代数1-整除与分数 · 第 003 讲

第3讲整除（二）

40 道题5 个知识模块全讲答案解析已开放

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课前基础

掌握整除、因数和倍数
会使用常见整除特征

本讲目标

准确区分素数、合数、素因数和不同素因数
用短除法写出标准分解式
求最大公因数、最小公倍数并解决反求问题

知识模块 01 · 基础知识

素数、合数与分解素因数

建立素数、合数、素因数和标准分解式，特别注意1与2。

例题 3随堂练习 5作业 7

本模块知识点

素数与合数分解素因数短除法唯一分解

解题路径

先用小素数试除
逐步分解到全部为素因数
按从小到大写成标准形式

知识讲解定义、性质与方法

素数、合数与分解素因数

素数和合数

素数：除了 $1$ 和本身，没有其他因数的正整数．（有两个因数的正整数）
合数：除了 $1$ 和本身，还有其他因数的正整数．（有两个以上因数的正整数）

Tip：⑴ $1$ 既不是素数也不是合数．

⑵ $2$ 是最小的素数，也是唯一的偶素数．

拓展

判断素数合数方法：给定正整数 $P$ ，找出一个数 $k$ ，使得 $k^{2} \geq P > {(k - 1)}^{2}$ ，用不超过 $k$ 的素数去试除 $P$ ，若存在一个这样的素数能整除 $P$ ，则 $P$ 为合数，反之为素数．

分解素因数

素因数：如果一个素数是某个数的因数，那么就说这个素数是这个数的素因数．
分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来．
短除法分解素因数：

⑴先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小开始）去除；

⑵得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续，直到得出的商是素数为止；

⑶然后把各个除数和最后的商从小到大的顺序写成连乘的形式．

例

将 $60$ 分解素因数．

2602303155，所以 $60$ 分解素因数得： $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$

例题教师示范

例题 10教师示范A1-03-001难度 B · 巩固

⑴ 请写出下列各个范围内的素数；

$1 ~ 20$ ： $________________________________________$ ；

$21 ~ 50$ ： $________________________________________$ ；

$51 ~ 70$ ： $________________________________________$ ；

$71 ~ 100$ ： $________________________________________$ ；

所以，我们知道 $1 ~ 100$ 内共有 $_____$ 个素数．

⑵ 请判断正误：

① $18$ 分解素因数是： $18 = 1 \times 2 \times 3 \times 3$ （）

② $24$ 有 $4$ 个素因子（按标准分解式中的重数计），分别是 $2$ ， $2$ ， $2$ ， $3$ （）

③ $12$ 有 $2$ 个不同的素因数，分别是 $2$ ， $3$ （）

④偶数都能分解素因数（）

⑶ 最小的素数是 $_____$ ；唯一的偶素数是 $_____$ ；最小的奇素数是 $_____$ ；最小的合数是 $_____$ ；最小的奇合数是 $_____$ ．

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解：⑴ 1～20：2、3、5、7、11、13、17、19；21～50：23、29、31、37、41、43、47；51～70：53、59、61、67；71～100：71、73、79、83、89、97，共25个。

⑵ ①错误，分解素因数不能含有1，应为 $18 = 2 \times 3 \times 3$ ；②正确， $24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3$ ，在标准分解式中素因子按重数计共有4个，分别是2、2、2、3；③正确，12的不同素因数只有2和3；④错误，偶数2本身是素数，不能分解成若干素数的乘积。

答：⑴ 共25个；⑵ 错、对、对、错；⑶ 2、2、3、4、9。

例题 9教师示范A1-03-002难度 B · 巩固

把下列各数分解素因数：

⑴ $240$ ； ⑵ $715$ ； ⑶ $2015$ ； ⑷ $2019$ ．

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解：⑴ $240 = 2^{4} \times 3 \times 5$ ；⑵ $715 = 5 \times 11 \times 13$ ；⑶ $2015 = 5 \times 13 \times 31$ ；⑷ $2019 = 3 \times 673$ 。

答：见上述标准分解式。

例题 8教师示范A1-03-003难度 C · 综合

⑴ 已知两个素数的和为 $2019$ ,求这两个素数的乘积．

⑵ 如果两个不相等的正整数都不是素数，且它们的积是 $36$ ，那么它们的和是．

⑶ 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ $(a < b < c)$ 为素数，且 $a b + c = 17$ ，求 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的值．

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解：⑴ 2019是奇数，两个素数中必有一个是偶素数2，另一个是2017（2017是素数），乘积为 $2 \times 2017 = 4034$ 。

⑵ $36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3$ 。36的因数对为1与36、2与18、3与12、4与9、6与6；要求两数不相等且都不是素数，只有1与36、4与9两组（1既不是素数也不是合数），和分别为37和13。

⑶ $a b + c = 17$ 为奇数。若a、b、c全为奇素数，则ab与c都是奇数，和为偶数，矛盾，故其中必有偶素数2。由 $a < b < c$ 知 $a = 2$ ，于是 $2 b + c = 17$ 。由c大于b知b小于6，素数b只能取3或5，对应c为11或7。

答：4034；13或37；(a,b,c)为(2,3,11)或(2,5,7)。

练习随堂完成

练习 11随堂完成A1-03-011

分解素因数： $63 =$ __________________________．

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解：用短除法：63先除以3得21，21再除以3得7，7已是素数。

答： $63 = 3 \times 3 \times 7$ 。

练习 10随堂完成A1-03-013

一个两位素数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是素数，这个数是__________________．

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解：两位素数有11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。交换个位与十位后仍为素数的逐一筛选：19交换得91（等于7乘13），23得32，29得92，41得14，43得34，47得74，53得35，59得95，61得16，67得76，83得38，89得98，均不是素数。

其余11、13、17、31、37、71、73、79、97，交换后依次为11、31、71、13、73、17、37、97、79，都是素数。

答：11、13、17、31、37、71、73、79、97。

练习 9随堂完成A1-03-018

最小的自然数是，最小的素数是，最小的合数是，最小的奇数是．

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0，2，4，1

练习 8随堂完成A1-03-019

分解素因数：

12 32 45 51

75 84 42 65

78 93 138 144

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解：逐个数分解素因数并写成标准形式：

$12 = 2^{2} \times 3$ ； $32 = 2^{5}$ ； $45 = 3^{2} \times 5$ ； $51 = 3 \times 17$ ； $75 = 3 \times 5^{2}$ ； $84 = 2^{2} \times 3 \times 7$ 。

$42 = 2 \times 3 \times 7$ ； $65 = 5 \times 13$ ； $78 = 2 \times 3 \times 13$ ； $93 = 3 \times 31$ ； $138 = 2 \times 3 \times 23$ ； $144 = 2^{4} \times 3^{2}$ 。

答：见上述标准分解式。

练习 7随堂完成A1-03-030

20以内的数中不是偶数的合数有，不是奇数的素数有．

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解：20以内的合数为4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20，其中不是偶数的合数是9、15；20以内的素数中，只有2不是奇数。

答：9、15；2。

作业独立完成

作业 19独立完成A1-03-012

有一个四位数，它的四个数字中有两个是奇数，两个是偶数，两个是合数，两个是素数，而且两个合数不互素，两个奇数也不互素，且这个四位数是偶数，则这个四位数最小可能是多少？

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解：一位数字中素数有2、3、5、7，合数有4、6、8、9（0和1两者都不是）。这个四位数恰有两个偶数且是偶数，其中偶素数只能是2，另一个偶数是偶合数；两个奇数中一个是奇素数，另一个是唯一的奇合数9。

两个合数不互素：9与4互素、9与8互素，只有 $(9, 6) = 3$ ，故偶合数取6；两个奇数不互素：9与5、9与7都互素，只有 $(9, 3) = 3$ ，故奇素数取3。

四个数字确定为2、3、6、9。要使四位数最小，千位取最小的2，百位取3；末位必须是偶数，十位取9、个位取6，得到2396。核对：奇数为3、9，偶数为2、6，素数为2、3，合数为9、6，满足全部条件。

答：2396。

作业 18独立完成A1-03-015

若三个不同的素数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $a b^{2} c + a = 200$ ，求 $a + b + c$ 的值．

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解：由 $a b^{2} c + a = a (b^{2} c + 1) = 200$ ，且a是素数，a只可能取2或5。

当 $a = 2$ 时， $b^{2} c = 99 = 3^{2} \times 11$ ，得b为3、c为11，三个素数互不相同，符合条件。

当 $a = 5$ 时， $b^{2} c = 39 = 3 \times 13$ 。39的每个素因数指数都是1，不可能写成“某素数的平方乘另一素数”，故此分支无解。

答： $a + b + c = 2 + 3 + 11 = 16$ 。

作业 17独立完成A1-03-020

在船上，一位船长说：“我已经是四十以上的中年人了，我的儿子不止一个，我的女儿也不止一个．如果把我的年龄、我的儿女数与这条船的长度（整数）相乘，它们的乘积等于32118．”同学们，你们能知道船长的年纪是多少？共有几个儿女？以及这条船的长吗？

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解： $32118 = 2 \times 3 \times 53 \times 101$ 。把四个素因数搭配成年龄、儿女数、船长三个因子：在40～65岁之间的组合只有53，故船长53岁；余下因数2、3、101中，在4～10人之间的组合只有 $2 \times 3 = 6$ ，故儿女6人；剩下的101为船长，且101大于50，符合条件。

答：船长53岁，共有6个儿女，这条船的长是101米。

作业 16独立完成A1-03-026

⑴ 两个素数的和是 $33$ ，则这两个素数的积为．

⑵ 两个素数的和是 $193$ ，则这两个素数的积．

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解：⑴ 33是奇数，两个素数中必有一个是偶素数2，另一个为 $33 - 2 = 31$ ，31是素数，积为 $2 \times 31 = 62$ 。

⑵ 193是奇数，同理一个素数为2，另一个为 $193 - 2 = 191$ ，191是素数，积为 $2 \times 191 = 382$ 。

答：⑴ 62；⑵ 382。

作业 15独立完成A1-03-031

已知两个素数的和为 $50$ ，那么这两个素数的乘积最大可以是．

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解：两个正数的和固定时，两数越接近，乘积越大。50的一半是25，从25两侧向外逐对检查：23与27中27不是素数；19与31都是素数，是离25最近的素数对。

答：乘积最大为 $19 \times 31 = 589$ 。

作业 14独立完成A1-03-036

已知两个素数的和是39，那么这两个素数的积是多少？

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解：39是奇数。两个素数的和为奇数时，其中必有一个是唯一的偶素数2，另一个为 $39 - 2 = 37$ ，37是素数。

答：这两个素数的积为 $2 \times 37 = 74$ 。

作业 13独立完成A1-03-037

三个连续自然数的乘积是120，求这三个数．

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解： $120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5$ ，把素因数搭配成三个连续自然数： $4 \times 5 \times 6 = 120$ 。

答：这三个连续自然数是4、5、6。

知识模块 02 · 解题模型

正因数个数模型

由标准分解式的指数选择数计算正因数个数，并反推数的结构。

例题 1随堂练习 0作业 2

本模块知识点

正因数个数标准分解式指数计数

解题路径

写成素因数幂的乘积
各指数分别加1
将结果相乘

知识讲解定义、性质与方法

正因数个数

Step1：将 $N$ 分解素因数，并写成标准式． $N = a_{1}^{p_{1}} \times a_{2}^{p_{2}} \times a_{3}^{p_{3}} \times a_{4}^{p_{4}} \times \dots \times a_{n}^{p_{n}}$

( $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 为合数 $N$ 的素因数)

Step2：原数的正因数个数： $A = (p_{1} + 1) \times (p_{2} + 1) \times (p_{3} + 1) \times \dots \times (p_{n} + 1)$ ．

例

求 $504$ 的正因数个数．

$504 = 2^{3} \times 3^{2} \times 7$ ，

$504$ 正因数的个数为： $(3 + 1) \times (2 + 1) \times (1 + 1) = 24$ ．

编者注：素个数个数的计数方法与正因数个数不同，素因数是重复计算的，比如 $9$ 的正因数个数为 $3$ 个： $1$ 、 $3$ 、 $9$ ，素因数个数为 $2$ 个： $3$ 、 $3$ ．

例题教师示范

例题 7教师示范A1-03-004难度 C · 综合

四年级⑴班的小朋友期末考试后，爸爸问他考了多少分．他高兴地说：“这次考试，我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数结果是 $2910$ ．”请算出他的名次、年龄和他的这次考试成绩分别为多少？（试卷总分 $100$ 分）

求 $2016$ 的正因数的个数？

【交附自招】 $360$ 的正因数有________个．

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解：⑴ $2910 = 2 \times 3 \times 5 \times 97$ 。试卷总分100分，故97是考试成绩；四年级学生年龄约10岁，即 $10 = 2 \times 5$ ；余下因数3为名次。

⑵ $2016 = 2^{5} \times 3^{2} \times 7$ ，正因数个数为 $(5 + 1) \times (2 + 1) \times (1 + 1) = 36$ 。

⑶ $360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5$ ，正因数个数为 $(3 + 1) \times (2 + 1) \times (1 + 1) = 24$ 。

答：名次3、年龄10岁、成绩97分；36个；24个。

作业独立完成

作业 12独立完成A1-03-033

如果 $b^{3} = 1176 a$ ，则 $a$ 可以取到的最小的数是多少？

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∵ 1 1 7 6 ⋅ a = 2 3 × 3 × 7 2 × a = b 3 ，

$∴$ 若 $a$ 取最小，则 $b$ 取最小，反之亦然．

$∴ b$ 最小为 $2 \times 3 \times 7$ ，

$∴ a = 3^{2} \times 7 = 63$ ．

作业 11独立完成A1-03-040

若2021个正整数的乘积 $1 \times 2 \times \dots \times 2021$ 能被 $201 0^{k}$ 整除，则正整数 $k$ 的最大值为．

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解： $2010 = 2 \times 3 \times 5 \times 67$ 。正整数k的最大值，等于2021的阶乘中2、3、5、67这四个素因数各自指数的最小值。

67的指数为 $⌊ 2021 \div 67 ⌋ = 30$ ；而5的指数不小于 $⌊ 2021 \div 5 ⌋ = 404$ ，3的指数不小于 $⌊ 2021 \div 3 ⌋ = 673$ ，2的指数不小于 $⌊ 2021 \div 2 ⌋ = 1010$ ，都大于30，故由67决定。

答：正整数k的最大值为30。

知识模块 03 · 核心技能

最大公因数与最小公倍数

用分解素因数或短除法求最大公因数和最小公倍数，并理解互素关系。

例题 3随堂练习 3作业 6

本模块知识点

公因数和最大公因数公倍数和最小公倍数互素最大公因数与最小公倍数

解题路径

分解各数的素因数
公有素因数取最低指数求最大公因数
全部素因数取最高指数求最小公倍数

知识讲解定义、性质与方法

最大公因数与最小公倍数

公因数和最大公因数（最大公约数）

公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数．
公因数中最大的数叫做这几个数的最大公因数，一般用符号 $()$ 来表示，即 $(a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot, a_{n}) = d$ ．

例

$24$ 的因数是 $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ ； $32$ 的因数是： $1, 2, 4, 8, 16, 32$ ，

$24$ 和 $32$ 公有的因数有： $1, 2, 4, 8$ ，其中最大的公因数是 $8$ ．

所以 $24$ 与 $32$ 的最大公因数为 $(24 ， 32) = 8$

互素：如果两个整数只有公因数 $1$ ，那么称这两个数互素．

公倍数和最小公倍数

公倍数：几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数．
公倍数中最小的数叫做这几个数的最小公倍数，一般用符号 $[$ $]$ 来表示，即 $[a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot, a_{n}] = m$ ．

例

$3$ 的倍数是 $3, 6, 9, 12, 15, 18 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ ； $4$ 的倍数是： $4, 8, 12, 16, 20, 24 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ ，

$3$ 和 $4$ 的公倍数有： $12, 24, \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ ，其中最小公倍数是 $12$ ．

所以 $3$ 与 $4$ 的最小公倍数为 $[3 ， 4] = 12$

Tip：两个数如果互素，那么它们的最大公因数就是 $1$ ，而最小公倍数就是它们的乘积；两个数如果是倍数关系，那么最大公因数是小的数，最小公倍数是大的数．

求最大公因数和最小公倍数的方法：常用的方法有分解素因数和短除法．

分解素因数法：先得到分解素因数的标准形式，

⑴ 将所有公有素因数的最低次幂相乘得最大公因数；

⑵ 将所有素因数的最高次幂相乘得最小公倍数．

例

求 $231$ 、 $252$ 的最大公因数与最小公倍数

分解素因数： $231 = 3 \times 7 \times 11$ ， $252 = 2^{2} \times 3^{2} \times 7$ ，

所以 $(231, 252) = 3 \times 7 = 21$ ， $[231, 252] = 2^{2} \times 3^{2} \times 7 \times 11 = 2772$

编者注：最大公因数和最小公倍数默认在正整数范围内考虑．

短除法：先求出所有公有的素因数，

⑴ 将所有公有素因数相乘得最大公因数；

⑵ 将公有素因数的积乘以独有的素因数的积得最小公倍数．

例

求 $18$ 、 $12$ 的最大公因数与最小公倍数

先进行短除： $\begin{matrix} 2 \begin{matrix} 18 \\ 12 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \end{matrix} 3 \begin{matrix} 9 \\ 6 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \end{matrix}$ ，所以 $(12, 18) = 2 \times 3 = 6$ ； $[12, 18] = 2^{2} \times 3^{2} = 36$

思考

如何求三个数的最大公因数和最小公倍数？

总结

最大公因数和最小公倍数的性质：

①几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互素数；

②几个数都乘以一个自然数 $n$ ，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以 $n$ ；

③若两个正整数 $a$ 、 $b$ 的最大公因数为 $(a, b)$ ，最小公倍数为 $[a, b]$ ，则 $a \times b = (a, b) \times [a, b]$ ．

例题教师示范

例题 6教师示范A1-03-005难度 C · 综合

⑴ 已知两个数 $a$ ， $b$ 互素，则它们的最大公因数为，最小公倍数为．

⑵ $24$ 的因数中，两两互素的有对．

⑶ 一对互素数的最小公倍数是 $20$ ，那么这两个数分别是．

⑷ 如果 $a$ 、 $b$ 两数的最大公因数是 $7$ ， $a$ 除以 $b$ 所得的商是 $1.5$ ，那么 $b =$ ．

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解：⑴ 两个数互素，最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积，即 $a \times b$ 。

⑵ 24 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、24。含 1 的互素因数对有 7 对：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,6)、(1,8)、(1,12)、(1,24)；不含 1 的有 (2,3)、(3,4)、(3,8) 共 3 对。合计 $7 + 3 = 10$ 对。

⑶ 最小公倍数是 20 且两数互素：把 20 拆成两个互素因数的乘积， $20 = 1 \times 20 = 4 \times 5$ ，所以这两个数是 1 和 20，或 4 和 5。

⑷ 设 $a = 7 m ， b = 7 n$ 且 m、n 互素。由商 $1.5 = \frac{3}{2}$ 得 $m : n = 3 : 2$ ，互素时只能 $m = 3 ， n = 2$ ，所以 $b = 7 \times 2 = 14$ 。

答：⑴ 1，ab；⑵ 10 对；⑶ 1 和 20，或 4 和 5；⑷ $b = 14$ 。

例题 5教师示范A1-03-006难度 B · 巩固

求下列数的最大公因数和最小公倍数：

⑴ $13$ 和 $91$ ；⑵ $21$ 和 $144$ ； ⑶ $360$ 和 $361$ ．

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解：

⑴ $(13, 91) = 13$ ， $[13, 91] = 91$ ；

⑵ $21 = 3 \times 7$ ， $144 = 2^{4} \times 3^{2}$ ，∴ $(21, 144) = 3$ ， $[21, 144] = 1008$ ；

⑶ $(360, 361) = 1$ ， $[360, 361] = 129960$

Tip：相邻的两个正整数互素

答：⑴ 最大公因数13，最小公倍数91；⑵ 最大公因数3，最小公倍数1008；⑶ 最大公因数1，最小公倍数129960。

例题 4教师示范A1-03-007难度 C · 综合

求下列数的最大公因数和最小公倍数：

⑴ $56$ 、 $36$ 和 $84$ ； ⑵ $42$ 、 $56$ 和 $105$ ．

查看答案解析

求下列数的最大公因数和最小公倍数：

⑴ $56$ 、 $36$ 和 $84$ ； ⑵ $42$ 、 $56$ 和 $105$ ．

⑴ $(56, 36, 84) = 4$ ， $[56, 36, 84] = 504$

⑵ $42 = 2 \times 3 \times 7$ ， $56 = 2^{3} \times 7$ ， $105 = 3 \times 5 \times 7$ ，

∴ $(42, 56, 105) = 7$ ， $[42, 56, 105] = 2^{3} \times 3 \times 5 \times 7 = 840$ ．

练习随堂完成

练习 6随堂完成A1-03-014

求 $24$ 、 $32$ 、 $36$ 的最大公因数和最小公倍数．

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解： $24 = 2^{3} \times 3$ ， $32 = 2^{5}$ ， $36 = 2^{2} \times 3^{2}$ 。公有素因数只有2，取最低次幂，最大公因数为 $2^{2} = 4$ ；全部素因数取最高次幂，最小公倍数为 $2^{5} \times 3^{2} = 288$ 。

答：最大公因数是4，最小公倍数是288。

练习 5随堂完成A1-03-021

求下面每组数的最大公约数和最小公倍数

12和30； 24和8；

11和15； 45和60．

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解：12和30： $12 = 2^{2} \times 3$ ， $30 = 2 \times 3 \times 5$ ，最大公因数为6，最小公倍数为60；24和8：24是8的倍数，最大公因数为8，最小公倍数为24；11和15互素，最大公因数为1，最小公倍数为165；45和60： $45 = 3^{2} \times 5$ ， $60 = 2^{2} \times 3 \times 5$ ，最大公因数为15，最小公倍数为180。

答：6和60；8和24；1和165；15和180。

练习 4随堂完成A1-03-024

如果数 $a = 3 \times 3 \times 7$ ， $b = 3 \times 5 \times 7$ ，那么 $a$ 和 $b$ 的最大公因数是，最小公倍数是．

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( a , b ) = 3 × 7 = 2 1 ， [ a ， b ] = 3 2 × 5 × 7 = 3 1 5

作业独立完成

作业 10独立完成A1-03-022

求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数．

⑴ $15, 21$ 和 $35$ ； ⑵ $24, 36$ 和 $48$ ．

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解：⑴ $15 = 3 \times 5$ ， $21 = 3 \times 7$ ， $35 = 5 \times 7$ 。三数没有公有的素因数，最大公因数为1；最小公倍数为 $3 \times 5 \times 7 = 105$ 。

⑵ $24 = 2^{3} \times 3$ ， $36 = 2^{2} \times 3^{2}$ ， $48 = 2^{4} \times 3$ 。最大公因数为 $2^{2} \times 3 = 12$ ，最小公倍数为 $2^{4} \times 3^{2} = 144$ 。

答：⑴ 最大公因数1，最小公倍数105；⑵ 最大公因数12，最小公倍数144。

作业 9独立完成A1-03-025

求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数

⑴ $15$ 和 $25$ ； ⑵ $24$ 和 $28$ ； ⑶ $48$ 和 $64$ ；

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解：⑴ $15 = 3 \times 5$ ， $25 = 5^{2}$ ，最大公因数为5，最小公倍数为75；⑵ $24 = 2^{3} \times 3$ ， $28 = 2^{2} \times 7$ ，最大公因数为4，最小公倍数为 $2^{3} \times 3 \times 7 = 168$ ；⑶ $48 = 2^{4} \times 3$ ， $64 = 2^{6}$ ，最大公因数为16，最小公倍数为 $2^{6} \times 3 = 192$ 。

答：⑴ 5和75；⑵ 4和168；⑶ 16和192。

作业 8独立完成A1-03-027

⑴如果数 $a = 2 \times 2 \times 5$ ， $b = 2 \times 3 \times 3$ ，那么 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数是；最大公因数是．

⑵ 如果数 $a = 2 \times 3 \times 3$ ， $b = 2 \times 3 \times 7$ ， $a$ 和 $b$ 的最小公倍数是．

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解：⑴ 最小公倍数取全部素因数的最高次幂： $2^{2} \times 3^{2} \times 5 = 180$ ；公有素因数只有2，最大公因数为2。

⑵ 最小公倍数为 $2 \times 3^{2} \times 7 = 126$ 。

答：⑴ 最小公倍数180，最大公因数2；⑵ 126。

作业 7独立完成A1-03-028

$m$ ， $n$ ， $l$ 都是二位的正整数且互不相等，已知它们的最小公倍数是385，则 $m + n + l$ 的最大值是．

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∵ 3 8 5 = 5 × 7 × 1 1

$∵ m$ ， $n$ ， $l$ 都是二位的正整数

$∴$ 它们可能取值为77，55，35，11．

$∴ m + n + l$ 的最大值是 $77 + 55 + 35 = 167$ ．

作业 6独立完成A1-03-032

甲数 $= 3 \times M \times 7$ ,乙数 $= 2 \times 3 \times N$ ， $M, N$ 均为素数，甲数和乙数的最大公因数是 $21$ ，则 $M$ 最小可取 $_______$ , $N =$

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甲、乙最大公因数是 2 1 = 3 × 7 ，甲数中的因数已含 2 1 ， M 必须是素数，所以 M 最小可取 3 ，乙数中已含因数 3 ，则 N = 7 ．

作业 5独立完成A1-03-034

若 $x$ 与 $y$ 互素，求 $6 x$ 与 $10 y$ 的最小公倍数．

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解：因为x与y互素，6x与10y的公共素因数只可能是2、3、5：2一定公有；3只有在3整除y时公有；5只有在5整除x时公有。又 $[6 x, 10 y] = 60 x y \div (6 x, 10 y)$ 。

分四种互斥情况：3不整除y且5不整除x时，最大公因数为2，最小公倍数为30xy；3不整除y且5整除x时，最大公因数为10，最小公倍数为6xy；3整除y且5不整除x时，最大公因数为6，最小公倍数为10xy；3整除y且5整除x时，最大公因数为30，最小公倍数为2xy。

答：按上述四种情况，最小公倍数分别为30xy、6xy、10xy、2xy。

知识模块 04 · 提升模型

由最大公因数和最小公倍数反求两数

利用两数乘积等于最大公因数与最小公倍数之积，并结合和差条件枚举互素因子。

例题 3随堂练习 2作业 3

本模块知识点

两数乘积关系互素因子分配和差条件

解题路径

提取最大公因数
把剩余部分设为互素数
利用积、和或差筛选

例题教师示范

例题 3教师示范A1-03-008难度 C · 综合

两数的最大公因数为 $4$ ，最小公倍数为 $240$ ，求这两个数的值．

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设这两个数为 $4 a$ ， $4 b$ （ $a < b$ 且 $a$ 、 $b$ 互素）

$4 a b = 240 \Rightarrow a b = 60 \Rightarrow {\begin{matrix} a = 1 \\ b = 60 \end{matrix}$ 或 ${\begin{matrix} a = 3 \\ b = 20 \end{matrix}$ 或 ${\begin{matrix} a = 4 \\ b = 15 \end{matrix}$ 或 ${\begin{matrix} a = 5 \\ b = 12 \end{matrix}$

∴这两个数为4和240；12和80；16和60；20和48

例题 2教师示范A1-03-009难度 D · 提升

若两个正整数的和是 $667$ ，最小公倍数和最大公因数的商是 $120$ ，求这两个数．

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解：设这两个正整数为Ka与Kb，其中a与b互素且a小于b，则它们的最大公因数为K，最小公倍数为Kab。

由题意，最小公倍数与最大公因数的商为 $K a b \div K = a b = 120$ ，两数之和为 $K (a + b) = 667 = 23 \times 29$ 。

120的互素因数对（a小于b）有1与120、3与40、5与24、8与15，对应的a加b分别为121、43、29、23；其中能整除667的只有29和23。当a加b等于29时，K为23，a、b为5、24，两数为 $23 \times 5 = 115, 23 \times 24 = 552$ ；当a加b等于23时，K为29，a、b为8、15，两数为 $29 \times 8 = 232, 29 \times 15 = 435$ 。

答：552和115，或435和232。

例题 1教师示范A1-03-010难度 D · 提升

老师让同学们计算 $84$ 、 $A$ 和 $396$ 这三个数的最小公倍数，糊涂虫大虎误将 $84$ 看成 $48$ ，结果竟然与正确答案一致，那么 $A$ 最小是多少？

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$84 = 2^{2} \times 3 \times 7$ ， $48 = 2^{4} \times 3$ ， $396 = 2^{2} \times 3^{2} \times 11$ ，

所以 $2^{4} \times 7 | A$ ，

$A$ 最小值为 $112$ ．

练习随堂完成

练习 3随堂完成A1-03-016

如果两个正整数的和是 $75$ ，它们的最大公因数是 $15$ ，那么这两个数分别是多少？

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解：设这两个正整数为15x与15y，其中x与y互素。由两数之和为75得 $15 (x + y) = 75, x + y = 5$ 。和为5的互素正整数对有1与4、2与3两组。

答：这两个数分别是15和60，或30和45。

练习 2随堂完成A1-03-023

若两个正整数的最大公因数为 $10$ ，最小公倍数为 $300$ ，求这两个数的值．

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设这两个数为 1 0 a ， 1 0 b （ a < b 且 a 、 b 互素）

$10 a b = 300 \Rightarrow a b = 30 \Rightarrow {\begin{matrix} a = 1 \\ b = 30 \end{matrix}$ 或 ${\begin{matrix} a = 2 \\ b = 15 \end{matrix}$ 或 ${\begin{matrix} a = 3 \\ b = 10 \end{matrix}$ 或 ${\begin{matrix} a = 5 \\ b = 6 \end{matrix}$

∴这两个数为10和300；20和150；30和100；50和60

作业独立完成

作业 4独立完成A1-03-017

老师在让学生计算 $108$ 、 $A$ 和 $396$ 这三个数的最小公倍数，小明误将 $108$ 看成了 $180$ ，结果竟然与正确答案一致，求 $A$ 的最小值．

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解： $108 = 2^{2} \times 3^{3}$ ， $180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5$ ， $396 = 2^{2} \times 3^{2} \times 11$ 。

要使看错前后两个最小公倍数一致，A必须补上180比108多出的素因数5，并把3的最高次幂补到3次，即A至少含 $3^{3} \times 5 = 135$ 。取A为135时，两组数的最小公倍数都是 $2^{2} \times 3^{3} \times 5 \times 11 = 5940$ ，确实一致。

答：A的最小值是135。

作业 3独立完成A1-03-038

两个数的最大公因数是 $15$ ，最小公倍数是 $450$ ，求这两个数．

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解：设这两个数为15a与15b，其中a与b互素且a小于b。由 $15 a b = 450, a b = 30$ 。30的互素因数对有1与30、2与15、3与10、5与6四组，对应原数分别为15与450、30与225、45与150、75与90。

答：这两个数为15和450、30和225、45和150或75和90。

作业 2独立完成A1-03-039

$A$ 、 $B$ 两数（ $A > B$ ）的最小公倍数除以它们的最大公因数，商是 $12$ ．如果 $A$ 、 $B$ 两数差是 $18$ ，则 $A =$ ， $B =$ ．

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原始解析文档未提供本题解析，已标记为待补充，未用猜测答案代替。

知识模块 05 · 综合训练

素因数与公倍数综合训练

综合训练素数判断、分解素因数、因数个数和最大公因数最小公倍数。

例题 0随堂练习 1作业 1

本模块知识点

素数综合分解素因数综合公因数公倍数综合

解题路径

先完成标准分解
判断所求是因数还是倍数
利用互素和乘积关系验证

练习随堂完成

练习 1随堂完成A1-03-029

为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是2就是3．在密码中2的数目比3多，而且密码能被3或者4整除．则这个密码为______________．

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解：密码由6个2和1个3组成。要被4整除，末两位必须组成4的倍数；22、23、33都不是4的倍数，只有32是4的倍数。

因此唯一的数字3必须在十位，其余各位都是2。

答：2222232。

作业独立完成

作业 1独立完成A1-03-035

若由 $\underset{n个2020}{2020 \dots 2020}$ 被15整除，则 $n$ 的最小值等于（　　）。

A．2　B．3　C．4　D．5

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解：这个整数由n个“2020”首尾相接组成，末位为0，所以一定能被5整除。每个“2020”的数位和为4，整个数的数位和为4n。

要被15整除，还必须被3整除，即3整除4n。因为3与4互素，所以n最小为3。

答：选B。