周期重合与植树模型 · 知识点讲解

题 A1-04-007难度 B · 巩固

小林和小红在长为 $200$ 米的小路的一边种树，小林在小路的一端开始，每隔 $4$ 米种一棵，小红从小路另一端开始，每隔 $10$ 米种一棵，问他们一共种了多少棵树？

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【最小公倍数-二元容斥-直线型（单边）】

$200 \div 4 = 50$ ， $200 \div 10 = 20$ ， $[4, 10] = 20 \Rightarrow 200 \div 20 = 10$ ，

∴共植树 $(50 + 1) + (20 + 1) - (10 + 1) = 61$ 棵

题 A1-04-008难度 C · 综合

在植树节，小朋友们沿着长为 $400$ 米的马路两边种树，大家先从路的一端开始，在马路的两旁挖坑，每隔 $15$ 米挖一个坑．等坑全部挖好开始种树时，发现相邻两棵树之间的距离太远，于是改成每隔 $10$ 米种一棵树，那么在开始挖好的坑里，有多少个最后是空着的？

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解：原来每边的坑位为0、15、30、…、390米，共27个，两边共54个。

改为每10米种树后，原坑中仍被使用的位置是15和10的公倍数位置，即0、30、60、…、390米，每边14个，两边共28个。

答：最后空着 $54 - 28 ＝ 26$ 个原坑。

题 A1-04-009难度 C · 综合

一个400米的环形跑道，原来每隔5米插有一面彩旗，现在需要改成每隔8米插一面彩旗，不需要拔掉的彩旗有几面？

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【最小公倍数-二元容斥-环形】

$[5, 8] = 40$ ，所以每隔40米有一面旗不需要拔，所以 $400 \div 40 = 10$ 面

题 A1-04-010难度 D · 提升

大雪过后的一天，小明和爸爸共同测一个圆形花园的周长．他俩的起点和走道方向完全相同，小明的两脚印之间的距离为 $54$ 厘米，爸爸两脚印之间的距离为 $72$ 厘米（忽略脚印的大小），由于脚印有重合，并且他们走了一圈后又回到了起点，这时雪地上只留下 $60$ 个脚印，这个花园的周长为多少米？

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【最小公倍数-二元容斥-环形】

法一： $[54, 72] = 216$ ，每 $216 c m$ ，小明脚印增加 $4$ 个，爸爸脚印增加 $3$ 个，但两人重复一个脚印，故每 $216 c m$ ，脚印增加 $6$ 个． $60 \div 6 = 10$ ，两人走了 $10$ 次 $216 c m$ ，故花园周长为 $216 \times 10 = 2160$ 厘米 $= 21.6$ 米

法二：方程方法，设花园周长为 $x$ 厘米，则 $\frac{x}{54} + \frac{x}{72} - \frac{x}{216} = 60$ ，解得 $x = 2160$

故周长为 $21.6$ 米．

题 A1-04-013

某超市的门口有图案和文字两种装饰灯，文字装饰灯的颜色每 $9$ 分钟变一次，图案装饰灯的颜色每半小时变一次．晚间 $18$ 点整同时使用这两种装饰灯．

⑴那么至少再过多少时间，两种装饰灯同时变颜色？

⑵节日期间，超市晚间 $23$ 点整结束营业，请问在节日期间晚间营业中，哪些时刻这两种装饰灯同时变颜色？

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解：⑴ 文字灯每9分钟变一次，图案灯每半小时即30分钟变一次。 $[9, 30] ＝ 90$ ，所以至少再过90分钟两种灯同时变颜色。

⑵ 从18时起，每隔90分钟两灯同时变一次：18时加90分钟是19时30分，之后依次是21时、22时30分；再到24时已超过23时结束营业。

答：⑴ 至少再过90分钟；⑵ 19:30、21:00、22:30这三个时刻两种装饰灯同时变颜色。

题 A1-04-015

小红在操场周围种树，开始时每隔 $3$ 米种一棵，种到 $9$ 棵后，发现树苗不够，于是决定重种，改为每隔 $4$ 米一棵，这时重种时，不必再拔掉的树有多少棵？

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解：已种的9棵树分布在 $(9 - 1) \times 3 ＝ 24$ 米长的路段上，位置为0、3、6、…、24米。

改为每隔4米一棵后，从起点起新位置为0、4、8、…、24米。 $[3, 4] ＝ 12$ ，新旧位置在0、12、24米处重合，共 $24 \div 12 ＋ 1 ＝ 3$ 棵。

答：不必再拔掉的树有3棵。

题 A1-04-019

从运动场的一端到另一端全长 $100$ 米，从一端起到另一端为止每隔 $4$ 米插一面小红旗，现在要改成每隔 $5$ 米插一面小红旗，有多少面小红旗不用移动？

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在公倍数的地方和起点不用移动

$[4, 5] = 20$ ，所以在起点、 $20$ 米、 $40$ 米、 $60$ 米、 $80$ 米、 $100$ 米位置不用移动，共 $6$ 面．

题 A1-04-023

一排电线杆每两根之间的距离是 $60$ 米，现在要改为 $45$ 米，如果起点的一根不动，再过多远又有一根不动？

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在最小公倍数的地方不动，为 1 8 0 米．

题 A1-04-016

在一根长木棍上，有三种刻度线：第一种刻度线将木棍分成十等分，第二种刻度线将木棍分成十二等分，第三种刻度线将木棍分成十五等分．如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？

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解：设木棍长60（10、12、15的最小公倍数）。十等分刻度在6的倍数处，内部共9条；十二等分刻度在5的倍数处，内部共11条；十五等分刻度在4的倍数处，内部共14条。

重合刻度：6与5的公倍数处有 $60 \div 30 - 1 ＝ 1$ 条，6与4的公倍数处有 $60 \div 12 - 1 ＝ 4$ 条，5与4的公倍数处有 $60 \div 20 - 1 ＝ 2$ 条，三种刻度共同重合处在端点60，内部为0条。

实际锯口共 $9 ＋ 11 ＋ 14 - 1 - 4 - 2 ＝ 27$ 条，段数为 $27 ＋ 1 ＝ 28$ 。

答：木棍总共被锯成28段。

题 A1-04-022

小林 $7$ 月和 $8$ 月参加钢琴和拳击的培训，两项培训都是从 $7$ 月 $1$ 日开始，钢琴课每上一次休息 $3$ 天，拳击课每上一次休息 $6$ 天，则小林整个暑假中有几天是有培训的？

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解：7 月和 8 月共 $31 + 31 = 62$ 天。钢琴课每上一次休息 3 天，即每 4 天一次，上课日为第 1、5、9、… 天，共 $⌊ 62 \div 4 ⌋ + 1 = 16$ 天；拳击课每上一次休息 6 天，即每 7 天一次，上课日为第 1、8、15、… 天，共 $⌊ 62 \div 7 ⌋ + 1 = 9$ 天。两项培训同一天为每 28 天一次（4 和 7 的最小公倍数是 28），即第 1、29、57 天，共 3 天。由容斥原理，有培训的天数为 $16 + 9 - 3 = 22$ 天。

答：整个暑假中有 22 天有培训。

题 A1-04-027

一个600米的环形跑道，原来每隔6米插有一面彩旗，现在需要改成每隔8米插一面彩旗，不需要拨掉的彩旗有几面？

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[ 6 , 8 ] = 2 4 ，所以每隔24米有一面旗不需要拔，所以 6 0 0 ÷ 2 4 = 2 5 面

题 A1-04-030

如图，在某高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设置一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设置一个测速照相机标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志．那么下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是千米．

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解：从19千米处起，两类标志再次重合的距离必须同时是4和9的倍数。4与9互素，最小公倍数为36。

答：下一个重合位置是 $19 ＋ 36 ＝ 55$ 千米。

题 A1-04-034

某天，老刘与儿子大华、孙子小毛在甲、乙两地间进行匀速的往返跑．已知大华、小毛及老刘各自往返一趟分别耗时2分钟、5分钟和7分钟．最初，三人都在甲地，老刘出发2分钟后，孙子小毛立即出发，再经过3分钟后儿子大华随即出发．那么，大华出发_______分钟后，三人第二次同时汇合于甲地．

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在大华耗时2分钟回到甲地时，三人第一次同时汇合于甲地．随后三人同时从甲地出发，经过最短时间2分钟、5分钟、7分钟的最小公倍数70分钟后，三人将又一次同时汇合于甲地．所以大华出发 2 + 7 0 = 7 2 （分钟）后，三人第二次同时汇合于甲地．