由最大公因数和最小公倍数反求两数

本知识点

两数乘积关系互素因子分配和差条件

解题路径

提取最大公因数
把剩余部分设为互素数
利用积、和或差筛选

配套例题

看懂这几道题，就掌握了这个点

先做再看解析；做错的题建议加入练习单，到「诊断练习」里集中攻克。

题 A1-03-008难度 C · 综合

两数的最大公因数为 $4$ ，最小公倍数为 $240$ ，求这两个数的值．

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设这两个数为 $4 a$ ， $4 b$ （ $a < b$ 且 $a$ 、 $b$ 互素）

$4 a b = 240 \Rightarrow a b = 60 \Rightarrow {\begin{matrix} a = 1 \\ b = 60 \end{matrix}$ 或 ${\begin{matrix} a = 3 \\ b = 20 \end{matrix}$ 或 ${\begin{matrix} a = 4 \\ b = 15 \end{matrix}$ 或 ${\begin{matrix} a = 5 \\ b = 12 \end{matrix}$

∴这两个数为4和240；12和80；16和60；20和48

题 A1-03-009难度 D · 提升

若两个正整数的和是 $667$ ，最小公倍数和最大公因数的商是 $120$ ，求这两个数．

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解：设这两个正整数为Ka与Kb，其中a与b互素且a小于b，则它们的最大公因数为K，最小公倍数为Kab。

由题意，最小公倍数与最大公因数的商为 $K a b \div K = a b = 120$ ，两数之和为 $K (a + b) = 667 = 23 \times 29$ 。

120的互素因数对（a小于b）有1与120、3与40、5与24、8与15，对应的a加b分别为121、43、29、23；其中能整除667的只有29和23。当a加b等于29时，K为23，a、b为5、24，两数为 $23 \times 5 = 115, 23 \times 24 = 552$ ；当a加b等于23时，K为29，a、b为8、15，两数为 $29 \times 8 = 232, 29 \times 15 = 435$ 。

答：552和115，或435和232。

题 A1-03-010难度 D · 提升

老师让同学们计算 $84$ 、 $A$ 和 $396$ 这三个数的最小公倍数，糊涂虫大虎误将 $84$ 看成 $48$ ，结果竟然与正确答案一致，那么 $A$ 最小是多少？

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$84 = 2^{2} \times 3 \times 7$ ， $48 = 2^{4} \times 3$ ， $396 = 2^{2} \times 3^{2} \times 11$ ，

所以 $2^{4} \times 7 | A$ ，

$A$ 最小值为 $112$ ．

题 A1-03-016

如果两个正整数的和是 $75$ ，它们的最大公因数是 $15$ ，那么这两个数分别是多少？

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解：设这两个正整数为15x与15y，其中x与y互素。由两数之和为75得 $15 (x + y) = 75, x + y = 5$ 。和为5的互素正整数对有1与4、2与3两组。

答：这两个数分别是15和60，或30和45。

题 A1-03-023

若两个正整数的最大公因数为 $10$ ，最小公倍数为 $300$ ，求这两个数的值．

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设这两个数为 1 0 a ， 1 0 b （ a < b 且 a 、 b 互素）

$10 a b = 300 \Rightarrow a b = 30 \Rightarrow {\begin{matrix} a = 1 \\ b = 30 \end{matrix}$ 或 ${\begin{matrix} a = 2 \\ b = 15 \end{matrix}$ 或 ${\begin{matrix} a = 3 \\ b = 10 \end{matrix}$ 或 ${\begin{matrix} a = 5 \\ b = 6 \end{matrix}$

∴这两个数为10和300；20和150；30和100；50和60

题 A1-03-017

老师在让学生计算 $108$ 、 $A$ 和 $396$ 这三个数的最小公倍数，小明误将 $108$ 看成了 $180$ ，结果竟然与正确答案一致，求 $A$ 的最小值．

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解： $108 = 2^{2} \times 3^{3}$ ， $180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5$ ， $396 = 2^{2} \times 3^{2} \times 11$ 。

要使看错前后两个最小公倍数一致，A必须补上180比108多出的素因数5，并把3的最高次幂补到3次，即A至少含 $3^{3} \times 5 = 135$ 。取A为135时，两组数的最小公倍数都是 $2^{2} \times 3^{3} \times 5 \times 11 = 5940$ ，确实一致。

答：A的最小值是135。

题 A1-03-038

两个数的最大公因数是 $15$ ，最小公倍数是 $450$ ，求这两个数．

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解：设这两个数为15a与15b，其中a与b互素且a小于b。由 $15 a b = 450, a b = 30$ 。30的互素因数对有1与30、2与15、3与10、5与6四组，对应原数分别为15与450、30与225、45与150、75与90。

答：这两个数为15和450、30和225、45和150或75和90。

题 A1-03-039

$A$ 、 $B$ 两数（ $A > B$ ）的最小公倍数除以它们的最大公因数，商是 $12$ ．如果 $A$ 、 $B$ 两数差是 $18$ ，则 $A =$ ， $B =$ ．

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原始解析文档未提供本题解析，已标记为待补充，未用猜测答案代替。