代数1-整除与分数 · 第3讲整除（二）

最大公因数与最小公倍数

核心技能12 道配套题目

本知识点

公因数和最大公因数公倍数和最小公倍数互素最大公因数与最小公倍数

解题路径

分解各数的素因数
公有素因数取最低指数求最大公因数
全部素因数取最高指数求最小公倍数

最大公因数与最小公倍数

公因数和最大公因数（最大公约数）

公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数．
公因数中最大的数叫做这几个数的最大公因数，一般用符号 $()$ 来表示，即 $(a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot, a_{n}) = d$ ．

例

$24$ 的因数是 $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ ； $32$ 的因数是： $1, 2, 4, 8, 16, 32$ ，

$24$ 和 $32$ 公有的因数有： $1, 2, 4, 8$ ，其中最大的公因数是 $8$ ．

所以 $24$ 与 $32$ 的最大公因数为 $(24 ， 32) = 8$

互素：如果两个整数只有公因数 $1$ ，那么称这两个数互素．

公倍数和最小公倍数

公倍数：几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数．
公倍数中最小的数叫做这几个数的最小公倍数，一般用符号 $[$ $]$ 来表示，即 $[a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot, a_{n}] = m$ ．

例

$3$ 的倍数是 $3, 6, 9, 12, 15, 18 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ ； $4$ 的倍数是： $4, 8, 12, 16, 20, 24 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ ，

$3$ 和 $4$ 的公倍数有： $12, 24, \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ ，其中最小公倍数是 $12$ ．

所以 $3$ 与 $4$ 的最小公倍数为 $[3 ， 4] = 12$

Tip：两个数如果互素，那么它们的最大公因数就是 $1$ ，而最小公倍数就是它们的乘积；两个数如果是倍数关系，那么最大公因数是小的数，最小公倍数是大的数．

求最大公因数和最小公倍数的方法：常用的方法有分解素因数和短除法．

分解素因数法：先得到分解素因数的标准形式，

⑴ 将所有公有素因数的最低次幂相乘得最大公因数；

⑵ 将所有素因数的最高次幂相乘得最小公倍数．

例

求 $231$ 、 $252$ 的最大公因数与最小公倍数

分解素因数： $231 = 3 \times 7 \times 11$ ， $252 = 2^{2} \times 3^{2} \times 7$ ，

所以 $(231, 252) = 3 \times 7 = 21$ ， $[231, 252] = 2^{2} \times 3^{2} \times 7 \times 11 = 2772$

编者注：最大公因数和最小公倍数默认在正整数范围内考虑．

短除法：先求出所有公有的素因数，

⑴ 将所有公有素因数相乘得最大公因数；

⑵ 将公有素因数的积乘以独有的素因数的积得最小公倍数．

例

求 $18$ 、 $12$ 的最大公因数与最小公倍数

先进行短除： $\begin{matrix} 2 \begin{matrix} 18 \\ 12 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \end{matrix} 3 \begin{matrix} 9 \\ 6 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \end{matrix}$ ，所以 $(12, 18) = 2 \times 3 = 6$ ； $[12, 18] = 2^{2} \times 3^{2} = 36$

思考

如何求三个数的最大公因数和最小公倍数？

总结

最大公因数和最小公倍数的性质：

①几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互素数；

②几个数都乘以一个自然数 $n$ ，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以 $n$ ；

③若两个正整数 $a$ 、 $b$ 的最大公因数为 $(a, b)$ ，最小公倍数为 $[a, b]$ ，则 $a \times b = (a, b) \times [a, b]$ ．

配套例题

看懂这几道题，就掌握了这个点

先做再看解析；做错的题建议加入练习单，到「诊断练习」里集中攻克。

题 A1-03-005难度 C · 综合

⑴ 已知两个数 $a$ ， $b$ 互素，则它们的最大公因数为，最小公倍数为．

⑵ $24$ 的因数中，两两互素的有对．

⑶ 一对互素数的最小公倍数是 $20$ ，那么这两个数分别是．

⑷ 如果 $a$ 、 $b$ 两数的最大公因数是 $7$ ， $a$ 除以 $b$ 所得的商是 $1.5$ ，那么 $b =$ ．

查看答案解析

解：⑴ 两个数互素，最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积，即 $a \times b$ 。

⑵ 24 的因数有 1、2、3、4、6、8、12、24。含 1 的互素因数对有 7 对：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,6)、(1,8)、(1,12)、(1,24)；不含 1 的有 (2,3)、(3,4)、(3,8) 共 3 对。合计 $7 + 3 = 10$ 对。

⑶ 最小公倍数是 20 且两数互素：把 20 拆成两个互素因数的乘积， $20 = 1 \times 20 = 4 \times 5$ ，所以这两个数是 1 和 20，或 4 和 5。

⑷ 设 $a = 7 m ， b = 7 n$ 且 m、n 互素。由商 $1.5 = \frac{3}{2}$ 得 $m : n = 3 : 2$ ，互素时只能 $m = 3 ， n = 2$ ，所以 $b = 7 \times 2 = 14$ 。

答：⑴ 1，ab；⑵ 10 对；⑶ 1 和 20，或 4 和 5；⑷ $b = 14$ 。

题 A1-03-006难度 B · 巩固

求下列数的最大公因数和最小公倍数：

⑴ $13$ 和 $91$ ；⑵ $21$ 和 $144$ ； ⑶ $360$ 和 $361$ ．

查看答案解析

解：

⑴ $(13, 91) = 13$ ， $[13, 91] = 91$ ；

⑵ $21 = 3 \times 7$ ， $144 = 2^{4} \times 3^{2}$ ，∴ $(21, 144) = 3$ ， $[21, 144] = 1008$ ；

⑶ $(360, 361) = 1$ ， $[360, 361] = 129960$

Tip：相邻的两个正整数互素

答：⑴ 最大公因数13，最小公倍数91；⑵ 最大公因数3，最小公倍数1008；⑶ 最大公因数1，最小公倍数129960。

题 A1-03-007难度 C · 综合

求下列数的最大公因数和最小公倍数：

⑴ $56$ 、 $36$ 和 $84$ ； ⑵ $42$ 、 $56$ 和 $105$ ．

查看答案解析

求下列数的最大公因数和最小公倍数：

⑴ $56$ 、 $36$ 和 $84$ ； ⑵ $42$ 、 $56$ 和 $105$ ．

⑴ $(56, 36, 84) = 4$ ， $[56, 36, 84] = 504$

⑵ $42 = 2 \times 3 \times 7$ ， $56 = 2^{3} \times 7$ ， $105 = 3 \times 5 \times 7$ ，

∴ $(42, 56, 105) = 7$ ， $[42, 56, 105] = 2^{3} \times 3 \times 5 \times 7 = 840$ ．

题 A1-03-014

求 $24$ 、 $32$ 、 $36$ 的最大公因数和最小公倍数．

查看答案解析

解： $24 = 2^{3} \times 3$ ， $32 = 2^{5}$ ， $36 = 2^{2} \times 3^{2}$ 。公有素因数只有2，取最低次幂，最大公因数为 $2^{2} = 4$ ；全部素因数取最高次幂，最小公倍数为 $2^{5} \times 3^{2} = 288$ 。

答：最大公因数是4，最小公倍数是288。

题 A1-03-021

求下面每组数的最大公约数和最小公倍数

12和30； 24和8；

11和15； 45和60．

查看答案解析

解：12和30： $12 = 2^{2} \times 3$ ， $30 = 2 \times 3 \times 5$ ，最大公因数为6，最小公倍数为60；24和8：24是8的倍数，最大公因数为8，最小公倍数为24；11和15互素，最大公因数为1，最小公倍数为165；45和60： $45 = 3^{2} \times 5$ ， $60 = 2^{2} \times 3 \times 5$ ，最大公因数为15，最小公倍数为180。

答：6和60；8和24；1和165；15和180。

题 A1-03-024

如果数 $a = 3 \times 3 \times 7$ ， $b = 3 \times 5 \times 7$ ，那么 $a$ 和 $b$ 的最大公因数是，最小公倍数是．

查看答案解析

( a , b ) = 3 × 7 = 2 1 ， [ a ， b ] = 3 2 × 5 × 7 = 3 1 5

题 A1-03-022

求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数．

⑴ $15, 21$ 和 $35$ ； ⑵ $24, 36$ 和 $48$ ．

查看答案解析

解：⑴ $15 = 3 \times 5$ ， $21 = 3 \times 7$ ， $35 = 5 \times 7$ 。三数没有公有的素因数，最大公因数为1；最小公倍数为 $3 \times 5 \times 7 = 105$ 。

⑵ $24 = 2^{3} \times 3$ ， $36 = 2^{2} \times 3^{2}$ ， $48 = 2^{4} \times 3$ 。最大公因数为 $2^{2} \times 3 = 12$ ，最小公倍数为 $2^{4} \times 3^{2} = 144$ 。

答：⑴ 最大公因数1，最小公倍数105；⑵ 最大公因数12，最小公倍数144。

题 A1-03-025

求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数

⑴ $15$ 和 $25$ ； ⑵ $24$ 和 $28$ ； ⑶ $48$ 和 $64$ ；

查看答案解析

解：⑴ $15 = 3 \times 5$ ， $25 = 5^{2}$ ，最大公因数为5，最小公倍数为75；⑵ $24 = 2^{3} \times 3$ ， $28 = 2^{2} \times 7$ ，最大公因数为4，最小公倍数为 $2^{3} \times 3 \times 7 = 168$ ；⑶ $48 = 2^{4} \times 3$ ， $64 = 2^{6}$ ，最大公因数为16，最小公倍数为 $2^{6} \times 3 = 192$ 。

答：⑴ 5和75；⑵ 4和168；⑶ 16和192。

题 A1-03-027

⑴如果数 $a = 2 \times 2 \times 5$ ， $b = 2 \times 3 \times 3$ ，那么 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数是；最大公因数是．

⑵ 如果数 $a = 2 \times 3 \times 3$ ， $b = 2 \times 3 \times 7$ ， $a$ 和 $b$ 的最小公倍数是．

查看答案解析

解：⑴ 最小公倍数取全部素因数的最高次幂： $2^{2} \times 3^{2} \times 5 = 180$ ；公有素因数只有2，最大公因数为2。

⑵ 最小公倍数为 $2 \times 3^{2} \times 7 = 126$ 。

答：⑴ 最小公倍数180，最大公因数2；⑵ 126。

题 A1-03-028

$m$ ， $n$ ， $l$ 都是二位的正整数且互不相等，已知它们的最小公倍数是385，则 $m + n + l$ 的最大值是．

查看答案解析

∵ 3 8 5 = 5 × 7 × 1 1

$∵ m$ ， $n$ ， $l$ 都是二位的正整数

$∴$ 它们可能取值为77，55，35，11．

$∴ m + n + l$ 的最大值是 $77 + 55 + 35 = 167$ ．

题 A1-03-032

甲数 $= 3 \times M \times 7$ ,乙数 $= 2 \times 3 \times N$ ， $M, N$ 均为素数，甲数和乙数的最大公因数是 $21$ ，则 $M$ 最小可取 $_______$ , $N =$

查看答案解析

甲、乙最大公因数是 2 1 = 3 × 7 ，甲数中的因数已含 2 1 ， M 必须是素数，所以 M 最小可取 3 ，乙数中已含因数 3 ，则 N = 7 ．

题 A1-03-034

若 $x$ 与 $y$ 互素，求 $6 x$ 与 $10 y$ 的最小公倍数．

查看答案解析

解：因为x与y互素，6x与10y的公共素因数只可能是2、3、5：2一定公有；3只有在3整除y时公有；5只有在5整除x时公有。又 $[6 x, 10 y] = 60 x y \div (6 x, 10 y)$ 。

分四种互斥情况：3不整除y且5不整除x时，最大公因数为2，最小公倍数为30xy；3不整除y且5整除x时，最大公因数为10，最小公倍数为6xy；3整除y且5不整除x时，最大公因数为6，最小公倍数为10xy；3整除y且5整除x时，最大公因数为30，最小公倍数为2xy。

答：按上述四种情况，最小公倍数分别为30xy、6xy、10xy、2xy。

回到本讲继续学去诊断练习全部知识点