素数、合数与分解素因数

本知识点

素数与合数分解素因数短除法唯一分解

解题路径

先用小素数试除
逐步分解到全部为素因数
按从小到大写成标准形式

素数、合数与分解素因数

素数和合数

素数：除了 $1$ 和本身，没有其他因数的正整数．（有两个因数的正整数）
合数：除了 $1$ 和本身，还有其他因数的正整数．（有两个以上因数的正整数）

Tip：⑴ $1$ 既不是素数也不是合数．

⑵ $2$ 是最小的素数，也是唯一的偶素数．

拓展

判断素数合数方法：给定正整数 $P$ ，找出一个数 $k$ ，使得 $k^{2} \geq P > {(k - 1)}^{2}$ ，用不超过 $k$ 的素数去试除 $P$ ，若存在一个这样的素数能整除 $P$ ，则 $P$ 为合数，反之为素数．

分解素因数

素因数：如果一个素数是某个数的因数，那么就说这个素数是这个数的素因数．
分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来．
短除法分解素因数：

⑴先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小开始）去除；

⑵得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续，直到得出的商是素数为止；

⑶然后把各个除数和最后的商从小到大的顺序写成连乘的形式．

例

将 $60$ 分解素因数．

2602303155，所以 $60$ 分解素因数得： $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$

配套例题

看懂这几道题，就掌握了这个点

先做再看解析；做错的题建议加入练习单，到「诊断练习」里集中攻克。

题 A1-03-001难度 B · 巩固

⑴ 请写出下列各个范围内的素数；

$1 ~ 20$ ： $________________________________________$ ；

$21 ~ 50$ ： $________________________________________$ ；

$51 ~ 70$ ： $________________________________________$ ；

$71 ~ 100$ ： $________________________________________$ ；

所以，我们知道 $1 ~ 100$ 内共有 $_____$ 个素数．

⑵ 请判断正误：

① $18$ 分解素因数是： $18 = 1 \times 2 \times 3 \times 3$ （）

② $24$ 有 $4$ 个素因子（按标准分解式中的重数计），分别是 $2$ ， $2$ ， $2$ ， $3$ （）

③ $12$ 有 $2$ 个不同的素因数，分别是 $2$ ， $3$ （）

④偶数都能分解素因数（）

⑶ 最小的素数是 $_____$ ；唯一的偶素数是 $_____$ ；最小的奇素数是 $_____$ ；最小的合数是 $_____$ ；最小的奇合数是 $_____$ ．

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解：⑴ 1～20：2、3、5、7、11、13、17、19；21～50：23、29、31、37、41、43、47；51～70：53、59、61、67；71～100：71、73、79、83、89、97，共25个。

⑵ ①错误，分解素因数不能含有1，应为 $18 = 2 \times 3 \times 3$ ；②正确， $24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3$ ，在标准分解式中素因子按重数计共有4个，分别是2、2、2、3；③正确，12的不同素因数只有2和3；④错误，偶数2本身是素数，不能分解成若干素数的乘积。

答：⑴ 共25个；⑵ 错、对、对、错；⑶ 2、2、3、4、9。

题 A1-03-002难度 B · 巩固

把下列各数分解素因数：

⑴ $240$ ； ⑵ $715$ ； ⑶ $2015$ ； ⑷ $2019$ ．

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解：⑴ $240 = 2^{4} \times 3 \times 5$ ；⑵ $715 = 5 \times 11 \times 13$ ；⑶ $2015 = 5 \times 13 \times 31$ ；⑷ $2019 = 3 \times 673$ 。

答：见上述标准分解式。

题 A1-03-003难度 C · 综合

⑴ 已知两个素数的和为 $2019$ ,求这两个素数的乘积．

⑵ 如果两个不相等的正整数都不是素数，且它们的积是 $36$ ，那么它们的和是．

⑶ 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ $(a < b < c)$ 为素数，且 $a b + c = 17$ ，求 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的值．

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解：⑴ 2019是奇数，两个素数中必有一个是偶素数2，另一个是2017（2017是素数），乘积为 $2 \times 2017 = 4034$ 。

⑵ $36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3$ 。36的因数对为1与36、2与18、3与12、4与9、6与6；要求两数不相等且都不是素数，只有1与36、4与9两组（1既不是素数也不是合数），和分别为37和13。

⑶ $a b + c = 17$ 为奇数。若a、b、c全为奇素数，则ab与c都是奇数，和为偶数，矛盾，故其中必有偶素数2。由 $a < b < c$ 知 $a = 2$ ，于是 $2 b + c = 17$ 。由c大于b知b小于6，素数b只能取3或5，对应c为11或7。

答：4034；13或37；(a,b,c)为(2,3,11)或(2,5,7)。

题 A1-03-011

分解素因数： $63 =$ __________________________．

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解：用短除法：63先除以3得21，21再除以3得7，7已是素数。

答： $63 = 3 \times 3 \times 7$ 。

题 A1-03-013

一个两位素数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是素数，这个数是__________________．

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解：两位素数有11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。交换个位与十位后仍为素数的逐一筛选：19交换得91（等于7乘13），23得32，29得92，41得14，43得34，47得74，53得35，59得95，61得16，67得76，83得38，89得98，均不是素数。

其余11、13、17、31、37、71、73、79、97，交换后依次为11、31、71、13、73、17、37、97、79，都是素数。

答：11、13、17、31、37、71、73、79、97。

题 A1-03-018

最小的自然数是，最小的素数是，最小的合数是，最小的奇数是．

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0，2，4，1

题 A1-03-019

分解素因数：

12 32 45 51

75 84 42 65

78 93 138 144

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解：逐个数分解素因数并写成标准形式：

$12 = 2^{2} \times 3$ ； $32 = 2^{5}$ ； $45 = 3^{2} \times 5$ ； $51 = 3 \times 17$ ； $75 = 3 \times 5^{2}$ ； $84 = 2^{2} \times 3 \times 7$ 。

$42 = 2 \times 3 \times 7$ ； $65 = 5 \times 13$ ； $78 = 2 \times 3 \times 13$ ； $93 = 3 \times 31$ ； $138 = 2 \times 3 \times 23$ ； $144 = 2^{4} \times 3^{2}$ 。

答：见上述标准分解式。

题 A1-03-030

20以内的数中不是偶数的合数有，不是奇数的素数有．

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解：20以内的合数为4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20，其中不是偶数的合数是9、15；20以内的素数中，只有2不是奇数。

答：9、15；2。

题 A1-03-012

有一个四位数，它的四个数字中有两个是奇数，两个是偶数，两个是合数，两个是素数，而且两个合数不互素，两个奇数也不互素，且这个四位数是偶数，则这个四位数最小可能是多少？

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解：一位数字中素数有2、3、5、7，合数有4、6、8、9（0和1两者都不是）。这个四位数恰有两个偶数且是偶数，其中偶素数只能是2，另一个偶数是偶合数；两个奇数中一个是奇素数，另一个是唯一的奇合数9。

两个合数不互素：9与4互素、9与8互素，只有 $(9, 6) = 3$ ，故偶合数取6；两个奇数不互素：9与5、9与7都互素，只有 $(9, 3) = 3$ ，故奇素数取3。

四个数字确定为2、3、6、9。要使四位数最小，千位取最小的2，百位取3；末位必须是偶数，十位取9、个位取6，得到2396。核对：奇数为3、9，偶数为2、6，素数为2、3，合数为9、6，满足全部条件。

答：2396。

题 A1-03-015

若三个不同的素数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $a b^{2} c + a = 200$ ，求 $a + b + c$ 的值．

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解：由 $a b^{2} c + a = a (b^{2} c + 1) = 200$ ，且a是素数，a只可能取2或5。

当 $a = 2$ 时， $b^{2} c = 99 = 3^{2} \times 11$ ，得b为3、c为11，三个素数互不相同，符合条件。

当 $a = 5$ 时， $b^{2} c = 39 = 3 \times 13$ 。39的每个素因数指数都是1，不可能写成“某素数的平方乘另一素数”，故此分支无解。

答： $a + b + c = 2 + 3 + 11 = 16$ 。

题 A1-03-020

在船上，一位船长说：“我已经是四十以上的中年人了，我的儿子不止一个，我的女儿也不止一个．如果把我的年龄、我的儿女数与这条船的长度（整数）相乘，它们的乘积等于32118．”同学们，你们能知道船长的年纪是多少？共有几个儿女？以及这条船的长吗？

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解： $32118 = 2 \times 3 \times 53 \times 101$ 。把四个素因数搭配成年龄、儿女数、船长三个因子：在40～65岁之间的组合只有53，故船长53岁；余下因数2、3、101中，在4～10人之间的组合只有 $2 \times 3 = 6$ ，故儿女6人；剩下的101为船长，且101大于50，符合条件。

答：船长53岁，共有6个儿女，这条船的长是101米。

题 A1-03-026

⑴ 两个素数的和是 $33$ ，则这两个素数的积为．

⑵ 两个素数的和是 $193$ ，则这两个素数的积．

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解：⑴ 33是奇数，两个素数中必有一个是偶素数2，另一个为 $33 - 2 = 31$ ，31是素数，积为 $2 \times 31 = 62$ 。

⑵ 193是奇数，同理一个素数为2，另一个为 $193 - 2 = 191$ ，191是素数，积为 $2 \times 191 = 382$ 。

答：⑴ 62；⑵ 382。

题 A1-03-031

已知两个素数的和为 $50$ ，那么这两个素数的乘积最大可以是．

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解：两个正数的和固定时，两数越接近，乘积越大。50的一半是25，从25两侧向外逐对检查：23与27中27不是素数；19与31都是素数，是离25最近的素数对。

答：乘积最大为 $19 \times 31 = 589$ 。

题 A1-03-036

已知两个素数的和是39，那么这两个素数的积是多少？

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解：39是奇数。两个素数的和为奇数时，其中必有一个是唯一的偶素数2，另一个为 $39 - 2 = 37$ ，37是素数。

答：这两个素数的积为 $2 \times 37 = 74$ 。

题 A1-03-037

三个连续自然数的乘积是120，求这三个数．

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解： $120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5$ ，把素因数搭配成三个连续自然数： $4 \times 5 \times 6 = 120$ 。

答：这三个连续自然数是4、5、6。