循环小数与分数互化 · 知识点讲解

本知识点

循环小数化分数分数化循环小数位移相减

解题路径

设循环小数为x
按循环节长度乘10的幂
相减消去循环部分并解x

循环小数化分数

纯循环小数化分数： $0 . \overset{•}{a} = \frac{a}{9}$ ； $0 . \overset{•}{a} \overset{•}{b} = \frac{\bar{a b}}{99}$ ； $0 . \overset{•}{a} b \overset{•}{c} = \frac{\bar{a b c}}{999}$ ．
混循环小数化分数： $0.0 \overset{•}{a} = \frac{a}{90}$ ； $0 . a \overset{•}{b} = \frac{\bar{a b} - a}{90}$ ； $0 . a \overset{•}{b} \overset{•}{c} = \frac{\bar{a b c} - a}{990}$ ； $0 . a b \overset{•}{c} \overset{•}{d} = \frac{\bar{a b c d} - \bar{a b}}{9900}$ ．

配套例题

看懂这几道题，就掌握了这个点

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题 A1-02-009难度 B · 巩固

⑴ 循环小数化分数：

$0 . \overset{•}{3} =________$ ； $1 . \overset{•}{7} =________$ ； $0 . \overset{•}{7} \overset{•}{1} =________$ ； $0 . \overset{•}{3} \overset{•}{9} =________$ ； $0 . \overset{•}{6} 4 \overset{•}{5} =_________$ ；

⑵循环小数化分数：

$0.2 \overset{•}{3} =________$ ； $0.1 \overset{•}{2} \overset{•}{6} =________$ $0.24 \overset{•}{4} \overset{•}{2} =________$ ；

⑶ 分数化循环小数

$\frac{2}{3} =$ ； $\frac{7}{11} =$ ； $\frac{8}{13} =$ ．

它们从小到大的顺序是（用“ $<$ ”连接）

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解：

⑴ $0 . \overset{•}{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ ； $1 . \overset{•}{7} = 1 \frac{7}{9}$ ； $0 . \overset{•}{7} \overset{•}{1} =$ $\frac{71}{99}$ ； $0 . \overset{•}{3} \overset{•}{9} =$ $\frac{13}{33}$ ． $0 . \overset{•}{6} 4 \overset{•}{5} = \frac{645}{999} = \frac{215}{333}$

⑵ $0.2 \overset{•}{3} = \frac{23 - 2}{90} = \frac{7}{30}$ ； $0.1 \overset{•}{2} \overset{•}{6} = \frac{25}{198}$ ； $0.24 \overset{•}{4} \overset{•}{2} = \frac{2418}{9900} = \frac{403}{1650}$ ．

⑶ $\frac{2}{3} = 0 . \overset{•}{6}$ ， $\frac{7}{11} = 0 . \overset{•}{6} \overset{•}{3}$ ， $\frac{8}{13} = 0 . \overset{•}{6} 1538 \overset{•}{4}$ ， $\frac{8}{13} < \frac{7}{11} < \frac{2}{3}$ ．

答：⑴ 1/3、1又7/9、71/99、13/33、215/333；⑵ 7/30、25/198、403/1650；⑶ 8/13＜7/11＜2/3。

题 A1-02-010难度 C · 综合

计算：

⑴ $0 . \overset{•}{1} + 0.125 + 0 . \overset{•}{3} + 0.1 \overset{•}{6}$

⑵ $(0.5 \overset{•}{4} + 0.4 \overset{•}{5} + 0.3 \overset{•}{6}) - (0 . \overset{•}{1} + 0 . \overset{•}{2} + 0 . \overset{•}{3})$

⑶ $(0.9 \overset{•}{1} + 0.8 \overset{•}{2} + 0.7 \overset{•}{3} + 0.6 \overset{•}{4}) - (0 . \overset{•}{1} + 0 . \overset{•}{2} + 0 . \overset{•}{3} + 0 . \overset{•}{4} + 0 . \overset{•}{5} + 0 . \overset{•}{6})$

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解：⑴ $0 . \overset{•}{1} = \frac{1}{9}$ ， $0.125 = \frac{1}{8}$ ， $0 . \overset{•}{3} = \frac{1}{3}$ ， $0.1 \overset{•}{6} = \frac{1}{6}$ ，所以原式 $= \frac{1}{9} + \frac{1}{8} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{8+9+24+12}{72} = \frac{53}{72}$ 。

⑵ $0.5 \overset{•}{4} = \frac{49}{90}$ ， $0.4 \overset{•}{5} = \frac{41}{90}$ ， $0.3 \overset{•}{6} = \frac{33}{90}$ ； $0 . \overset{•}{1} + 0 . \overset{•}{2} + 0 . \overset{•}{3} = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{3}{9} = \frac{6}{9}$ 。原式 $= \frac{49+41+33}{90} - \frac{6}{9} = \frac{123}{90} - \frac{60}{90} = \frac{63}{90} = \frac{7}{10}$ 。

⑶ $0.9 \overset{•}{1} = \frac{82}{90}$ ， $0.8 \overset{•}{2} = \frac{74}{90}$ ， $0.7 \overset{•}{3} = \frac{66}{90}$ ， $0.6 \overset{•}{4} = \frac{58}{90}$ ，前四项和为 $\frac{280}{90}$ ；后六项和为 $\frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{3}{9} + \frac{4}{9} + \frac{5}{9} + \frac{6}{9} = \frac{21}{9} = \frac{210}{90}$ 。相减得 $\frac{280}{90} - \frac{210}{90} = \frac{70}{90} = \frac{7}{9}$ 。

答： $\frac{53}{72}$ ； $\frac{7}{10}$ ； $\frac{7}{9}$ 。

题 A1-02-023

计算：

⑴ $0 . \overset{•}{4} + 0 . \overset{•}{2} \overset{•}{4}$ ；

⑵ $0 . \overset{•}{1} + 0 . \overset{•}{2} + 0 . \overset{•}{3} + 0 . \overset{•}{4} + 0 . \overset{•}{5} + 0 . \overset{•}{6} + 0 . \overset{•}{7} + 0 . \overset{•}{8} + 0 . \overset{•}{9}$ ．

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解：⑴ $0 . \overset{•}{4} = \frac{4}{9}$ ， $0 . \overset{•}{2} \overset{•}{4} = \frac{24}{99}$ ，原式 $= \frac{4}{9} + \frac{24}{99} = \frac{44}{99} + \frac{24}{99} = \frac{68}{99}$ 。

⑵ 原式 $= \frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{3}{9} + \frac{4}{9} + \frac{5}{9} + \frac{6}{9} + \frac{7}{9} + \frac{8}{9} + \frac{9}{9} = \frac{1+2+3+4+5+6+7+8+9}{9} = \frac{45}{9} = 5$ 。

答： $\frac{68}{99}$ ；5。