最大公因数应用 · 知识点讲解

本知识点

最大公因数应用等长分割最大间距同余反求

解题路径

找需要同时整除的数量
求最大公因数
根据题意还原份数或间距

公因数相关

最大公因数应用题

配套例题

看懂这几道题，就掌握了这个点

先做再看解析；做错的题建议加入练习单，到「诊断练习」里集中攻克。

题 A1-04-003难度 B · 巩固

⑴用 $96$ 朵红花和 $72$ 朵黄花做成花束，如果各束花里红花的朵数相同，黄花的朵数也相同，那么每个花束中至少有________朵花．

⑵长方形的操场，长 $120$ 米，宽 $70$ 米，在四角和四周种上树苗，并使相邻两棵树苗间的距离都相等．问：最远应每隔多少米种一棵？一共需要树苗多少棵？

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解：

⑴【最大公因数】花束数量为 $96$ 和 $72$ 的公因数，问每束至少几朵花，则取最大公因数 $24$

得 $4$ 红 $3$ 黄，至少 $7$ 朵

⑵【最大公因数】 $(120, 70) = 10$ 米， $120 \div 10 = 12$ 棵， $70 \div 10 = 7$ 棵

最远隔 $10$ 米，共需要 $(12 + 7) \times 2 = 38$ 棵

答：⑴ 每束至少7朵；⑵ 最远每隔10米种一棵，共38棵。

题 A1-04-004难度 C · 综合

已知正整数 $a$ ，用 $a$ 除 $64$ 的余数是 $4$ ；用 $a$ 除 $155$ 的余数是 $5$ ；用 $a$ 除 $187$ 的余数是 $7$ ，求 $a$ 的值．

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【最大公因数应用】校内考点，注意除和除以的差别，

即 $a$ 是60，150，180的公因数，且大于余数 $7$ ， $a = 15$ 或 $10$ 或 $30$

题 A1-04-020

如图所示，有三根小棒，分别长 $12$ 厘米、 $16$ 厘米和 $44$ 厘米，现在要把它们分别截成相等的小段而且没有剩余．那么每段最长多少厘米？

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解：要把三根小棒分别截成相等的小段且没有剩余，每段长度必须同时整除12、16、44，要求最长就取最大公因数。 $(12, 16, 44) ＝ 4$ 。

答：每段最长4厘米。

题 A1-04-017

一个数，用它去除 $36$ 余 $1$ ，去除 $54$ 余 $4$ ，去除 $55$ 恰好整除，请问这个数是几？

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为求 $35$ ， $50$ ， $55$ 的公因数（且大于余数）

$(35, 50, 55) = 5$ ，只有 $5$ 符合题意

题 A1-04-024

把一个长20厘米，宽16厘米的长方形分割成相同的正方形，最少可以分割成几个？

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( 1 6 , 2 0 ) = 4 所以正方形边长为4厘米，所以共有 1 6 × 2 0 ÷ ( 4 × 4 ) = 2 0 个

题 A1-04-033

有长、宽、高分别为 $48 c m$ 、 $36 c m$ 、 $24 c m$ 的长方体，若要将它锯成若干个大小相同的小正方体，问至少能锯成________块．

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解：要锯成大小相同的小正方体且块数最少，小正方体的棱长应取 48、36、24 的最大公因数 12 厘米。沿长可分成 $48 \div 12 = 4$ 份，沿宽可分成 $36 \div 12 = 3$ 份，沿高可分成 $24 \div 12 = 2$ 份，共 $4 \times 3 \times 2 = 24$ 块。

答：至少能锯成 24 块小正方体。