正因数个数模型 · 知识点讲解

本知识点

正因数个数标准分解式指数计数

解题路径

Step1：将 $N$ 分解素因数，并写成标准式． $N = a_{1}^{p_{1}} \times a_{2}^{p_{2}} \times a_{3}^{p_{3}} \times a_{4}^{p_{4}} \times \dots \times a_{n}^{p_{n}}$

( $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 为合数 $N$ 的素因数)

Step2：原数的正因数个数： $A = (p_{1} + 1) \times (p_{2} + 1) \times (p_{3} + 1) \times \dots \times (p_{n} + 1)$ ．

例

求 $504$ 的正因数个数．

$504 = 2^{3} \times 3^{2} \times 7$ ，

$504$ 正因数的个数为： $(3 + 1) \times (2 + 1) \times (1 + 1) = 24$ ．

编者注：素个数个数的计数方法与正因数个数不同，素因数是重复计算的，比如 $9$ 的正因数个数为 $3$ 个： $1$ 、 $3$ 、 $9$ ，素因数个数为 $2$ 个： $3$ 、 $3$ ．

配套例题

看懂这几道题，就掌握了这个点

先做再看解析；做错的题建议加入练习单，到「诊断练习」里集中攻克。

题 A1-03-004难度 C · 综合

四年级⑴班的小朋友期末考试后，爸爸问他考了多少分．他高兴地说：“这次考试，我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数结果是 $2910$ ．”请算出他的名次、年龄和他的这次考试成绩分别为多少？（试卷总分 $100$ 分）

求 $2016$ 的正因数的个数？

【交附自招】 $360$ 的正因数有________个．

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解：⑴ $2910 = 2 \times 3 \times 5 \times 97$ 。试卷总分100分，故97是考试成绩；四年级学生年龄约10岁，即 $10 = 2 \times 5$ ；余下因数3为名次。

⑵ $2016 = 2^{5} \times 3^{2} \times 7$ ，正因数个数为 $(5 + 1) \times (2 + 1) \times (1 + 1) = 36$ 。

⑶ $360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5$ ，正因数个数为 $(3 + 1) \times (2 + 1) \times (1 + 1) = 24$ 。

答：名次3、年龄10岁、成绩97分；36个；24个。

题 A1-03-033

如果 $b^{3} = 1176 a$ ，则 $a$ 可以取到的最小的数是多少？

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∵ 1 1 7 6 ⋅ a = 2 3 × 3 × 7 2 × a = b 3 ，

$∴$ 若 $a$ 取最小，则 $b$ 取最小，反之亦然．

$∴ b$ 最小为 $2 \times 3 \times 7$ ，

$∴ a = 3^{2} \times 7 = 63$ ．

题 A1-03-040

若2021个正整数的乘积 $1 \times 2 \times \dots \times 2021$ 能被 $201 0^{k}$ 整除，则正整数 $k$ 的最大值为．

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解： $2010 = 2 \times 3 \times 5 \times 67$ 。正整数k的最大值，等于2021的阶乘中2、3、5、67这四个素因数各自指数的最小值。

67的指数为 $⌊ 2021 \div 67 ⌋ = 30$ ；而5的指数不小于 $⌊ 2021 \div 5 ⌋ = 404$ ，3的指数不小于 $⌊ 2021 \div 3 ⌋ = 673$ ，2的指数不小于 $⌊ 2021 \div 2 ⌋ = 1010$ ，都大于30，故由67决定。

答：正整数k的最大值为30。