运算律与提取公因数 · 知识点讲解

本知识点

乘法分配律及其逆用公因数必须是每一项的乘法因子构造整十整百或相同括号分式只能约去分子、分母的公共因式

解题路径

观察：标出每一项真正共有的乘法因子
变形：提取公因数，或拆补一项构造相同整体
计算：先算括号内再乘公共因数
验算：展开还原，确认没有跨加减号约分

常用运算技巧

提取公因数；
乘法分配律；
构造拆分；
连锁约分；
换元（整体思想）；
整体约分；
裂项相消（下节课内容）．

配套例题

看懂这几道题，就掌握了这个点

先做再看解析；做错的题建议加入练习单，到「诊断练习」里集中攻克。

题 A1-05-003难度 C · 综合

计算：

⑴ $1 \frac{1}{2} \times \frac{5}{7} - (- \frac{5}{7}) \times 2 \frac{1}{2} + (- \frac{5}{2}) \times \frac{1}{7}$ ；

⑵ $91 \frac{1}{8} \times \frac{8}{9} + 81 \frac{1}{7} \times \frac{7}{8} + 71 \frac{1}{6} \times \frac{6}{7} + 61 \frac{1}{5} \times \frac{5}{6}$ ．

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解：

乘法分配律与提取公因数：

⑴ 原式 $= \frac{3}{2} \times \frac{5}{7} + \frac{5}{7} \times \frac{5}{2} - \frac{1}{2} \times \frac{5}{7} = \frac{5}{7} \times (\frac{3}{2} + \frac{5}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{5}{7} \times \frac{7}{2} = \frac{5}{2}$ ；

⑵ 原式 $= 90 \times \frac{8}{9} + \frac{9}{8} \times \frac{8}{9} + 80 \times \frac{7}{8} + \frac{8}{7} \times \frac{7}{8} + 70 \times \frac{6}{7} + \frac{7}{6} \times \frac{6}{7} + 60 \times \frac{5}{6} + \frac{6}{5} \times \frac{5}{6}$

$= 80 + 1 + 70 + 1 + 60 + 1 + 50 + 1 = 264$ ．

答：⑴ 5/2；⑵ 264。

题 A1-05-004难度 C · 综合

计算：

⑴ $(2 \frac{2}{9} \times \frac{4}{5} + 2 \frac{2}{9} \times 6.2 - 5.8 \times 2 \frac{2}{9} - \frac{1}{5} \times 2 \frac{2}{9}) \times \frac{9}{20}$ ；

⑵ $\frac{3.875 \times \frac{1}{5} + 38 \frac{3}{4} \times 0.09 - 15.5 \div 40}{18.25 \times 11 \frac{4}{5} - 17 \frac{1}{4} \div (1 - \frac{54}{59})}$ ．

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解：

【提公因数】

⑴原式 $= (0.8 + 6.2 - 5.8 - 0.2) \times \frac{20}{9} \times \frac{9}{20} = 1 \times 1 = 1$ ；

⑵原式 $= \frac{3.875 \times 0.2 + 3.875 \times 0.9 - 3.875 \times 0.1}{18.25 \times 11.8 - 17.25 \times 11.8} = \frac{3.875 \times (0.2 + 0.9 - 0.1)}{11.8 \times (18.25 - 17.25)} = \frac{3.875 \times 1}{11.8 \times 1} = \frac{155}{472}$ ．

答：⑴ 1；⑵ 155/472。

题 A1-05-022

计算：

⑴ $2 \frac{4}{5} \times 23.4 + 11.1 \times 57.6 + 6.54 \times 28$ ；

⑵ $178 - 87.21 + 43 \frac{2}{21} + 53 \frac{19}{21} - 12.79$ ；

⑶ $- 7 \times (- \frac{4}{19}) - 13 \times \frac{4}{19} - 6 \times (- \frac{4}{19})$ ；

⑷ $[(\frac{4}{9} - \frac{5}{12} + \frac{1}{6}) \times (- 36) + 2 \frac{4}{5}] \div (- 14)$ ．

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解：⑴ 按分配律把2.8与6.54配成同一倍数，计算得888。⑵ 整数部分和小数部分分别凑整，得175。⑶ 提取公因数 $419$ ，括号内系数和为7减13加6等于0。⑷ 先算括号，括号值为 $736$ ，完成乘加和除法后得 $310$ 。

答：⑴ 888；⑵ 175；⑶ 0；⑷ $310$ 。

题 A1-05-026

用适合方法计算：

⑴ $(- 1.45) \times 6 + 3.95 \times 6 - (\frac{7}{9} - \frac{5}{6} + \frac{7}{18}) \times (- 18)$ ；

⑵ $- {(\frac{3}{5})}^{2} \times | - 1 \frac{1}{2} | - {(- 0.6)}^{2} \times 3 \frac{1}{2} + (- 1) \div 1 . 5^{2} - 1 \frac{1}{4} \times {| - \frac{2}{3} |}^{2}$ ；

⑶ $(11 \frac{1}{7} + 7 \frac{1}{11}) \div (1 \frac{6}{7} + 1 \frac{2}{11})$ ．

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解：⑴ 前两项提取6，括号内为2.5；另一括号先通分为 $13$ ，合计21。⑵ 先算乘方、绝对值和除法，合并为 $- 145$ 。⑶ 分子、分母分别提取相同的非零整体，剩余系数比为78∶13等于6。

答：⑴ 21；⑵ $- 145$ ；⑶ 6。

题 A1-05-028

用适合方法计算：

⑴ $2.672 \div 0.08 \div \frac{2}{13} + 3 \frac{17}{50} \times 3.95 \div 0.1 - 33 \frac{2}{5} \div 2 \frac{2}{9}$

⑵ $61 \frac{1}{9} \div \frac{10}{9} + 51 \frac{2}{3} \div \frac{5}{3} + 41 \frac{1}{7} \div \frac{8}{7} + 33 \frac{1}{3} \div \frac{10}{3}$

⑶ $2 \frac{4}{5} \times 0.6 - 2 \frac{1}{4} \div 1 \frac{2}{3} + 0.55 \times 1 \frac{2}{5}$ ．

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解：⑴ 提取公因数：

$33.4 \times 6.5 + 33.4 \times 3.95 - 33.4 \times 0.45 = 33.4 \times 10 = 334$ 。

⑵ 四项逐项约分：

$55 + 31 + 36 + 10 = 132$ 。

⑶ 统一带分数和小数：

$1.68 - 1.35 + 0.77 = 1.1$ 。

答： $⑴ 334 ；⑵ 132 ；⑶ 1.1$ 。