整除条件建模 · 知识点讲解

本知识点

整除的实际应用因数枚举人数范围

解题路径

整除基础

配套例题

看懂这几道题，就掌握了这个点

先做再看解析；做错的题建议加入练习单，到「诊断练习」里集中攻克。

题 A1-04-001难度 B · 巩固

某班同学在何老师带领下去植树，学生恰好能分成人数相等的 $3$ 组，如果何老师与学生每人植树的棵树一样多，共植了 $884$ 棵，那么每人植树多少棵？（学生为 $50$ 人左右）

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所以学生人数为 $2 \times 2 \times 13 - 1 = 51$ 人，且为 $3$ 的倍数

每人植树 $= 884 \div (51 + 1) = 17$ 棵

题 A1-04-002难度 B · 巩固

⑴ 从冬至之日起每九天（包括冬至当天）分为一段，依次称之为一九，二九， $\dots$ ，九九．的冬至为12月21日，的立春是2月3日，那么立春之日是______九的第_______天．

⑵ 筐内有196个苹果，如果不一次拿出，也不一个一个地拿，要求每次拿出的苹果个数同样多，而且正好拿完，那么拿法共有________种．

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解：⑴ 从12月21日到次年2月3日，按包含12月21日计，共 $11 ＋ 31 ＋ 3 ＝ 45$ 天。每九天为一九， $45 ＝ 5 \times 9$ ，所以2月3日是五九第9天。

⑵ $196 ＝ 22 \times 72$ ，共有 $(2 ＋ 1) \times (2 ＋ 1) ＝ 9$ 个正因数。排除一次拿完的196和一次拿1个的1，还剩7个可选的每次数量。

答：五九第9天；7种。

题 A1-04-012

李老师带学生去种树，学生人数恰好平均分成 $3$ 组，如果老师和学生每人种的棵数一样多，共种 $572$ 棵，那么这个班共有多少学生？每人种多少棵树？（假设学生数不少于 $30$ 人，不多于 $60$ 人）

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解：师生每人种树棵数相同，所以师生总人数是572的因数。 $572 ＝ 2 \times 2 \times 11 \times 13$ 。

学生人数在30到60之间，故师生总人数在31到61之间。此范围内572的因数有44和52；总人数减1须是3的倍数， $44 - 1 ＝ 43$ 不是3的倍数，不合题意； $52 - 1 ＝ 51$ 是3的倍数，符合题意。

每人种树 $572 \div 52 ＝ 11$ 棵。

答：这个班共有51名学生，每人种11棵树。