分数．

约分

$\frac{12}{18} = \frac{2 \times 2 \times 3}{2 \times 3 \times 3} = \frac{2}{3}$ ．

通分

\frac{5}{6}

与

\frac{7}{9}

：

\frac{5}{6} = \frac{5 \times 3}{6 \times 3} = \frac{15}{18}

，

\frac{7}{9} = \frac{7 \times 2}{9 \times 2} = \frac{14}{18}

．

百分数

把两个数量的比值写成 $\frac{n}{100}$ 的形式，称为百分数，也叫做百分比或百分率，记作 $n %$ ，读作百分之 $n$ ，符号“ $%$ ”叫做百分号．

例

0.45 = \frac{45}{100} = 45 %

注意

百分数和分数的区别

⑴ 百分数只能用来表示一个量与另一个量的倍数关系；

⑵ 分数除以上作用外，还可表示具体的数量．

02

例题教师示范

例题 10教师示范A1-02-001难度 A · 基础

⑴ 将下列分数化为小数：

① $\frac{23}{100}$ ； ② $\frac{7}{25}$ ； ③ $\frac{1}{8}$ ；④ $\frac{1}{7}$ ．

⑵ 将下列小数化为分数：

① $0.6$ ； ② $0.24$ ； ③ $0.375$ ； ④ $2.56$ ．

⑶ 将下列百分数化为分数：

① $25 %$ ； ② $87.5 %$ ； ③ $135 %$ ；

⑷ 假分数带分数互化：

① $\frac{9}{5} =______$ ；② $\frac{83}{24} =______$ ；③ $3 \frac{4}{7} =______$ ；④ $11 \frac{1}{11} =______$ ；

查看答案解析

解：

⑴ ① $0.23$ ；② $0.28$ ；③ $0.125$ ；④ $0 . \dot{1} 4285 \dot{7}$

⑵ ① $\frac{3}{5}$ ；② $\frac{6}{25}$ ；③ $\frac{3}{8}$ ；④ $2 \frac{14}{25}$

⑶ ① $\frac{1}{4}$ ；② $\frac{7}{8}$ ；③ $1 \frac{7}{20}$ ．

⑷ ① $1 \frac{4}{5}$ ；② $3 \frac{11}{24}$ ；③ $\frac{25}{7}$ ；④ $\frac{122}{11}$ ．

答：⑴ 0.23、0.28、0.125、0.142857循环；⑵ 3/5、6/25、3/8、2又14/25；⑶ 1/4、7/8、1又7/20；⑷ 1又4/5、3又11/24、25/7、122/11。

03

练习随堂完成

练习 8随堂完成A1-02-019

基础计算：

⑴ 分数、小数、百分数互化

$0.24 = \frac{()}{()} = () %$ ； $________= \frac{()}{()} = 125 %$

⑵ 带分数假分数互化

$5 \frac{2}{9} =________$ ； $3 \frac{11}{13} =________$ ；

$\frac{24}{13} =________$ ； $\frac{123}{11} =________$ ；

⑶ 循环小数化分数

$0 . \overset{•}{6} =________$ ； $1 . \overset{•}{8} =________$ ； $0 . \overset{•}{2} \overset{•}{4} =________$ ；

$0.1 \overset{•}{2} =________$ ； $0.12 \overset{•}{3} =________$ ；

⑷ 下列分数中能够化为有限小数的是（）

A． $\frac{7}{18}$ ； B． $\frac{42}{12}$ ； C． $\frac{35}{66}$ ； D． $\frac{58}{99}$ ．

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解：⑴ $0.24 = \frac{24}{100} = \frac{6}{25} = 24 %$ ； $125 % = 1.25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$ 。

⑵ $5 \frac{2}{9} = \frac{5×9+2}{9} = \frac{47}{9}$ ； $3 \frac{11}{13} = \frac{3×13+11}{13} = \frac{50}{13}$ ； $\frac{24}{13} = 1 \frac{11}{13}$ ； $\frac{123}{11} = 11 \frac{2}{11}$ 。

⑶ $0 . \overset{•}{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ ； $1 . \overset{•}{8} = 1 + \frac{8}{9} = 1 \frac{8}{9}$ ； $0 . \overset{•}{2} \overset{•}{4} = \frac{24}{99} = \frac{8}{33}$ ； $0.1 \overset{•}{2} = \frac{12−1}{90} = \frac{11}{90}$ ； $0.12 \overset{•}{3} = \frac{123−12}{900} = \frac{111}{900} = \frac{37}{300}$ 。

⑷ 能化为有限小数的最简分数，分母只含素因数 2 或 5。A． $\frac{7}{18}$ 分母含素因数 3，不能；B． $\frac{42}{12} = \frac{7}{2}$ ，分母是 2，能；C． $\frac{35}{66}$ 分母含素因数 3 与 11，不能；D． $\frac{58}{99}$ 分母含素因数 3 与 11，不能。

答：⑴ $\frac{6}{25}$ 、24%， $\frac{5}{4}$ ；⑵ $\frac{47}{9}$ 、 $\frac{50}{13}$ 、 $1 \frac{11}{13}$ 、 $11 \frac{2}{11}$ ；⑶ $\frac{2}{3}$ 、 $1 \frac{8}{9}$ 、 $\frac{8}{33}$ 、 $\frac{11}{90}$ 、 $\frac{37}{300}$ ；⑷ B。

04

作业独立完成

作业 15独立完成A1-02-024

⑴ 将下列分数化为小数：

① $\frac{29}{100}$ ； ② $\frac{24}{25}$ ； ③ $\frac{3}{8}$ ；

⑵ 将下列小数、百分数化为分数：

① $1.25$ ； ② $0.675$ ； ③ $12.5 %$ ；④ $275 %$ ．

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解：⑴ $\frac{29}{100} = 0.29$ ； $\frac{24}{25} = \frac{96}{100} = 0.96$ ； $\frac{3}{8} = 0.375$ 。

⑵ $1.25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4} = 1 \frac{1}{4}$ ； $0.675 = \frac{675}{1000} = \frac{27}{40}$ ； $12.5 % = \frac{12.5}{100} = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$ ； $275 % = \frac{275}{100} = \frac{11}{4} = 2 \frac{3}{4}$ 。

答：⑴ 0.29、0.96、0.375；⑵ $1 \frac{1}{4}$ 、 $\frac{27}{40}$ 、 $\frac{1}{8}$ 、 $2 \frac{3}{4}$ 。

知识模块 02 · 核心技能

分数加减法

同分母直接运算，异分母先通分，带分数根据结构决定整体运算或化假分数。

例题 1随堂练习 0作业 0

本模块知识点

同分母分数加减异分母分数加减通分带分数加减

解题路径

先观察分母
确定通分或整分各算
计算后约分

01

知识讲解定义、性质与方法

分数的混合运算

分数的加减

同分母分数相加减：分母不变，分子做加减．即 $\frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a - c}{b}$ ．

例

\frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

．

异分母分数相加减：先通分，然后按照同分母分数加减法的法则进行计算．

例

\frac{2}{3} - \frac{5}{12} = \frac{8}{12} - \frac{5}{12} = \frac{8 - 5}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}

．

带分数的加减运算

可将它们的整数部分和真分数部分分别相加减，再将所得的结果合并起来；

或者将带分数化为假分数再进行加减运算．

例

$3 \frac{2}{3} + 1 \frac{1}{4} = 3 + \frac{2}{3} + 1 + \frac{1}{4} = 4 + \frac{8 + 3}{12} = 4 + \frac{11}{12} = 4 \frac{11}{12}$

或： $3 \frac{2}{3} + 1 \frac{1}{4} = \frac{11}{3} + \frac{5}{4} = \frac{44 + 15}{12} = \frac{59}{12} = 4 \frac{11}{12}$

加减运算技巧

分小统一，整分各算，适当凑整，巧用运算律

02

例题教师示范

例题 9教师示范A1-02-002难度 B · 巩固

（加减）

⑴ $\frac{7}{15} + \frac{2}{15}$ ； ⑵ $1 \frac{3}{7} + 2 \frac{2}{7} - 3 \frac{1}{7}$ ；

⑶ $1 \frac{1}{6} + 2 \frac{1}{3} + 3 \frac{1}{2}$ ； ⑷ $3 \frac{1}{4} + 2 \frac{1}{3} - 4 \frac{5}{6}$ ；

⑸ $3 \frac{2}{5} - \frac{7}{4} + \frac{17}{10}$ ； ⑹ $\frac{13}{3} - 2 \frac{5}{6} + 5 \frac{7}{12}$ ．

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解：⑴ $\frac{7}{15} + \frac{2}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ 。⑵ $1 \frac{3}{7} + 2 \frac{2}{7} - 3 \frac{1}{7} = (1 + 2 - 3) + \frac{3+2−1}{7} = \frac{4}{7}$ 。

⑶ $1 \frac{1}{6} + 2 \frac{1}{3} + 3 \frac{1}{2} = (1 + 2 + 3) + \frac{1+2+3}{6} = 6 + 1 = 7$ 。⑷ $3 \frac{1}{4} + 2 \frac{1}{3} - 4 \frac{5}{6} = \frac{39+28−58}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ 。

⑸ $3 \frac{2}{5} - \frac{7}{4} + \frac{17}{10} = \frac{68}{20} - \frac{35}{20} + \frac{34}{20} = \frac{67}{20} = 3 \frac{7}{20}$ 。⑹ $\frac{13}{3} - 2 \frac{5}{6} + 5 \frac{7}{12} = \frac{52}{12} - \frac{34}{12} + \frac{67}{12} = \frac{85}{12} = 7 \frac{1}{12}$ 。

答： $\frac{3}{5}$ ； $\frac{4}{7}$ ；7； $\frac{3}{4}$ ； $3 \frac{7}{20}$ ； $7 \frac{1}{12}$ 。

知识模块 03 · 核心技能

分数乘除法

乘法先约分再相乘，除法转化为乘倒数，带分数先化假分数。

例题 1随堂练习 0作业 0

本模块知识点

分数与整数相乘分数与分数相乘分数除法倒数

解题路径

变除为乘
交叉约分
分子分母分别相乘

01

知识讲解定义、性质与方法

分数的乘除

两个分数相乘，将分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母．

即 $\frac{p}{q} \times \frac{m}{n} = \frac{p \times m}{q \times n}$ ，

例

\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}

．

两个分数相除，如甲数除以乙数（ $0$ 除外），等于甲数乘以乙数的倒数，

即： $\frac{m}{n} \div \frac{p}{q} = \frac{m}{n} \times \frac{q}{p} = \frac{m \times q}{n \times p} (n \neq 0, p \neq 0, q \neq 0)$ ，

例

\frac{2}{5} \div \frac{8}{9} = \frac{2}{5} \times \frac{9}{8} = \frac{18}{40} = \frac{9}{20}

．

乘除运算技巧

化小为分，变除为乘，改带为假

02

例题教师示范

例题 8教师示范A1-02-003难度 B · 巩固

（乘除）

⑴ $1 \frac{7}{8} \div 1 \frac{1}{14}$ ； ⑵ $2 \frac{1}{4} \times \frac{8}{5} \times 4 \frac{1}{6}$ ；

⑶ $3 \frac{1}{2} \div (\frac{2}{3} \div 1 \frac{7}{9})$ ； ⑷ $2 \frac{1}{5} \div (\frac{7}{3} \times 2 \frac{5}{14})$ ．

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解：先把带分数化成假分数，除法改为乘倒数。

⑴ $1 \frac{7}{8} \div 1 \frac{1}{14} = \frac{15}{8} \times \frac{14}{15} = \frac{7}{4} = 1 \frac{3}{4}$ 。⑵ $2 \frac{1}{4} \times \frac{8}{5} \times 4 \frac{1}{6} = \frac{9}{4} \times \frac{8}{5} \times \frac{25}{6} = 15$ 。

⑶ $3 \frac{1}{2} \div (\frac{2}{3} \div 1 \frac{7}{9}) = \frac{7}{2} \div (\frac{2}{3} \times \frac{9}{16}) = \frac{7}{2} \div \frac{3}{8} = \frac{7}{2} \times \frac{8}{3} = \frac{28}{3} = 9 \frac{1}{3}$ 。⑷ $2 \frac{1}{5} \div (\frac{7}{3} \times 2 \frac{5}{14}) = \frac{11}{5} \div (\frac{7}{3} \times \frac{33}{14}) = \frac{11}{5} \div \frac{11}{2} = \frac{11}{5} \times \frac{2}{11} = \frac{2}{5}$ 。

答： $1 \frac{3}{4}$ ；15； $9 \frac{1}{3}$ ； $\frac{2}{5}$ 。

知识模块 04 · 计算模型

分数四则混合运算

处理括号、乘除和加减的运算顺序，并统一小数、百分数和分数。

例题 1随堂练习 3作业 5

本模块知识点

分数的四则混合运算分数与小数的四则混合运算运算顺序

解题路径

统一数的形式
从小括号到大括号
先乘除后加减

01

例题教师示范

例题 7教师示范A1-02-004难度 C · 综合

（混合运算）

⑴ $\frac{1}{3} \times \frac{3}{4} \div (\frac{3}{4} - \frac{5}{12})$ ； ⑵ $3.5 \times 0.8 + 5.5 \times 80 % + \frac{4}{5} \times 100 %$ ；

⑶ $4 \frac{1}{3} \div (\frac{1}{3} + \frac{2}{7}) \div \frac{7}{11}$ ； ⑷ $\frac{4}{5} \div [(\frac{1}{3} + \frac{2}{5}) \times \frac{4}{11}]$ ．

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解：⑴ $\frac{1}{3} \times \frac{3}{4} \div (\frac{3}{4} - \frac{5}{12}) = \frac{1}{4} \div \frac{1}{3} = \frac{1}{4} \times 3 = \frac{3}{4}$ 。

⑵ $3.5 \times 0.8 + 5.5 \times 80 % + \frac{4}{5} \times 100 % = 2.8 + 4.4 + 0.8 = 8$ 。

⑶ $4 \frac{1}{3} \div (\frac{1}{3} + \frac{2}{7}) \div \frac{7}{11} = \frac{13}{3} \div \frac{13}{21} \times \frac{11}{7} = 11$ 。

⑷ $\frac{4}{5} \div [(\frac{1}{3} + \frac{2}{5}) \times \frac{4}{11}] = \frac{4}{5} \div (\frac{11}{15} \times \frac{4}{11}) = \frac{4}{5} \div \frac{4}{15} = 3$ 。

答： $\frac{3}{4}$ ；8；11；3。

02

练习随堂完成

练习 7随堂完成A1-02-013

计算

⑴ $3 \frac{7}{12} - \frac{9}{4}$ ； ⑵ $8 \frac{2}{5} - 3 \frac{3}{8} + 2 \frac{3}{5}$ ； ⑶ $\frac{5}{6} \times 18 \div \frac{3}{8}$ ．

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解：⑴ $3 \frac{7}{12} - \frac{9}{4} = 3 \frac{7}{12} - 2 \frac{3}{12} = 1 \frac{4}{12} = 1 \frac{1}{3}$ 。

⑵ $8 \frac{2}{5} - 3 \frac{3}{8} + 2 \frac{3}{5} = (8 \frac{2}{5} + 2 \frac{3}{5}) - 3 \frac{3}{8} = 11 - 3 \frac{3}{8} = 7 \frac{5}{8}$ 。

⑶ $\frac{5}{6} \times 18 \div \frac{3}{8} = \frac{5}{6} \times 18 \times \frac{8}{3} = 40$ 。

答： $1 \frac{1}{3}$ ； $7 \frac{5}{8}$ ；40。

练习 6随堂完成A1-02-014

计算

⑴ $2 \frac{1}{3} \div \frac{3}{4} \times \frac{9}{14} + 6 \times (\frac{2}{3} - \frac{1}{2})$ ； ⑵ $[(1 \frac{2}{3} + 2.5) \div \frac{5}{6} - \frac{2}{3} \times 3 \frac{3}{5}] \div 2.4$ ．

查看答案解析

解：⑴ $2 \frac{1}{3} \div \frac{3}{4} \times \frac{9}{14} + 6 \times (\frac{2}{3} - \frac{1}{2}) = \frac{7}{3} \times \frac{4}{3} \times \frac{9}{14} + 6 \times \frac{1}{6} = 2 + 1 = 3$ 。

⑵ $[(1 \frac{2}{3} + 2.5) \div \frac{5}{6} - \frac{2}{3} \times 3 \frac{3}{5}] \div 2.4 = [(\frac{5}{3} + \frac{5}{2}) \times \frac{6}{5} - \frac{2}{3} \times \frac{18}{5}] \times \frac{5}{12} = (5 - \frac{12}{5}) \times \frac{5}{12} = \frac{13}{5} \times \frac{5}{12} = \frac{13}{12} = 1 \frac{1}{12}$ 。

答：3； $1 \frac{1}{12}$ 。

练习 5随堂完成A1-02-020

计算

⑴ $\frac{5}{12} + \frac{1}{12}$ ； ⑵ $\frac{2}{15} - \frac{7}{15} + \frac{11}{15}$ ；

⑶ $\frac{2}{5} \times \frac{15}{8} \times \frac{4}{9}$ ； ⑷ $3 \frac{1}{2} \div \frac{21}{4}$ ．

查看答案解析

解：⑴ $\frac{5}{12} + \frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ 。⑵ $\frac{2}{15} - \frac{7}{15} + \frac{11}{15} = \frac{2−7+11}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ 。

⑶ $\frac{2}{5} \times \frac{15}{8} \times \frac{4}{9} = \frac{2×15×4}{5×8×9} = \frac{1}{3}$ 。⑷ $3 \frac{1}{2} \div \frac{21}{4} = \frac{7}{2} \times \frac{4}{21} = \frac{2}{3}$ 。

答： $\frac{1}{2}$ ； $\frac{2}{5}$ ； $\frac{1}{3}$ ； $\frac{2}{3}$ 。

03

作业独立完成

作业 14独立完成A1-02-016

计算： $- 4.165 \times \frac{4}{7} + 7.665 \times \frac{4}{7} - (\frac{7}{18} - \frac{5}{6} + \frac{7}{9}) \div (- \frac{1}{6})$ ．

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解：前两项提取公因数 $\frac{4}{7}$ ： $- 4.165 \times \frac{4}{7} + 7.665 \times \frac{4}{7} = \frac{4}{7} \times (7.665 - 4.165) = \frac{4}{7} \times 3.5 = 2$ 。

括号内： $\frac{7}{18} - \frac{5}{6} + \frac{7}{9} = \frac{7−15+14}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ ； $- \frac{1}{3} \div (- \frac{1}{6}) = - \frac{1}{3} \times (- 6) = 2$ 。原式 $= 2 + 2 = 4$ 。

答：4。

作业 13独立完成A1-02-021

计算：

⑴ $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} - \frac{1}{2}$ ； ⑵ $(\frac{3}{4} - \frac{3}{16}) \times (\frac{2}{9} + \frac{1}{3})$ ；

⑶ $(1 - \frac{2}{5} \div \frac{8}{15}) + \frac{2}{3}$ ； ⑷ $30 \div [(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}) \times \frac{3}{4}]$ ．

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解：⑴ $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ 。

⑵ $(\frac{3}{4} - \frac{3}{16}) \times (\frac{2}{9} + \frac{1}{3}) = \frac{9}{16} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{16}$ 。

⑶ $(1 - \frac{2}{5} \div \frac{8}{15}) + \frac{2}{3} = (1 - \frac{2}{5} \times \frac{15}{8}) + \frac{2}{3} = (1 - \frac{3}{4}) + \frac{2}{3} = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{11}{12}$ 。

⑷ $30 \div [(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}) \times \frac{3}{4}] = 30 \div (\frac{8}{15} \times \frac{3}{4}) = 30 \div \frac{2}{5} = 30 \times \frac{5}{2} = 75$ 。

答： $\frac{1}{3}$ ； $\frac{5}{16}$ ； $\frac{11}{12}$ ；75。

作业 12独立完成A1-02-025

计算：

⑴ $0.32 \times 0.25 \times 0.25$ ；⑵ $2 \frac{1}{3} \div \frac{14}{15} \times 1 \frac{3}{5}$ ；

⑶ $2 - \frac{13}{24} - \frac{1}{8} - \frac{1}{3}$ ； ⑷ $2 \frac{2}{9} + 8 \frac{2}{15} + 0.2$ ．

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解：⑴ $0.32 \times 0.25 \times 0.25 = 0.02$ 。⑵ $2 \frac{1}{3} \div \frac{14}{15} \times 1 \frac{3}{5} = \frac{7}{3} \times \frac{15}{14} \times \frac{8}{5} = 4$ 。

⑶ $2 - \frac{13}{24} - \frac{1}{8} - \frac{1}{3} = 2 - \frac{13+3+8}{24} = 2 - 1 = 1$ 。⑷ $2 \frac{2}{9} + 8 \frac{2}{15} + 0.2 = \frac{20}{9} + \frac{122}{15} + \frac{1}{5} = \frac{100+366+9}{45} = \frac{475}{45} = \frac{95}{9} = 10 \frac{5}{9}$ 。

答：0.02；4；1； $10 \frac{5}{9}$ 。

作业 11独立完成A1-02-026

计算：

⑴ $\frac{2}{15} \div (2.1 - 1 \frac{3}{4}) + \frac{2}{7} \times \frac{3}{4}$ ；

⑵ $8.4 \times \frac{1}{4} - \frac{16}{25} \div \frac{4}{15} + 3 \frac{1}{3} \times 0.9$ ．

查看答案解析

解：⑴ 原式 $= \frac{2}{15} \div (\frac{21}{10} - \frac{7}{4}) + \frac{2}{7} \times \frac{3}{4} = \frac{2}{15} \div \frac{7}{20} + \frac{3}{14} = \frac{2}{15} \times \frac{20}{7} + \frac{3}{14} = \frac{8}{21} + \frac{3}{14} = \frac{16}{42} + \frac{9}{42} = \frac{25}{42}$ 。

⑵ 原式 $= 2.1 - \frac{16}{25} \times \frac{15}{4} + \frac{10}{3} \times \frac{9}{10} = 2.1 - 2.4 + 3 = 2.7$ 。

答： $\frac{25}{42}$ ；2.7。

作业 10独立完成A1-02-028

基础计算：

⑴ $\frac{8}{13} \div 6 + \frac{1}{6} \times \frac{4}{13}$ ； ⑵ $\frac{1}{15} \times (\frac{1}{3} + \frac{1}{12}) \div \frac{1}{12}$ ；

⑶ $\frac{5}{9} - \frac{3}{11} + \frac{4}{9} - \frac{8}{11}$ ； ⑷ $(12.5 \times 8 - 40) \div 0.6$ ．

查看答案解析

解：⑴ 原式 $= \frac{8}{13} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \times \frac{4}{13} = (\frac{8}{13} + \frac{4}{13}) \times \frac{1}{6} = \frac{12}{13} \times \frac{1}{6} = \frac{2}{13}$ 。

⑵ 原式 $= \frac{1}{15} \times (\frac{1}{3} + \frac{1}{12}) \times 12 = \frac{1}{15} \times \frac{1}{3} \times 12 + \frac{1}{15} \times \frac{1}{12} \times 12 = \frac{4}{15} + \frac{1}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ 。

⑶ 原式 $= (\frac{5}{9} + \frac{4}{9}) - (\frac{3}{11} + \frac{8}{11}) = 1 - 1 = 0$ 。

⑷ 原式 $= (100 - 40) \div 0.6 = 60 \div 0.6 = 100$ 。

答： $\frac{2}{13}$ ； $\frac{1}{3}$ ；0；100。

知识模块 05 · 解题模型

分数简便运算

通过凑整、提取公因数、乘法分配律和整体观察减少计算量。

例题 1随堂练习 2作业 4

本模块知识点

分数运算律提取公因数凑整整体思想

解题路径

先找相同因数或互补结构
调整运算顺序
用运算律整体计算

01

例题教师示范

例题 6教师示范A1-02-005难度 C · 综合

（简便运算）

计算：

⑴ $19 \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{8} - 2.625$ ； ⑵ $76 \times (\frac{1}{23} - \frac{1}{53}) + 23 \times (\frac{1}{53} + \frac{1}{76}) - 53 \times (\frac{1}{23} - \frac{1}{76})$ ；

⑶ $5.2 \times \frac{3}{8} + 4.625 \times 5 \frac{1}{5} - 15.6$ ； ⑷ $(2 \frac{1}{3} + \frac{3}{5} - \frac{7}{15}) \times 2 \frac{1}{7}$ ；

⑸ $74 \frac{1}{72} \div \frac{73}{72} - 36 \frac{2}{5} \div \frac{7}{5} + 56 \frac{1}{11} \div \frac{11}{12}$ ； ⑹ $172 \frac{1}{8} \times \frac{8}{17} + 16 \frac{1}{3} \div \frac{7}{3}$ ．

查看答案解析

解：

⑴原式 $= 19 \frac{1}{9} - (2 \frac{3}{8} + 2.625) = 14 \frac{1}{9}$ ；

⑵原式 $=$ $\frac{76 - 53}{23} + \frac{23 - 76}{53} + \frac{23 + 53}{76} = 1 - 1 + 1 = 1$ ；

⑶原式 $= 5.2 \times (\frac{3}{8} + 4 \frac{5}{8} - 3) = 10.4$ ；

⑷原式 $= \frac{7}{3} \times \frac{15}{7} + \frac{3}{5} \times \frac{15}{7} - \frac{7}{15} \times \frac{15}{7} = 5 + \frac{9}{7} - 1 = 5 \frac{2}{7}$ ；

⑸原式 $= (73 + \frac{73}{72}) \times \frac{72}{73} - (35 + \frac{7}{5}) \times \frac{5}{7} + (55 + \frac{12}{11}) \times \frac{12}{11} = 72 + 1 - 25 - 1 + 60 + \frac{144}{121} = 108 \frac{23}{121}$ ．

⑹原式 $= (170 + \frac{17}{8}) \times \frac{8}{17} + (14 + \frac{7}{3}) \times \frac{3}{7} = 80 + 1 + 6 + 1 = 88$

答：⑴ 14又1/9；⑵ 1；⑶ 10.4；⑷ 5又2/7；⑸ 108又23/121；⑹ 88。

02

练习随堂完成

练习 4随堂完成A1-02-015

计算： $4 \frac{3}{17} \times 2 \frac{2}{15} + 8 \frac{3}{17} \times 14 \frac{13}{15} - 4 \times 14 \frac{13}{15}$ ．

查看答案解析

解： $8 \frac{3}{17} - 4 = 4 \frac{3}{17}$ ，因此

原式 $= 4 \frac{3}{17} \times 2 \frac{2}{15} + 14 \frac{13}{15} \times (8 \frac{3}{17} - 4)$

$= 4 \frac{3}{17} \times 2 \frac{2}{15} + 14 \frac{13}{15} \times 4 \frac{3}{17}$

$= 4 \frac{3}{17} \times (2 \frac{2}{15} + 14 \frac{13}{15}) = 4 \frac{3}{17} \times 17 = \frac{71}{17} \times 17 = 71$ 。

答：71。

练习 3随堂完成A1-02-022

计算：

⑴ $1 \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{5}{72} - (\frac{5}{72} + \frac{3}{4})$ ； ⑵ $4 \frac{4}{5} \times 4 \frac{3}{5} - 4 \frac{4}{5} \times 3.6$ ；

⑶ $(9 \frac{2}{7} + 7 \frac{2}{9}) \div (\frac{5}{7} + \frac{5}{9})$ ； ⑷ $(\frac{8}{15} \div 0.32 - \frac{7}{9} \times 0.375) \div 1 \frac{3}{8}$ ．

查看答案解析

解：⑴ 原式 $= 1 \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{5}{72} - \frac{5}{72} - \frac{3}{4} = 1 \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} + \frac{3}{4}) = 1 \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2}$ 。

⑵ 原式 $= 4 \frac{4}{5} \times (4.6 - 3.6) = 4 \frac{4}{5} \times 1 = 4 \frac{4}{5}$ 。

⑶ 原式 $= (\frac{65}{7} + \frac{65}{9}) \div (\frac{5}{7} + \frac{5}{9}) = 13 \times (\frac{5}{7} + \frac{5}{9}) \div (\frac{5}{7} + \frac{5}{9}) = 13$ 。

⑷ 原式 $= (\frac{8}{15} \div \frac{8}{25} - \frac{7}{9} \times \frac{3}{8}) \div 1 \frac{3}{8} = (\frac{5}{3} - \frac{7}{24}) \times \frac{8}{11} = (\frac{40}{24} - \frac{7}{24}) \times \frac{8}{11} = \frac{33}{24} \times \frac{8}{11} = 1$ 。

答： $\frac{1}{2}$ ； $4 \frac{4}{5}$ ；13；1。

03

作业独立完成

作业 9独立完成A1-02-017

计算： $(9 \frac{2}{3} + 99 \frac{2}{3} + 999 \frac{2}{3} - 1) \times (\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20})$ ．

查看答案解析

解： $9 \frac{2}{3} + 99 \frac{2}{3} + 999 \frac{2}{3} - 1 = (10 - \frac{1}{3}) + (100 - \frac{1}{3}) + (1000 - \frac{1}{3}) - 1 = 1108$ ；

$\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} = \frac{12+10+5+3}{60} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2}$ 。原式 $= 1108 \times \frac{1}{2} = 554$ 。

答：554。

作业 8独立完成A1-02-027

计算：

⑴ $15 \times （ \frac{2}{3} ＋ \frac{3}{5} ）$ ； ⑵ $99 \frac{3}{4} + 199 \frac{3}{4} + 2999 \frac{3}{4} + 3999 \frac{3}{4} + 1$ ；

⑶ $2.25 \times 4.2 \times 6.3 \div (2.1 \times 0.7 \times 1.5)$ ； ⑷ $3.6 \times 31.4 + 43.9 \times 6 \frac{2}{5}$ ．

查看答案解析

解：⑴ 原式 $= 15 \times \frac{2}{3} + 15 \times \frac{3}{5} = 10 + 9 = 19$ 。

⑵ 把最后的 1 拆成 4 个 $\frac{1}{4}$ ，分别凑整：原式 $= (99 \frac{3}{4} + \frac{1}{4}) + (199 \frac{3}{4} + \frac{1}{4}) + (2999 \frac{3}{4} + \frac{1}{4}) + (3999 \frac{3}{4} + \frac{1}{4}) = 100 + 200 + 3000 + 4000 = 7300$ 。

⑶ 原式 $= (2.25 \div 1.5) \times (4.2 \div 2.1) \times (6.3 \div 0.7) = 1.5 \times 2 \times 9 = 27$ 。

⑷ 原式 $= 3.6 \times 31.4 + (31.4 + 12.5) \times 6.4 = 31.4 \times (3.6 + 6.4) + 12.5 \times 6.4 = 314 + 80 = 394$ 。

答：19；7300；27；394。

作业 7独立完成A1-02-029

用合适的方法计算：

⑴ $9.9 \times 99 + 9 \frac{9}{10}$ ； ⑵ $5 \frac{9}{14} \times \frac{3}{5} + 0.6 \times \frac{5}{14}$ ；

⑶ $(\frac{3}{4} - \frac{5}{3} + 1 \frac{5}{6}) \times 12$ ．

查看答案解析

解：⑴ 把 $9 \frac{9}{10}$ 看成 9.9：原式 $= 9.9 \times 99 + 9.9 = 9.9 \times (99 + 1) = 9.9 \times 100 = 990$ 。

⑵ 原式 $= \frac{3}{5} \times 5 \frac{9}{14} + \frac{3}{5} \times \frac{5}{14} = \frac{3}{5} \times (5 \frac{9}{14} + \frac{5}{14}) = \frac{3}{5} \times 6 = \frac{18}{5} = 3 \frac{3}{5}$ 。

⑶ 原式 $= \frac{3}{4} \times 12 - \frac{5}{3} \times 12 + \frac{11}{6} \times 12 = 9 - 20 + 22 = 11$ 。

答：990； $3 \frac{3}{5}$ ；11。

作业 6独立完成A1-02-032

用适合方法计算：

⑴ $(- 8) \times (- 12 \frac{9}{16}) - (- 5) \times (- 12 \frac{9}{16}) + 4 \times (- 12 \frac{9}{16})$ ；

⑵ $\frac{10}{13} \div 2 \frac{19}{22} - 1 \frac{2}{5} \times \frac{11}{13} + 7 + \frac{1}{5} \times \frac{22}{63}$ ．

查看答案解析

解：⑴ 提取公因数 $- 12 \frac{9}{16}$ ：原式 $= (- 8 + 5 + 4) \times (- 12 \frac{9}{16}) = 1 \times (- 12 \frac{9}{16}) = - 12 \frac{9}{16}$ 。

⑵ $2 \frac{19}{22} = \frac{63}{22}$ ，原式 $= \frac{10}{13} \times \frac{22}{63} - \frac{7}{5} \times \frac{11}{13} + 7 + \frac{1}{5} \times \frac{22}{63} = \frac{22}{63} \times (\frac{10}{13} + \frac{1}{5}) - \frac{77}{65} + 7 = \frac{22}{63} \times \frac{63}{65} - \frac{77}{65} + 7 = \frac{22}{65} - \frac{77}{65} + 7 = - \frac{11}{13} + 7 = 6 \frac{2}{13}$ 。

答： $- 12 \frac{9}{16}$ ； $6 \frac{2}{13}$ 。

知识模块 06 · 提升模型

繁分数运算

把繁分数视为分子整体除以分母整体，优先同步约分。

例题 2随堂练习 0作业 0

本模块知识点

繁分数整体约分复合运算

解题路径

识别总分数线
分别化简分子和分母
转化为除法后约分

01

例题教师示范

例题 5教师示范A1-02-006难度 C · 综合

（繁分数运算）

计算：

⑴ $\frac{1 - \frac{1}{6}}{\frac{1}{4} + \frac{2}{3}}$ ⑵ $\frac{2 - \frac{7}{12} \div 1 \frac{1}{6}}{(3 \frac{1}{2} + 4) \times 1 \frac{3}{5}}$

查看答案解析

计算：

⑴ $\frac{1 - \frac{1}{6}}{\frac{1}{4} + \frac{2}{3}}$ ⑵ $\frac{2 - \frac{7}{12} \div 1 \frac{1}{6}}{(3 \frac{1}{2} + 4) \times 1 \frac{3}{5}}$

⑴ $\frac{1 - \frac{1}{6}}{\frac{1}{4} + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{11}{12}} = \frac{10}{11}$ ； ⑵ $\frac{2 - \frac{7}{12} \div 1 \frac{1}{6}}{(3 \frac{1}{2} + 4) \times 1 \frac{3}{5}} = \frac{2 - \frac{1}{2}}{\frac{15}{2} \times \frac{8}{5}} = \frac{1}{8}$

例题 4教师示范A1-02-007难度 D · 提升

计算：

⑴ $\frac{\frac{7}{18} \times 4 \frac{1}{2} + \frac{1}{6}}{13 \frac{1}{3} - 3 \frac{3}{4} \div \frac{5}{16}}$ ⑵ $\frac{(10.75 - 4 \frac{11}{12}) \times 2 \frac{7}{11}}{(1.125 + \frac{1}{12}) \div (2.25 \div 10 \frac{10}{11})}$

查看答案解析

解：

⑴原式= $\frac{\frac{7}{18} \times 4 \frac{1}{2} + \frac{1}{6}}{13 \frac{1}{3} - 3 \frac{3}{4} \div \frac{5}{16}}$ = $\frac{\frac{7}{18} \times \frac{9}{2} + \frac{1}{6}}{13 \frac{1}{3} - \frac{15}{4} \times \frac{16}{5}}$ = $\frac{23}{16}$

⑵原式 $=$ $\frac{(\frac{43}{4} - \frac{59}{12}) \times \frac{29}{11}}{(\frac{9}{8} + \frac{1}{12}) \div (\frac{9}{4} \div \frac{120}{11})}$ $=$ $\frac{\frac{70}{12} \times \frac{29}{11}}{\frac{29}{24} \times \frac{480}{99}}$ $=$ $\frac{70}{12} \times \frac{29}{11} \times \frac{24}{29} \times \frac{99}{480}$ $=$ $\frac{21}{8}$

答：⑴ 23/16；⑵ 21/8。

知识模块 07 · 基础知识

有限小数与循环小数

根据最简分数分母的素因数判断有限小数、纯循环小数和混循环小数。

例题 1随堂练习 1作业 1

本模块知识点

循环小数及其意义纯循环小数混循环小数有限小数判定

解题路径

先把分数约成最简分数
分解分母的素因数
按是否只含2、5分类

01

知识讲解定义、性质与方法

循环小数化分数

循环小数

一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个小数叫做循环小数．
一个循环小数的小数部分中依次不断地重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节．

循环小数的分类

循环节从小数点后的第一位就开始的循环小数，叫做纯循环小数，

例如： $0 . \overset{•}{1}$ ， $0 . \overset{•}{2} \overset{•}{3}$ ；

循环节不是从小数点后第一位开始的，而在小数点后面有一位或几位数字不循环的循环小数，叫做混循环小数．例如： $0.0 \overset{•}{1}$ ， $0.22 \overset{•}{3}$ ．

分数化循环小数

分母只有素因数 $2$ 或 $5$ 时，可化为有限小数：如 $\frac{1}{50} = \frac{1}{2 \times 5 \times 5} = 0.02$ ．
分母没有素因数 $2$ 和 $5$ 时，可化为纯循环小数：如 $\frac{1}{7} = 0 . \overset{•}{1} 4285 \overset{•}{7}$ ．
分母既含有素因数 $2$ 或 $5$ ，也含有 $2$ 和 $5$ 以外的素因数时，可化为混循环小数：如 $\frac{1}{14} = \frac{1}{2 \times 7} = 0.0 \overset{•}{7} 1428 \overset{•}{5}$ ．

02

例题教师示范

例题 3教师示范A1-02-008难度 A · 基础

下列分数中能化为有限小数的有，

能化为纯循环小数的有，

能化为混循环小数的有．

① $\frac{4}{32}$ ，② $\frac{3}{125}$ ，③ $\frac{6}{35}$ ，④ $\frac{12}{63}$ ，⑤ $\frac{13}{52}$ ，⑥ $\frac{7}{15}$ ，⑦ $\frac{5}{21}$ ，⑧ $\frac{5}{256}$ ，⑨ $\frac{9}{42}$

查看答案解析

解：先把每个分数约成最简分数，再分解分母的素因数：分母只含素因数 2 或 5 的分数能化为有限小数；分母不含 2 和 5 的分数能化为纯循环小数；分母既含 2（或 5）又含其他素因数的分数能化为混循环小数。

① $\frac{4}{32} = \frac{1}{8}$ ，分母 $8^{3}$ ，能化为有限小数。

② $\frac{3}{125}$ ，分母 $125^{3}$ ，能化为有限小数。

③ $\frac{6}{35}$ ，分母 $35 = 5 \times 7$ ，能化为混循环小数。

④ $\frac{12}{63} = \frac{4}{21}$ ，分母 $21 = 3 \times 7$ ，能化为纯循环小数。

⑤ $\frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ ，分母 $4^{2}$ ，能化为有限小数。

⑥ $\frac{7}{15}$ ，分母 $15 = 3 \times 5$ ，能化为混循环小数。

⑦ $\frac{5}{21}$ ，分母 $21 = 3 \times 7$ ，能化为纯循环小数。

⑧ $\frac{5}{256}$ ，分母 $256^{8}$ ，能化为有限小数。

⑨ $\frac{9}{42} = \frac{3}{14}$ ，分母 $14 = 2 \times 7$ ，能化为混循环小数。

答：能化为有限小数的有①②⑤⑧，能化为纯循环小数的有④⑦，能化为混循环小数的有③⑥⑨。

03

练习随堂完成

练习 2随堂完成A1-02-011

下列分数中，不能化为有限小数的是（）

A． $\frac{3}{50}$ ； B． $\frac{16}{30}$ ； C． $\frac{24}{15}$ ； D． $\frac{39}{52}$ ．

查看答案解析

解：先把各分数约成最简分数；最简分数的分母只含素因数 2 或 5 时，才能化为有限小数。

A． $\frac{3}{50}$ 已最简，分母 $50 = 2 \times 5 \times 5$ ，能；B． $\frac{16}{30} = \frac{8}{15}$ ，分母 $15 = 3 \times 5$ ，含素因数 3，不能；C． $\frac{24}{15} = \frac{8}{5}$ ，分母是 5，能；D． $\frac{39}{52} = \frac{3}{4}$ ，分母 $4 = 2 \times 2$ ，能。

答：B。

04

作业独立完成

作业 5独立完成A1-02-012

分数 $\frac{12}{25}$ ， $\frac{33}{32}$ ， $\frac{35}{14}$ ， $\frac{53}{60}$ 中不能化为有限小数的是_______．

查看答案解析

解：先约成最简分数，再看分母的素因数。 $\frac{12}{25}$ 已最简，分母 $25 = 5 \times 5$ ，能； $\frac{33}{32}$ 已最简，分母 $32 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ ，能； $\frac{35}{14} = \frac{5}{2}$ ，能； $\frac{53}{60}$ 已最简，分母 $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$ ，含素因数 3，不能化为有限小数。

答： $\frac{53}{60}$ 。

知识模块 08 · 解题模型

循环小数与分数互化

利用位移相减消去循环部分，并将结果约成最简分数。

例题 2随堂练习 0作业 1

本模块知识点

循环小数化分数分数化循环小数位移相减

解题路径

设循环小数为x
按循环节长度乘10的幂
相减消去循环部分并解x

01

知识讲解定义、性质与方法

循环小数化分数

纯循环小数化分数： $0 . \overset{•}{a} = \frac{a}{9}$ ； $0 . \overset{•}{a} \overset{•}{b} = \frac{\bar{a b}}{99}$ ； $0 . \overset{•}{a} b \overset{•}{c} = \frac{\bar{a b c}}{999}$ ．
混循环小数化分数： $0.0 \overset{•}{a} = \frac{a}{90}$ ； $0 . a \overset{•}{b} = \frac{\bar{a b} - a}{90}$ ； $0 . a \overset{•}{b} \overset{•}{c} = \frac{\bar{a b c} - a}{990}$ ； $0 . a b \overset{•}{c} \overset{•}{d} = \frac{\bar{a b c d} - \bar{a b}}{9900}$ ．

02

例题教师示范

例题 2教师示范A1-02-009难度 B · 巩固

⑴ 循环小数化分数：

$0 . \overset{•}{3} =________$ ； $1 . \overset{•}{7} =________$ ； $0 . \overset{•}{7} \overset{•}{1} =________$ ； $0 . \overset{•}{3} \overset{•}{9} =________$ ； $0 . \overset{•}{6} 4 \overset{•}{5} =_________$ ；

⑵循环小数化分数：

$0.2 \overset{•}{3} =________$ ； $0.1 \overset{•}{2} \overset{•}{6} =________$ $0.24 \overset{•}{4} \overset{•}{2} =________$ ；

⑶ 分数化循环小数

$\frac{2}{3} =$ ； $\frac{7}{11} =$ ； $\frac{8}{13} =$ ．

它们从小到大的顺序是（用“ $<$ ”连接）

查看答案解析

解：

⑴ $0 . \overset{•}{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ ； $1 . \overset{•}{7} = 1 \frac{7}{9}$ ； $0 . \overset{•}{7} \overset{•}{1} =$ $\frac{71}{99}$ ； $0 . \overset{•}{3} \overset{•}{9} =$ $\frac{13}{33}$ ． $0 . \overset{•}{6} 4 \overset{•}{5} = \frac{645}{999} = \frac{215}{333}$

⑵ $0.2 \overset{•}{3} = \frac{23 - 2}{90} = \frac{7}{30}$ ； $0.1 \overset{•}{2} \overset{•}{6} = \frac{25}{198}$ ； $0.24 \overset{•}{4} \overset{•}{2} = \frac{2418}{9900} = \frac{403}{1650}$ ．

⑶ $\frac{2}{3} = 0 . \overset{•}{6}$ ， $\frac{7}{11} = 0 . \overset{•}{6} \overset{•}{3}$ ， $\frac{8}{13} = 0 . \overset{•}{6} 1538 \overset{•}{4}$ ， $\frac{8}{13} < \frac{7}{11} < \frac{2}{3}$ ．

答：⑴ 1/3、1又7/9、71/99、13/33、215/333；⑵ 7/30、25/198、403/1650；⑶ 8/13＜7/11＜2/3。

例题 1教师示范A1-02-010难度 C · 综合

计算：

⑴ $0 . \overset{•}{1} + 0.125 + 0 . \overset{•}{3} + 0.1 \overset{•}{6}$

⑵ $(0.5 \overset{•}{4} + 0.4 \overset{•}{5} + 0.3 \overset{•}{6}) - (0 . \overset{•}{1} + 0 . \overset{•}{2} + 0 . \overset{•}{3})$

⑶ $(0.9 \overset{•}{1} + 0.8 \overset{•}{2} + 0.7 \overset{•}{3} + 0.6 \overset{•}{4}) - (0 . \overset{•}{1} + 0 . \overset{•}{2} + 0 . \overset{•}{3} + 0 . \overset{•}{4} + 0 . \overset{•}{5} + 0 . \overset{•}{6})$

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解：⑴ $0 . \overset{•}{1} = \frac{1}{9}$ ， $0.125 = \frac{1}{8}$ ， $0 . \overset{•}{3} = \frac{1}{3}$ ， $0.1 \overset{•}{6} = \frac{1}{6}$ ，所以原式 $= \frac{1}{9} + \frac{1}{8} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{8+9+24+12}{72} = \frac{53}{72}$ 。

⑵ $0.5 \overset{•}{4} = \frac{49}{90}$ ， $0.4 \overset{•}{5} = \frac{41}{90}$ ， $0.3 \overset{•}{6} = \frac{33}{90}$ ； $0 . \overset{•}{1} + 0 . \overset{•}{2} + 0 . \overset{•}{3} = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{3}{9} = \frac{6}{9}$ 。原式 $= \frac{49+41+33}{90} - \frac{6}{9} = \frac{123}{90} - \frac{60}{90} = \frac{63}{90} = \frac{7}{10}$ 。

⑶ $0.9 \overset{•}{1} = \frac{82}{90}$ ， $0.8 \overset{•}{2} = \frac{74}{90}$ ， $0.7 \overset{•}{3} = \frac{66}{90}$ ， $0.6 \overset{•}{4} = \frac{58}{90}$ ，前四项和为 $\frac{280}{90}$ ；后六项和为 $\frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{3}{9} + \frac{4}{9} + \frac{5}{9} + \frac{6}{9} = \frac{21}{9} = \frac{210}{90}$ 。相减得 $\frac{280}{90} - \frac{210}{90} = \frac{70}{90} = \frac{7}{9}$ 。

答： $\frac{53}{72}$ ； $\frac{7}{10}$ ； $\frac{7}{9}$ 。

03

作业独立完成

作业 4独立完成A1-02-023

计算：

⑴ $0 . \overset{•}{4} + 0 . \overset{•}{2} \overset{•}{4}$ ；

⑵ $0 . \overset{•}{1} + 0 . \overset{•}{2} + 0 . \overset{•}{3} + 0 . \overset{•}{4} + 0 . \overset{•}{5} + 0 . \overset{•}{6} + 0 . \overset{•}{7} + 0 . \overset{•}{8} + 0 . \overset{•}{9}$ ．

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解：⑴ $0 . \overset{•}{4} = \frac{4}{9}$ ， $0 . \overset{•}{2} \overset{•}{4} = \frac{24}{99}$ ，原式 $= \frac{4}{9} + \frac{24}{99} = \frac{44}{99} + \frac{24}{99} = \frac{68}{99}$ 。

⑵ 原式 $= \frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{3}{9} + \frac{4}{9} + \frac{5}{9} + \frac{6}{9} + \frac{7}{9} + \frac{8}{9} + \frac{9}{9} = \frac{1+2+3+4+5+6+7+8+9}{9} = \frac{45}{9} = 5$ 。

答： $\frac{68}{99}$ ；5。

知识模块 09 · 综合训练

分数与百分数综合训练

综合训练互化、混合运算、简便计算和循环小数。

例题 0随堂练习 1作业 3

本模块知识点

分数综合百分数综合循环小数综合

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01

练习随堂完成

练习 1随堂完成A1-02-018

计算题：

⑴ $9 \frac{4}{9} - 0.16 + 4 \frac{5}{9} + 1 \frac{4}{25}$ ；

⑵ $8.4 \times \frac{1}{4} + 3 \frac{1}{3} \times 0.9 - \frac{16}{25} \div \frac{4}{15}$ ；

⑶ $(3 \frac{1}{6} + 2 \frac{1}{9}) \times \frac{18}{19} - (1 \frac{3}{8} - 0.11) \times \frac{8}{11}$ ；

⑷ $12.8 \div {[3 \frac{1}{5} \times (5 - 2.8 \div \frac{14}{15})] + (\frac{26}{5} - 13 \times 0.4)}$ ．

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解：⑴ 凑整：原式 $= (9 \frac{4}{9} + 4 \frac{5}{9}) + (1 \frac{4}{25} - 0.16) = 14 + (1.16 - 0.16) = 14 + 1 = 15$ 。

⑵ 原式 $= 2.1 + \frac{10}{3} \times \frac{9}{10} - \frac{16}{25} \times \frac{15}{4} = 2.1 + 3 - 2.4 = 2.7$ 。

⑶ 分配律： $(3 \frac{1}{6} + 2 \frac{1}{9}) \times \frac{18}{19} = \frac{19}{6} \times \frac{18}{19} + \frac{19}{9} \times \frac{18}{19} = 3 + 2 = 5$ ； $(1 \frac{3}{8} - 0.11) \times \frac{8}{11} = \frac{11}{8} \times \frac{8}{11} - \frac{11}{100} \times \frac{8}{11} = 1 - \frac{2}{25} = \frac{23}{25}$ 。原式 $= 5 - \frac{23}{25} = 4 \frac{2}{25}$ 。

⑷ $2.8 \div \frac{14}{15} = 2.8 \times \frac{15}{14} = 3$ ， $\frac{26}{5} - 13 \times 0.4 = 5.2 - 5.2 = 0$ ，所以原式 $= 12.8 \div [\frac{16}{5} \times (5 - 3)] = \frac{64}{5} \div \frac{32}{5} = \frac{64}{5} \times \frac{5}{32} = 2$ 。

答：15；2.7； $4 \frac{2}{25}$ ；2。

02

作业独立完成

作业 3独立完成A1-02-030

运算：

⑴ $3 \frac{1}{3} \times (7 \frac{1}{3} - 1 \frac{4}{7}) \times 0.3 \div 1 \frac{1}{21}$ ；

⑵ $[2 \frac{3}{5} - (8.5 - 2 \frac{2}{3}) \div 3.5] \times 7 \frac{1}{2}$ ；

⑶ $5 - [4 \frac{3}{5} - 2.4 \times (4 \frac{3}{4} - 3.25)] \times \frac{5}{12}$ ．

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解：⑴ 原式 $= \frac{10}{3} \times (\frac{22}{3} - \frac{11}{7}) \times \frac{3}{10} \div \frac{22}{21} = \frac{10}{3} \times \frac{121}{21} \times \frac{3}{10} \times \frac{21}{22} = \frac{121}{22} = 5.5$ 。

⑵ 原式 $= [\frac{13}{5} - (\frac{17}{2} - \frac{8}{3}) \times \frac{2}{7}] \times \frac{15}{2} = [\frac{13}{5} - \frac{35}{6} \times \frac{2}{7}] \times \frac{15}{2} = (\frac{13}{5} - \frac{5}{3}) \times \frac{15}{2} = \frac{14}{15} \times \frac{15}{2} = 7$ 。

⑶ 原式 $= 5 - [4.6 - 2.4 \times (4.75 - 3.25)] \times \frac{5}{12} = 5 - (4.6 - 3.6) \times \frac{5}{12} = 5 - \frac{5}{12} = 4 \frac{7}{12}$ 。

答：5.5；7； $4 \frac{7}{12}$ 。

作业 2独立完成A1-02-031

四则混合运算

⑴ $1 \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} + 3 \frac{1}{2} \div 1 \frac{3}{4}$ ； ⑵ $8 \frac{7}{19} \times 6 \frac{1}{3} - 7 \frac{3}{4} \div 3 \frac{7}{8}$ ；

⑶ $(2 \frac{5}{6} + 1 \frac{1}{3}) \div (2 \frac{5}{6} - 1 \frac{1}{3})$ ．

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解：⑴ $1 \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} + 3 \frac{1}{2} \div 1 \frac{3}{4} = \frac{5}{3} \times \frac{4}{5} + \frac{7}{2} \times \frac{4}{7} = \frac{4}{3} + 2 = 3 \frac{1}{3}$ 。

⑵ $8 \frac{7}{19} \times 6 \frac{1}{3} - 7 \frac{3}{4} \div 3 \frac{7}{8} = \frac{159}{19} \times \frac{19}{3} - \frac{31}{4} \times \frac{8}{31} = 53 - 2 = 51$ 。

⑶ $(2 \frac{5}{6} + 1 \frac{1}{3}) \div (2 \frac{5}{6} - 1 \frac{1}{3}) = \frac{25}{6} \div \frac{3}{2} = \frac{25}{6} \times \frac{2}{3} = \frac{25}{9} = 2 \frac{7}{9}$ 。

答： $3 \frac{1}{3}$ ；51； $2 \frac{7}{9}$ 。

作业 1独立完成A1-02-033

计算： $\frac{15 \div \frac{9}{10} \times \frac{3}{5}}{\frac{3}{10} \div (\frac{4}{5} - \frac{1}{2}) - \frac{5}{6}}$ ．

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解：分子： $15 \div \frac{9}{10} \times \frac{3}{5} = 15 \times \frac{10}{9} \times \frac{3}{5} = 10$ ；分母： $\frac{3}{10} \div (\frac{4}{5} - \frac{1}{2}) - \frac{5}{6} = \frac{3}{10} \div \frac{3}{10} - \frac{5}{6} = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$ 。原式 $= 10 \div \frac{1}{6} = 10 \times 6 = 60$ 。

答：60。