有限小数与循环小数 · 知识点讲解

本知识点

循环小数及其意义纯循环小数混循环小数有限小数判定

解题路径

先把分数约成最简分数
分解分母的素因数
按是否只含2、5分类

循环小数化分数

循环小数

一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个小数叫做循环小数．
一个循环小数的小数部分中依次不断地重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节．

循环小数的分类

循环节从小数点后的第一位就开始的循环小数，叫做纯循环小数，

例如： $0 . \overset{•}{1}$ ， $0 . \overset{•}{2} \overset{•}{3}$ ；

循环节不是从小数点后第一位开始的，而在小数点后面有一位或几位数字不循环的循环小数，叫做混循环小数．例如： $0.0 \overset{•}{1}$ ， $0.22 \overset{•}{3}$ ．

分数化循环小数

分母只有素因数 $2$ 或 $5$ 时，可化为有限小数：如 $\frac{1}{50} = \frac{1}{2 \times 5 \times 5} = 0.02$ ．
分母没有素因数 $2$ 和 $5$ 时，可化为纯循环小数：如 $\frac{1}{7} = 0 . \overset{•}{1} 4285 \overset{•}{7}$ ．
分母既含有素因数 $2$ 或 $5$ ，也含有 $2$ 和 $5$ 以外的素因数时，可化为混循环小数：如 $\frac{1}{14} = \frac{1}{2 \times 7} = 0.0 \overset{•}{7} 1428 \overset{•}{5}$ ．

配套例题

看懂这几道题，就掌握了这个点

先做再看解析；做错的题建议加入练习单，到「诊断练习」里集中攻克。

题 A1-02-008难度 A · 基础

下列分数中能化为有限小数的有，

能化为纯循环小数的有，

能化为混循环小数的有．

① $\frac{4}{32}$ ，② $\frac{3}{125}$ ，③ $\frac{6}{35}$ ，④ $\frac{12}{63}$ ，⑤ $\frac{13}{52}$ ，⑥ $\frac{7}{15}$ ，⑦ $\frac{5}{21}$ ，⑧ $\frac{5}{256}$ ，⑨ $\frac{9}{42}$

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解：先把每个分数约成最简分数，再分解分母的素因数：分母只含素因数 2 或 5 的分数能化为有限小数；分母不含 2 和 5 的分数能化为纯循环小数；分母既含 2（或 5）又含其他素因数的分数能化为混循环小数。

① $\frac{4}{32} = \frac{1}{8}$ ，分母 $8^{3}$ ，能化为有限小数。

② $\frac{3}{125}$ ，分母 $125^{3}$ ，能化为有限小数。

③ $\frac{6}{35}$ ，分母 $35 = 5 \times 7$ ，能化为混循环小数。

④ $\frac{12}{63} = \frac{4}{21}$ ，分母 $21 = 3 \times 7$ ，能化为纯循环小数。

⑤ $\frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ ，分母 $4^{2}$ ，能化为有限小数。

⑥ $\frac{7}{15}$ ，分母 $15 = 3 \times 5$ ，能化为混循环小数。

⑦ $\frac{5}{21}$ ，分母 $21 = 3 \times 7$ ，能化为纯循环小数。

⑧ $\frac{5}{256}$ ，分母 $256^{8}$ ，能化为有限小数。

⑨ $\frac{9}{42} = \frac{3}{14}$ ，分母 $14 = 2 \times 7$ ，能化为混循环小数。

答：能化为有限小数的有①②⑤⑧，能化为纯循环小数的有④⑦，能化为混循环小数的有③⑥⑨。

题 A1-02-011

下列分数中，不能化为有限小数的是（）

A． $\frac{3}{50}$ ； B． $\frac{16}{30}$ ； C． $\frac{24}{15}$ ； D． $\frac{39}{52}$ ．

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解：先把各分数约成最简分数；最简分数的分母只含素因数 2 或 5 时，才能化为有限小数。

A． $\frac{3}{50}$ 已最简，分母 $50 = 2 \times 5 \times 5$ ，能；B． $\frac{16}{30} = \frac{8}{15}$ ，分母 $15 = 3 \times 5$ ，含素因数 3，不能；C． $\frac{24}{15} = \frac{8}{5}$ ，分母是 5，能；D． $\frac{39}{52} = \frac{3}{4}$ ，分母 $4 = 2 \times 2$ ，能。

答：B。

题 A1-02-012

分数 $\frac{12}{25}$ ， $\frac{33}{32}$ ， $\frac{35}{14}$ ， $\frac{53}{60}$ 中不能化为有限小数的是_______．

查看答案解析

解：先约成最简分数，再看分母的素因数。 $\frac{12}{25}$ 已最简，分母 $25 = 5 \times 5$ ，能； $\frac{33}{32}$ 已最简，分母 $32 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ ，能； $\frac{35}{14} = \frac{5}{2}$ ，能； $\frac{53}{60}$ 已最简，分母 $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$ ，含素因数 3，不能化为有限小数。

答： $\frac{53}{60}$ 。