第4讲整除应用 · 章法数学

知识模块 01 · 基础模型

整除条件建模

把人数、分组和平均分配条件翻译为因数与倍数关系。

例题 2随堂练习 1作业 0

本模块知识点

整除的实际应用因数枚举人数范围

解题路径

设共同的每份量
把总量写成因数乘积
结合范围筛选整数解

01

知识讲解定义、性质与方法

整除基础

02

例题教师示范

例题 11教师示范A1-04-001难度 B · 巩固

某班同学在何老师带领下去植树，学生恰好能分成人数相等的 $3$ 组，如果何老师与学生每人植树的棵树一样多，共植了 $884$ 棵，那么每人植树多少棵？（学生为 $50$ 人左右）

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$884 = 2 \times 2 \times 13 \times 17$

所以学生人数为 $2 \times 2 \times 13 - 1 = 51$ 人，且为 $3$ 的倍数

每人植树 $= 884 \div (51 + 1) = 17$ 棵

例题 10教师示范A1-04-002难度 B · 巩固

⑴ 从冬至之日起每九天（包括冬至当天）分为一段，依次称之为一九，二九， $\dots$ ，九九．的冬至为12月21日，的立春是2月3日，那么立春之日是______九的第_______天．

⑵ 筐内有196个苹果，如果不一次拿出，也不一个一个地拿，要求每次拿出的苹果个数同样多，而且正好拿完，那么拿法共有________种．

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解：⑴ 从12月21日到次年2月3日，按包含12月21日计，共 $11 ＋ 31 ＋ 3 ＝ 45$ 天。每九天为一九， $45 ＝ 5 \times 9$ ，所以2月3日是五九第9天。

⑵ $196 ＝ 22 \times 72$ ，共有 $(2 ＋ 1) \times (2 ＋ 1) ＝ 9$ 个正因数。排除一次拿完的196和一次拿1个的1，还剩7个可选的每次数量。

答：五九第9天；7种。

03

练习随堂完成

练习 9随堂完成A1-04-012

李老师带学生去种树，学生人数恰好平均分成 $3$ 组，如果老师和学生每人种的棵数一样多，共种 $572$ 棵，那么这个班共有多少学生？每人种多少棵树？（假设学生数不少于 $30$ 人，不多于 $60$ 人）

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解：师生每人种树棵数相同，所以师生总人数是572的因数。 $572 ＝ 2 \times 2 \times 11 \times 13$ 。

学生人数在30到60之间，故师生总人数在31到61之间。此范围内572的因数有44和52；总人数减1须是3的倍数， $44 - 1 ＝ 43$ 不是3的倍数，不合题意； $52 - 1 ＝ 51$ 是3的倍数，符合题意。

每人种树 $572 \div 52 ＝ 11$ 棵。

答：这个班共有51名学生，每人种11棵树。

知识模块 02 · 解题模型

最大公因数应用

处理等长分割、均匀分组、最大间距和余数反求。

例题 2随堂练习 1作业 3

本模块知识点

最大公因数应用等长分割最大间距同余反求

解题路径

找需要同时整除的数量
求最大公因数
根据题意还原份数或间距

01

知识讲解定义、性质与方法

公因数相关

最大公因数应用题

02

例题教师示范

例题 9教师示范A1-04-003难度 B · 巩固

⑴用 $96$ 朵红花和 $72$ 朵黄花做成花束，如果各束花里红花的朵数相同，黄花的朵数也相同，那么每个花束中至少有________朵花．

⑵长方形的操场，长 $120$ 米，宽 $70$ 米，在四角和四周种上树苗，并使相邻两棵树苗间的距离都相等．问：最远应每隔多少米种一棵？一共需要树苗多少棵？

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解：

⑴【最大公因数】花束数量为 $96$ 和 $72$ 的公因数，问每束至少几朵花，则取最大公因数 $24$

得 $4$ 红 $3$ 黄，至少 $7$ 朵

⑵【最大公因数】 $(120, 70) = 10$ 米， $120 \div 10 = 12$ 棵， $70 \div 10 = 7$ 棵

最远隔 $10$ 米，共需要 $(12 + 7) \times 2 = 38$ 棵

答：⑴ 每束至少7朵；⑵ 最远每隔10米种一棵，共38棵。

例题 8教师示范A1-04-004难度 C · 综合

已知正整数 $a$ ，用 $a$ 除 $64$ 的余数是 $4$ ；用 $a$ 除 $155$ 的余数是 $5$ ；用 $a$ 除 $187$ 的余数是 $7$ ，求 $a$ 的值．

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【最大公因数应用】校内考点，注意除和除以的差别，

即 $a$ 是60，150，180的公因数，且大于余数 $7$ ， $a = 15$ 或 $10$ 或 $30$

03

练习随堂完成

练习 8随堂完成A1-04-020

如图所示，有三根小棒，分别长 $12$ 厘米、 $16$ 厘米和 $44$ 厘米，现在要把它们分别截成相等的小段而且没有剩余．那么每段最长多少厘米？

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解：要把三根小棒分别截成相等的小段且没有剩余，每段长度必须同时整除12、16、44，要求最长就取最大公因数。 $(12, 16, 44) ＝ 4$ 。

答：每段最长4厘米。

04

作业独立完成

作业 18独立完成A1-04-017

一个数，用它去除 $36$ 余 $1$ ，去除 $54$ 余 $4$ ，去除 $55$ 恰好整除，请问这个数是几？

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为求 $35$ ， $50$ ， $55$ 的公因数（且大于余数）

$(35, 50, 55) = 5$ ，只有 $5$ 符合题意

作业 17独立完成A1-04-024

把一个长20厘米，宽16厘米的长方形分割成相同的正方形，最少可以分割成几个？

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( 1 6 , 2 0 ) = 4 所以正方形边长为4厘米，所以共有 1 6 × 2 0 ÷ ( 4 × 4 ) = 2 0 个

作业 16独立完成A1-04-033

有长、宽、高分别为 $48 c m$ 、 $36 c m$ 、 $24 c m$ 的长方体，若要将它锯成若干个大小相同的小正方体，问至少能锯成________块．

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解：要锯成大小相同的小正方体且块数最少，小正方体的棱长应取 48、36、24 的最大公因数 12 厘米。沿长可分成 $48 \div 12 = 4$ 份，沿宽可分成 $36 \div 12 = 3$ 份，沿高可分成 $24 \div 12 = 2$ 份，共 $4 \times 3 \times 2 = 24$ 块。

答：至少能锯成 24 块小正方体。

知识模块 03 · 解题模型

最小公倍数与余数模型

把“每组都多或少相同数量”转化为共同倍数加减固定余数。

例题 2随堂练习 2作业 6

本模块知识点

最小公倍数应用同余问题最小正整数

解题路径

把余数条件改写成整除条件
求相关数的最小公倍数
加减固定余数并检验

01

知识讲解定义、性质与方法

公倍数相关

02

例题教师示范

例题 7教师示范A1-04-005难度 C · 综合

⑴ 有若干个苹果（总数大于6），2个一堆多一个，3个一堆多一个，4个一堆多一个，5个一堆多一个，6个一堆多一个，则这堆苹果最少有________个．

⑵有一个小于 $100$ 的正整数除以 $2$ 余 $1$ ，除以 $3$ 余 $1$ ，除以 $4$ 余 $1$ ，除以 $5$ 余 $1$ ，除以 $6$ 余 $1$ ，则所有可能的正整数为________．

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解：

⑵有一个小于 1 0 0 的正整数除以 2 余 1 ，除以 3 余 1 ，除以 4 余 1 ，除以 5 余 1 ，除以 6 余 1 ，则这个正整数为________．

⑴ 【最小公倍数-同余】因为2、3、4、5、6的最小公倍数是60，所以 $61$

⑵ 【最小公倍数-同余】 $1$ 或 $61$

答：⑴ 61个；⑵ 1或61。

例题 6教师示范A1-04-006难度 C · 综合

⑴ 一筐苹果，如果按5个一堆放，最后多出3个．如果按6个一堆放，最后多出4个．如果按7个一堆放，还多出5个．这筐苹果至少有________个．

⑵ 有一筐橘子， $7$ 个一数还多 $4$ 个， $5$ 个一数又少 $3$ 个， $3$ 个一数恰好数完，这筐橘子至少有_____个．

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解：

⑴ 【最小公倍数-同补】5，6，7的最小公倍数为 $210$ ，所以最少为 $208$ 个

⑵ 【最小公倍数-同补】橘子个数加 $3$ 恰好为 $3$ ， $5$ ， $7$ 的公倍数，又 $[3, 5, 7] = 105$ ，所以至少有 $105 - 3 = 102$ 个

答：⑴ 208个；⑵ 102个。

03

练习随堂完成

练习 7随堂完成A1-04-014

某中学六年级参加市“中国梦▪我的梦”朗读比赛．排队时要各队人数相同，如果排成 $3$ 队就多 $1$ 人，如果排成 $5$ 队也多 $1$ 人，如果排成 $7$ 队同样也多 $1$ 人．这所中学六年级至少有多少个学生？

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$[3, 5, 7] = 105$ ， $105 + 1 = 106$ 人

练习 6随堂完成A1-04-021

某学校同学参加“中国梦▪我的梦”体操表演，要求除了领操的 $2$ 人外，其余同学既能平均分成 $6$ 组，又能平均分成 $8$ 组，进行队形变换，这个学校至少有多少人参加“中国梦▪我的梦”体操表演？

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[ 6 , 8 ] = 2 4 ， 2 4 + 2 = 2 6 人

04

作业独立完成

作业 15独立完成A1-04-018

一个两位数，除以 $5$ 余 $3$ ，除以 $6$ 余 $4$ ，除以 $9$ 余 $7$ ，求这个数.

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解：除以5余3、除以6余4、除以9余7，余数都比除数少2，所以这个数加2后能同时被5、6、9整除。 $[5, 6, 9] ＝ 90$ 。

这个两位数为 $90 - 2 ＝ 88$ 。

答：这个数是88。

作业 14独立完成A1-04-025

除以8和9都余1的所有3位数之和是 $($ 　　 $)$

A．6492 B．6565 C．7501 D．7574

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解：除以8和9都余1的数，减去1后是8和9的公倍数。 $[8, 9] ＝ 72$ ，故符合条件的数为73、145、217、…，其中三位数从 $72 \times 2 ＋ 1 ＝ 145$ 起，到 $72 \times 13 ＋ 1 ＝ 937$ 止，共12个。

它们的和为 $(145 ＋ 937) \times 12 \div 2 ＝ 6492$ 。

答：选A，和为6492。

作业 13独立完成A1-04-026

一个不大于 $200$ 的自然数除以 $3$ 余 $1$ ，除以 $4$ 余 $1$ ，除以 $8$ 余 $1$ ，除以 $14$ 余 $1$ ，则这个自然数是多少？

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解：这个自然数减1后能同时被3、4、8、14整除，而 $[3, 4, 8, 14] ＝ 168$ ，所以这个数是168的倍数加1。

不大于200时，符合条件的为1和 $168 ＋ 1 ＝ 169$ 。

答：这个自然数是1或169。

作业 12独立完成A1-04-028

一个四位数除以 $10$ 余 $9$ ，除以 $9$ 余 $8$ ，除以 $8$ 余 $7$ ，除以 $7$ 余 $6$ ，除以 $6$ 余 $5$ ，除以 $5$ 余 $4$ ，除以 $4$ 余 $3$ ，除以 $3$ 余 $2$ ，除以 $2$ 余 $1$ ，则这个数最小可能是多少？

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解：除以10余9、除以9余8、…、除以2余1，余数都比除数少1，所以这个数加1后能同时被2到10整除。 $[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10] ＝ 2520$ 。

最小的四位数加1等于2520，故这个数为 $2520 - 1 ＝ 2519$ 。

答：这个数最小是2519。

作业 11独立完成A1-04-029

在不大于2003的自然数中，既能被2除余1，又能被3除余1的数共有 $($ 　　 $)$ 个．

A．333个 B．334个 C．335个 D．336个

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解：同时除以2、3都余1，等价于除以6余1。所有符合条件的数为1、7、13、…、1999。

项数为 $(1999 - 1) \div 6 ＋ 1 ＝ 334$ 。

答：选B，334个。

作业 10独立完成A1-04-031

有一个三位数，被9除余7，被7除余5，被3除余1，这个数的最小值是____________．

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解：被 9 除余 7、被 7 除余 5、被 3 除余 1，余数都比除数少 2，因此这个数加上 2 就能同时被 9、7、3 整除。9、7、3 的最小公倍数是 $9 \times 7 = 63$ ，所以这个三位数是 63 的倍数减 2。不小于 100 的最小值为 $63 \times 2 - 2 = 124$ 。检验： $124 \div 9 = 13 \dots\dots 7$ ， $124 \div 7 = 17 \dots\dots 5$ ， $124 \div 3 = 41 \dots\dots 1$ 。

答：这个数的最小值是 124。

知识模块 04 · 应用模型

周期重合与植树模型

统一处理重新植树、跑道彩旗、脚印重合和周期事件再次同时发生。

例题 4随堂练习 4作业 5

本模块知识点

周期重合植树问题环形问题脚印模型

解题路径

确定各自周期
用最小公倍数求重合周期
根据直线或环形端点规则计数

01

例题教师示范

例题 5教师示范A1-04-007难度 B · 巩固

小林和小红在长为 $200$ 米的小路的一边种树，小林在小路的一端开始，每隔 $4$ 米种一棵，小红从小路另一端开始，每隔 $10$ 米种一棵，问他们一共种了多少棵树？

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【最小公倍数-二元容斥-直线型（单边）】

$200 \div 4 = 50$ ， $200 \div 10 = 20$ ， $[4, 10] = 20 \Rightarrow 200 \div 20 = 10$ ，

∴共植树 $(50 + 1) + (20 + 1) - (10 + 1) = 61$ 棵

例题 4教师示范A1-04-008难度 C · 综合

在植树节，小朋友们沿着长为 $400$ 米的马路两边种树，大家先从路的一端开始，在马路的两旁挖坑，每隔 $15$ 米挖一个坑．等坑全部挖好开始种树时，发现相邻两棵树之间的距离太远，于是改成每隔 $10$ 米种一棵树，那么在开始挖好的坑里，有多少个最后是空着的？

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解：原来每边的坑位为0、15、30、…、390米，共27个，两边共54个。

改为每10米种树后，原坑中仍被使用的位置是15和10的公倍数位置，即0、30、60、…、390米，每边14个，两边共28个。

答：最后空着 $54 - 28 ＝ 26$ 个原坑。

例题 3教师示范A1-04-009难度 C · 综合

一个400米的环形跑道，原来每隔5米插有一面彩旗，现在需要改成每隔8米插一面彩旗，不需要拔掉的彩旗有几面？

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【最小公倍数-二元容斥-环形】

$[5, 8] = 40$ ，所以每隔40米有一面旗不需要拔，所以 $400 \div 40 = 10$ 面

例题 2教师示范A1-04-010难度 D · 提升

大雪过后的一天，小明和爸爸共同测一个圆形花园的周长．他俩的起点和走道方向完全相同，小明的两脚印之间的距离为 $54$ 厘米，爸爸两脚印之间的距离为 $72$ 厘米（忽略脚印的大小），由于脚印有重合，并且他们走了一圈后又回到了起点，这时雪地上只留下 $60$ 个脚印，这个花园的周长为多少米？

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【最小公倍数-二元容斥-环形】

法一： $[54, 72] = 216$ ，每 $216 c m$ ，小明脚印增加 $4$ 个，爸爸脚印增加 $3$ 个，但两人重复一个脚印，故每 $216 c m$ ，脚印增加 $6$ 个． $60 \div 6 = 10$ ，两人走了 $10$ 次 $216 c m$ ，故花园周长为 $216 \times 10 = 2160$ 厘米 $= 21.6$ 米

法二：方程方法，设花园周长为 $x$ 厘米，则 $\frac{x}{54} + \frac{x}{72} - \frac{x}{216} = 60$ ，解得 $x = 2160$

故周长为 $21.6$ 米．

02

练习随堂完成

练习 5随堂完成A1-04-013

某超市的门口有图案和文字两种装饰灯，文字装饰灯的颜色每 $9$ 分钟变一次，图案装饰灯的颜色每半小时变一次．晚间 $18$ 点整同时使用这两种装饰灯．

⑴那么至少再过多少时间，两种装饰灯同时变颜色？

⑵节日期间，超市晚间 $23$ 点整结束营业，请问在节日期间晚间营业中，哪些时刻这两种装饰灯同时变颜色？

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解：⑴ 文字灯每9分钟变一次，图案灯每半小时即30分钟变一次。 $[9, 30] ＝ 90$ ，所以至少再过90分钟两种灯同时变颜色。

⑵ 从18时起，每隔90分钟两灯同时变一次：18时加90分钟是19时30分，之后依次是21时、22时30分；再到24时已超过23时结束营业。

答：⑴ 至少再过90分钟；⑵ 19:30、21:00、22:30这三个时刻两种装饰灯同时变颜色。

练习 4随堂完成A1-04-015

小红在操场周围种树，开始时每隔 $3$ 米种一棵，种到 $9$ 棵后，发现树苗不够，于是决定重种，改为每隔 $4$ 米一棵，这时重种时，不必再拔掉的树有多少棵？

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解：已种的9棵树分布在 $(9 - 1) \times 3 ＝ 24$ 米长的路段上，位置为0、3、6、…、24米。

改为每隔4米一棵后，从起点起新位置为0、4、8、…、24米。 $[3, 4] ＝ 12$ ，新旧位置在0、12、24米处重合，共 $24 \div 12 ＋ 1 ＝ 3$ 棵。

答：不必再拔掉的树有3棵。

练习 3随堂完成A1-04-019

从运动场的一端到另一端全长 $100$ 米，从一端起到另一端为止每隔 $4$ 米插一面小红旗，现在要改成每隔 $5$ 米插一面小红旗，有多少面小红旗不用移动？

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在公倍数的地方和起点不用移动

$[4, 5] = 20$ ，所以在起点、 $20$ 米、 $40$ 米、 $60$ 米、 $80$ 米、 $100$ 米位置不用移动，共 $6$ 面．

练习 2随堂完成A1-04-023

一排电线杆每两根之间的距离是 $60$ 米，现在要改为 $45$ 米，如果起点的一根不动，再过多远又有一根不动？

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在最小公倍数的地方不动，为 1 8 0 米．

03

作业独立完成

作业 9独立完成A1-04-016

在一根长木棍上，有三种刻度线：第一种刻度线将木棍分成十等分，第二种刻度线将木棍分成十二等分，第三种刻度线将木棍分成十五等分．如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？

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解：设木棍长60（10、12、15的最小公倍数）。十等分刻度在6的倍数处，内部共9条；十二等分刻度在5的倍数处，内部共11条；十五等分刻度在4的倍数处，内部共14条。

重合刻度：6与5的公倍数处有 $60 \div 30 - 1 ＝ 1$ 条，6与4的公倍数处有 $60 \div 12 - 1 ＝ 4$ 条，5与4的公倍数处有 $60 \div 20 - 1 ＝ 2$ 条，三种刻度共同重合处在端点60，内部为0条。

实际锯口共 $9 ＋ 11 ＋ 14 - 1 - 4 - 2 ＝ 27$ 条，段数为 $27 ＋ 1 ＝ 28$ 。

答：木棍总共被锯成28段。

作业 8独立完成A1-04-022

小林 $7$ 月和 $8$ 月参加钢琴和拳击的培训，两项培训都是从 $7$ 月 $1$ 日开始，钢琴课每上一次休息 $3$ 天，拳击课每上一次休息 $6$ 天，则小林整个暑假中有几天是有培训的？

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解：7 月和 8 月共 $31 + 31 = 62$ 天。钢琴课每上一次休息 3 天，即每 4 天一次，上课日为第 1、5、9、… 天，共 $⌊ 62 \div 4 ⌋ + 1 = 16$ 天；拳击课每上一次休息 6 天，即每 7 天一次，上课日为第 1、8、15、… 天，共 $⌊ 62 \div 7 ⌋ + 1 = 9$ 天。两项培训同一天为每 28 天一次（4 和 7 的最小公倍数是 28），即第 1、29、57 天，共 3 天。由容斥原理，有培训的天数为 $16 + 9 - 3 = 22$ 天。

答：整个暑假中有 22 天有培训。

作业 7独立完成A1-04-027

一个600米的环形跑道，原来每隔6米插有一面彩旗，现在需要改成每隔8米插一面彩旗，不需要拨掉的彩旗有几面？

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[ 6 , 8 ] = 2 4 ，所以每隔24米有一面旗不需要拔，所以 6 0 0 ÷ 2 4 = 2 5 面

作业 6独立完成A1-04-030

如图，在某高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设置一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设置一个测速照相机标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志．那么下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是千米．

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解：从19千米处起，两类标志再次重合的距离必须同时是4和9的倍数。4与9互素，最小公倍数为36。

答：下一个重合位置是 $19 ＋ 36 ＝ 55$ 千米。

作业 5独立完成A1-04-034

某天，老刘与儿子大华、孙子小毛在甲、乙两地间进行匀速的往返跑．已知大华、小毛及老刘各自往返一趟分别耗时2分钟、5分钟和7分钟．最初，三人都在甲地，老刘出发2分钟后，孙子小毛立即出发，再经过3分钟后儿子大华随即出发．那么，大华出发_______分钟后，三人第二次同时汇合于甲地．

查看答案解析

在大华耗时2分钟回到甲地时，三人第一次同时汇合于甲地．随后三人同时从甲地出发，经过最短时间2分钟、5分钟、7分钟的最小公倍数70分钟后，三人将又一次同时汇合于甲地．所以大华出发 2 + 7 0 = 7 2 （分钟）后，三人第二次同时汇合于甲地．

知识模块 05 · 提升模型

整除计数与容斥

计算一定范围内能被若干数整除或均不能整除的整数个数。

例题 1随堂练习 1作业 3

本模块知识点

整除计数容斥原理倍数个数

解题路径

分别计算各类倍数个数
减去重复计数的公倍数
处理补集并检查端点

01

例题教师示范

例题 1教师示范A1-04-011难度 E · 挑战

⑴ 从 $1$ 到 $1000$ 的 $1000$ 个数中，能被 $4$ 或者 $6$ 整除的整数有多少个？

⑵ 在小于 $2021$ 的正整数中，即不能被 $2$ 整除也不能被 $3$ 或 $5$ 整除的数有几个？

查看答案解析

解：⑴ 1～1000中4的倍数有250个，6的倍数有166个，12的倍数有83个。由容斥原理得 $250 ＋ 166 - 83 ＝ 333$ 个。

⑵ 1～2020中，至少能被2、3、5之一整除的数有 $1010 ＋ 673 ＋ 404 - 336 - 202 - 134 ＋ 67 ＝ 1482$ 个。

答：⑴ 333个；⑵ $2020 - 1482 ＝ 538$ 个。

02

练习随堂完成

练习 1随堂完成A1-04-032

在1、2、3、 $\dots$ 、2020这2020个自然数中有多少个自然数能同时被2和3整除，而不能被5整除？

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[ 2 , 3 ] = 6 ， [ 2 , 3 , 5 ] = 3 0

$2020 \div 6 = 336 \dots \dots 4$ ， $2020 \div 30 = 67 \dots \dots 10$

所以：能同时被2和3整除，而且不能被5整除的数有 $336 - 67 = 269$ （个 $)$

03

作业独立完成

作业 4独立完成A1-04-036

先将100个杯子排成一列，杯口朝上．从左向右从1数到100，数到3的倍数时把杯子翻过来；再从左向右从1数到100，数到7的倍数时把杯子翻过来，那么最后有______个杯子杯口朝上．

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1 0 0 个杯子中，有 3 3 个 3 的倍数， 1 4 个 7 倍数，有 4 个 2 1 的倍数

∴ $100 - 33 - 14 + 4 \times 2 = 61$ 个

作业 3独立完成A1-04-037

先将100个杯子排成一列，杯口朝上．从左向右从1数到100，数到3的倍数时把杯子翻过来；再从右向左从1数到100，数到7的倍数时把杯子翻过来，那么最后有______个杯子杯口朝上．

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解：设杯子从左到右编号为1到100，从左数编号为 $p$ 的杯子，从右数它是第 $101 - p$ 个。第一次翻动要求 $p$ 是3的倍数，第二次翻动要求 $101 - p$ 是7的倍数。

1～100中第一次翻动33个，第二次翻动14个；联立 $p \equiv 0 (mod 3)$ 与 $p \equiv 3 (mod 7)$ ，得 $p ＝ 3 、 24 、 45 、 66 、 87$ ，共5个杯子翻动两次。

答：最后杯口朝上的有 $100 - 33 - 14 ＋ 2 \times 5 ＝ 63$ 个。

作业 2独立完成A1-04-038

我们知道4不是3的倍数，5也不是3的倍数，但4与5的和却是3的倍数．现从1到100这100个自然数中，任意选两个不同的数组成一个有序数对 $(m, n)$ ，其中 $m$ ， $n$ 均不是3的倍数，但 $m$ 与 $n$ 的和恰好是3的倍数，则这样的有序数对共有________对．

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两个数的和是3的倍数，只有一个除3余1的数和一个除3余2的数的和是3的倍数，

所以， $m$ 是除3余1的数， $n$ 必是除3余2的数或 $m$ 是除3余2的数， $n$ 必是除3余1的数，

而从1到100这100个自然数中，除3余1的数有34个，除3余2的数有33个，

满足条件的有序数对共有 $34 \times 33 + 33 \times 34 = 2244$ 对，

知识模块 06 · 综合训练

整除应用综合训练

在真实情境中综合使用因数、倍数、余数、周期和容斥。

例题 0随堂练习 0作业 1

本模块知识点

整除应用综合公因数公倍数综合周期与余数

解题路径

提取重复或平均条件
选择最大公因数、最小公倍数或同余
结合实际范围作答

01

作业独立完成

作业 1独立完成A1-04-035

超市送货员将9袋桔子送往甲、乙、丙3家客户．这9袋桔子的重量（千克数）分别为22，25，28，31，34，36，38，40，45．客户丙家只送了1袋．回来后，送货员记不清送往客户丙家的是多重的一袋，但是他记得送往客户甲家的重量是送往客户乙家的重量的2倍，则送往客户丙家的1袋桔子重量（千克数）为_______．

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解：九袋总重为299千克。甲的重量是乙的2倍，所以甲乙总重是3的倍数；丙家一袋的重量除以3应与299同余，即余2。

九个重量中只有38除以3余2，所以候选为38千克。还需验证可分配：余下261千克可把 $22 ＋ 25 ＋ 40 ＝ 87$ 千克送乙，其余174千克送甲，确有 $174 ＝ 2 \times 87$ 。

答：38千克。