最小公倍数与余数模型

本知识点

最小公倍数应用同余问题最小正整数

解题路径

把余数条件改写成整除条件
求相关数的最小公倍数
加减固定余数并检验

公倍数相关

配套例题

看懂这几道题，就掌握了这个点

先做再看解析；做错的题建议加入练习单，到「诊断练习」里集中攻克。

题 A1-04-005难度 C · 综合

⑴ 有若干个苹果（总数大于6），2个一堆多一个，3个一堆多一个，4个一堆多一个，5个一堆多一个，6个一堆多一个，则这堆苹果最少有________个．

⑵有一个小于 $100$ 的正整数除以 $2$ 余 $1$ ，除以 $3$ 余 $1$ ，除以 $4$ 余 $1$ ，除以 $5$ 余 $1$ ，除以 $6$ 余 $1$ ，则所有可能的正整数为________．

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解：

⑵有一个小于 1 0 0 的正整数除以 2 余 1 ，除以 3 余 1 ，除以 4 余 1 ，除以 5 余 1 ，除以 6 余 1 ，则这个正整数为________．

⑴ 【最小公倍数-同余】因为2、3、4、5、6的最小公倍数是60，所以 $61$

⑵ 【最小公倍数-同余】 $1$ 或 $61$

答：⑴ 61个；⑵ 1或61。

题 A1-04-006难度 C · 综合

⑴ 一筐苹果，如果按5个一堆放，最后多出3个．如果按6个一堆放，最后多出4个．如果按7个一堆放，还多出5个．这筐苹果至少有________个．

⑵ 有一筐橘子， $7$ 个一数还多 $4$ 个， $5$ 个一数又少 $3$ 个， $3$ 个一数恰好数完，这筐橘子至少有_____个．

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解：

⑴ 【最小公倍数-同补】5，6，7的最小公倍数为 $210$ ，所以最少为 $208$ 个

⑵ 【最小公倍数-同补】橘子个数加 $3$ 恰好为 $3$ ， $5$ ， $7$ 的公倍数，又 $[3, 5, 7] = 105$ ，所以至少有 $105 - 3 = 102$ 个

答：⑴ 208个；⑵ 102个。

题 A1-04-014

某中学六年级参加市“中国梦▪我的梦”朗读比赛．排队时要各队人数相同，如果排成 $3$ 队就多 $1$ 人，如果排成 $5$ 队也多 $1$ 人，如果排成 $7$ 队同样也多 $1$ 人．这所中学六年级至少有多少个学生？

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$[3, 5, 7] = 105$ ， $105 + 1 = 106$ 人

题 A1-04-021

某学校同学参加“中国梦▪我的梦”体操表演，要求除了领操的 $2$ 人外，其余同学既能平均分成 $6$ 组，又能平均分成 $8$ 组，进行队形变换，这个学校至少有多少人参加“中国梦▪我的梦”体操表演？

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[ 6 , 8 ] = 2 4 ， 2 4 + 2 = 2 6 人

题 A1-04-018

一个两位数，除以 $5$ 余 $3$ ，除以 $6$ 余 $4$ ，除以 $9$ 余 $7$ ，求这个数.

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解：除以5余3、除以6余4、除以9余7，余数都比除数少2，所以这个数加2后能同时被5、6、9整除。 $[5, 6, 9] ＝ 90$ 。

这个两位数为 $90 - 2 ＝ 88$ 。

答：这个数是88。

题 A1-04-025

除以8和9都余1的所有3位数之和是 $($ 　　 $)$

A．6492 B．6565 C．7501 D．7574

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解：除以8和9都余1的数，减去1后是8和9的公倍数。 $[8, 9] ＝ 72$ ，故符合条件的数为73、145、217、…，其中三位数从 $72 \times 2 ＋ 1 ＝ 145$ 起，到 $72 \times 13 ＋ 1 ＝ 937$ 止，共12个。

它们的和为 $(145 ＋ 937) \times 12 \div 2 ＝ 6492$ 。

答：选A，和为6492。

题 A1-04-026

一个不大于 $200$ 的自然数除以 $3$ 余 $1$ ，除以 $4$ 余 $1$ ，除以 $8$ 余 $1$ ，除以 $14$ 余 $1$ ，则这个自然数是多少？

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解：这个自然数减1后能同时被3、4、8、14整除，而 $[3, 4, 8, 14] ＝ 168$ ，所以这个数是168的倍数加1。

不大于200时，符合条件的为1和 $168 ＋ 1 ＝ 169$ 。

答：这个自然数是1或169。

题 A1-04-028

一个四位数除以 $10$ 余 $9$ ，除以 $9$ 余 $8$ ，除以 $8$ 余 $7$ ，除以 $7$ 余 $6$ ，除以 $6$ 余 $5$ ，除以 $5$ 余 $4$ ，除以 $4$ 余 $3$ ，除以 $3$ 余 $2$ ，除以 $2$ 余 $1$ ，则这个数最小可能是多少？

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解：除以10余9、除以9余8、…、除以2余1，余数都比除数少1，所以这个数加1后能同时被2到10整除。 $[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10] ＝ 2520$ 。

最小的四位数加1等于2520，故这个数为 $2520 - 1 ＝ 2519$ 。

答：这个数最小是2519。

题 A1-04-029

在不大于2003的自然数中，既能被2除余1，又能被3除余1的数共有 $($ 　　 $)$ 个．

A．333个 B．334个 C．335个 D．336个

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解：同时除以2、3都余1，等价于除以6余1。所有符合条件的数为1、7、13、…、1999。

项数为 $(1999 - 1) \div 6 ＋ 1 ＝ 334$ 。

答：选B，334个。

题 A1-04-031

有一个三位数，被9除余7，被7除余5，被3除余1，这个数的最小值是____________．

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解：被 9 除余 7、被 7 除余 5、被 3 除余 1，余数都比除数少 2，因此这个数加上 2 就能同时被 9、7、3 整除。9、7、3 的最小公倍数是 $9 \times 7 = 63$ ，所以这个三位数是 63 的倍数减 2。不小于 100 的最小值为 $63 \times 2 - 2 = 124$ 。检验： $124 \div 9 = 13 \dots\dots 7$ ， $124 \div 7 = 17 \dots\dots 5$ ， $124 \div 3 = 41 \dots\dots 1$ 。

答：这个数的最小值是 124。