第5讲计算综合 · 章法数学

知识模块 01 · 基础技能

分数混合运算规范

先掌握有理数、绝对值和乘方的前置规则，再按括号、乘方、乘除、加减的顺序计算；负号在括号外与底数自带负号必须分清。

例题 3随堂练习 4作业 5

本模块知识点

前置：正负数、绝对值、乘方与相反数同级运算从左到右负数乘方先确认底数是否带括号小数、百分数与分数的准确互化

解题路径

圈出括号、绝对值和乘方，先确定每一步的符号
把有限小数和百分数准确化成分数
按括号、乘方、乘除、加减依次计算
每一步检查等号两边是否等值且结果是否最简

01

知识讲解定义、性质与方法

分数的混合运算

同分母分数相加减：分母不变，分子做加减．即 $\frac{a}{b} \pm \frac{c}{b} = \frac{a \pm c}{b}$ ．
异分母分数相加减：先通分，然后按照同分母分数加减法的法则进行计算．

加减运算技巧

分小统一，整分各算，适当凑整，巧用运算律

两个分数相乘，将分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母．

即 $\frac{p}{q} \times \frac{m}{n} = \frac{p \times m}{q \times n}$ ，

两个分数相除，如甲数除以乙数（ $0$ 除外），等于甲数乘以乙数的倒数，

乘除运算技巧

化小为分，变除为乘，改带为假

运算顺序：“从小（括号）到大（括号），从高（级）到低（级），从左到右”．

编者注

因为暑假已经学习了有理数的内容，所以本讲会包含有理数计算

02

例题教师示范

例题 12教师示范A1-05-001难度 B · 巩固

计算:

⑴ $\frac{1}{3} \times \frac{3}{4} \div (\frac{3}{4} - \frac{5}{12})$ ； ⑵ $3.5 \times 0.8 + 5.5 \times 80 % + \frac{4}{5} \times 100 %$ ；

⑶ $4 \frac{1}{3} \div (\frac{1}{3} + \frac{2}{7}) \div \frac{7}{11}$ ； ⑷ $\frac{4}{5} \div [(\frac{1}{3} + \frac{2}{5}) \times \frac{4}{11}]$ ．

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解：⑴ $13 \times 34 \div (34 - 512) = 14 \div 13 = 34$ 。⑵ $3.5 \times 0.8 + 5.5 \times 80 % + 45 \times 100 % = 2.8 + 4.4 + 0.8 = 8$ 。⑶ 先把带分数化成假分数，并把括号内通分： $133 \div (13 + 27) \div 711 = 133 \div 1321 \times 117 = 133 \times 2113 \times 117 = 11$ 。⑷ 先算中括号： $45 \div [(13 + 25) \times 411] = 45 \div (1115 \times 411) = 45 \div 415 = 45 \times 154 = 3$ 。

答：⑴ $34$ ；⑵ 8；⑶ 11；⑷ 3。

例题 11教师示范A1-05-002a难度 C · 综合

计算：

⑴ ${(- 1)}^{3} - 2^{2} - | 3 - 4 \frac{1}{2} | \times (- \frac{10}{3})$ ；

⑵ $- 5^{2} - [{(- 2)}^{3} + | 0.8 \times \frac{3}{4} - 1 | \div (- 2)]$ ．

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解：本卡只对应原题第一组的两个分问。⑴ 先算乘方和绝对值： $- 1 - 4 - \frac{3}{2} \times (- \frac{10}{3}) = 0$ 。⑵ 绝对值内为负零点四： $- 25 - [- 8 + 0.4 \times (- \frac{1}{2})] = - 16.8$ 。

答：⑴ 0；⑵ $- 16.8$ 。

例题 10教师示范A1-05-002b难度 C · 综合

计算：

⑴ $- 0.2 5^{2} + {(- \frac{1}{4})}^{2} - | - 4^{2} - 16 | + {(- 1 \frac{1}{2})}^{2}$ ；

⑵ $- 2^{5} \div (- 4) \times {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{12} \times {(- 5 + 2^{3})}^{2} + (- \frac{3^{2}}{5}) \times {(- \frac{5}{3})}^{2}$ ．

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解：本卡只对应原题第二组的两个分问。⑴ 把0.25化成 $14$ ，依次完成乘方与绝对值运算，得 $- 2934$ 。⑵ 先算乘方，再按先乘除后加减计算，得 $- 334$ 。

答：⑴ $- 2934$ ；⑵ $- 334$ 。

03

练习随堂完成

练习 8随堂完成A1-05-013

计算：

⑴ $- 5 \frac{1}{2} \times \frac{4}{11} - 2^{3} \div [(- 3) + 5] - {(- \frac{2}{5})}^{3} \times 1 \frac{1}{4}$ ；

⑵ $1 \frac{1}{2} \div \frac{3}{4} \times (- 2) + \frac{1}{2} \div [{(- \frac{1}{2})}^{3} - {(- 1 \frac{1}{2})}^{2}] \times | - 9 \frac{1}{2} |$ ．

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解：⑴ 先约分并按乘除优先计算，三部分合并为 $- 14825$ 。⑵ 第一段为负4，第二段为负2，合计负6。

答：⑴ $- 52325$ ；⑵ 负6。

练习 7随堂完成A1-05-014

计算： $- {(- 5)}^{2} \times 3 \frac{3}{4} - | - 0.47 | \times (- \frac{1}{2^{2}}) + 2 \frac{1}{2} \times 17.5 - (- 4.7) \times 0.075$ ．

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解：先把带分数和乘方化简，并保留原有正负号：

$- 25 \times 3.75 + 0.1175 + 43.75 + 0.3525 = - 49.53$

校验：唯一的负项绝对值大于其余三个正项之和，结果为负，符号合理。

答： $- 49.53$ 。

练习 6随堂完成A1-05-016

计算：

⑴ $(- 1 \frac{1}{3}) \div (- 2 \frac{1}{4}) \times \frac{3}{4}$ ； ⑵ $6.14 + (- 2 \frac{3}{4}) - (- 5.86) - (+ \frac{1}{4})$ ；

⑶ $(- 7) \times (- 5) - 90 \div (- 15) + 3 \times (- 1)$ ； ⑷ $- 1^{4} + 16 \div {(- 2)}^{3} \times (- 3 - 1)$ ．

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解：⑴ 除法改乘倒数并约分，得 $49$ 。⑵ 按交换律把6.14与5.86、负2.75与负0.25分别凑整，得9。⑶ 先算除法，得35加6减3等于38。⑷ 题式中的16是整数16，先算除法与乘法，得负1加8等于7。

答：⑴ $49$ ；⑵ 9；⑶ 38；⑷ 7。

练习 5随堂完成A1-05-017

计算：

⑴ $32 \times 0.25 - 2 \frac{2}{5} \div 4$ ； ⑵ $\frac{16}{15} - (65 % + \frac{4}{15}) \times 0.25$ ；

⑶ $\frac{1}{4} \times 1.8 + 2.2 \times 25 %$ ； ⑷ $\frac{3}{4} \times (1.5 - \frac{2}{3}) + 1.2 \times \frac{3}{4}$ ．

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解：⑴ 32乘0.25等于8，另一项为 $35$ ，作差得 $725$ 。⑵ 括号内通分后再乘 $14$ ，得 $6780$ 。⑶ 1.8乘0.25加2.2乘0.25等于1。⑷ 两项分别计算后合并为 $6140$ 。

答：⑴ $725$ ；⑵ $6780$ ；⑶ 1；⑷ $6140$ 。

04

作业独立完成

作业 12独立完成A1-05-018

计算：

⑴ $75 \times 60 % + 24 \times \frac{3}{5} + 0.6$ ； ⑵ $19 \times \frac{17}{20}$ ；

⑶ $24 \div (\frac{3}{2} - \frac{4}{3}) - 6 \frac{21}{22} \times 22$ ； ⑷ $[\frac{5}{4} - \frac{1}{3} + {(- 2)}^{3} \times {(- \frac{1}{2})}^{2}] \times (- 12)$ ．

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解：逐问按先乘除后加减计算。⑴ $75 \times 60 % + 24 \times \frac{3}{5} + 0.6 = 60$ 。⑵ $19 \times \frac{17}{20} = 16 \frac{3}{20}$ 。⑶ 括号内为六分之一，两部分分别为144和153，所以差为负9。⑷ 中括号内为负十二分之十三，再乘负12得13。

答：⑴ 60；⑵ $16 \frac{3}{20}$ ；⑶ $- 9$ ；⑷ 13。

作业 11独立完成A1-05-021

计算：

⑴ $5 \div [{(- 1)}^{3} - 4] + 3^{2} \times (- 1)$ $= - 10$ ； ⑵ $- 1 - \frac{1}{4} \times (- 2^{2}) \div (- \frac{1}{2})$ ；

⑶ $- 99 \frac{67}{72} \times 36$ ； ⑷ $(\frac{1}{4} + \frac{3}{8} - \frac{7}{12}) \div \frac{1}{24}$ ．

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解：⑴ $5 \div [{(- 1)}^{3} - 4] + 3^{2} \times (- 1) = - 10$ 。⑵ $- 1 - \frac{1}{4} \times (- 2^{2}) \div (- \frac{1}{2}) = - 3$ 。⑶ $- (99 \frac{67}{72}) \times 36 = - 3597.5$ 。⑷ $(\frac{1}{4} + \frac{3}{8} - \frac{7}{12}) \div \frac{1}{24} = 1$ 。

答：⑴ $- 10$ ；⑵ $- 3$ ；⑶ $- 3597.5$ ；⑷ 1。

作业 10独立完成A1-05-024

计算：

⑴ ${(- 1)}^{2020} \times | 1 \frac{1}{2} | - (0.5) \div (- \frac{1}{3})$ ； ⑵ ${(- 4)}^{2} \div {(- 2)}^{3} - \frac{4}{9} \times {(- \frac{3}{2})}^{2} \div (- 1^{2})$ ．

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解：先算乘方和绝对值，再按从左到右的顺序计算乘除：

⑴ $1 \times 1.5 - 0.5 \div (- 13) = 1.5 + 1.5 = 3$ 。

⑵ $16 \div (- 8) - 49 \times 94 \div (- 1) = - 2 - (- 1) = - 1$ 。

答： $⑴ 3 ；⑵ - 1$ 。

作业 9独立完成A1-05-025

计算：

⑴ $2 \frac{1}{3} - 3 \frac{1}{2} - {- 2 \frac{1}{4} + [5 - (2 \frac{1}{2} + 3 \frac{2}{3})]}$ ；

⑵ $- 150 \times (- \frac{1}{8}) - 25 \times 0.125 + 50 \times (- \frac{1}{4})$ ；

⑶ $(1 \frac{3}{4} - \frac{7}{8} - \frac{7}{12}) \times (- \frac{8}{7}) + \frac{7}{8} \div (1 \frac{3}{4} - \frac{7}{8} - \frac{7}{12})$ ．

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解：⑴ 按小括号、中括号、大括号的顺序逐层计算，结果为 $214$ 。⑵ 把0.125化为 $18$ ，三项合并为 $258$ 。⑶ 公共括号值为 $724$ ，代回两处分别计算，得 $83$ 。

答：⑴ $214$ ；⑵ $258$ ；⑶ $223$ 。

作业 8独立完成A1-05-027

计算：

⑴ $2 \frac{5}{6} \times (- 1 \frac{1}{2}) \times \frac{6}{17} \div (\frac{1}{4} - \frac{2}{3})$ ； ⑵ $16 \div {(- 2)}^{3} - (- \frac{1}{8}) \times (- 4) + {(- 1)}^{2020}$ ；

⑶ $- 1^{4} - (1 - 0.5) \times \frac{1}{3} \times [2 - {(- 3)}^{2}]$ ； ⑷ $- 1^{2} - | 2 - 5 | \div (- 3) \times (1 - \frac{1}{3})$ ．

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解：四问均先算乘方和括号，再把除法改为乘倒数。⑴ 连续约分后为 $185$ 。⑵ 三项依次为负2、减 $12$ 、1。⑶ 中括号为负7，合并得 $16$ 。⑷ 绝对值为3，乘除链为 $- 23$ 。

答：⑴ $185$ ；⑵ $- 32$ ；⑶ $16$ ；⑷ $- 13$ 。

知识模块 02 · 解题模型

运算律与提取公因数

只有在多项具有相同因数或可构造相同整体时才简算；先判断结构，再用分配律、拆补项或整体约分，不能跨加减号直接约分。

例题 2随堂练习 1作业 2

本模块知识点

乘法分配律及其逆用公因数必须是每一项的乘法因子构造整十整百或相同括号分式只能约去分子、分母的公共因式

解题路径

观察：标出每一项真正共有的乘法因子
变形：提取公因数，或拆补一项构造相同整体
计算：先算括号内再乘公共因数
验算：展开还原，确认没有跨加减号约分

01

知识讲解定义、性质与方法

常用运算技巧

提取公因数；
乘法分配律；
构造拆分；
连锁约分；
换元（整体思想）；
整体约分；
裂项相消（下节课内容）．

02

例题教师示范

例题 9教师示范A1-05-003难度 C · 综合

计算：

⑴ $1 \frac{1}{2} \times \frac{5}{7} - (- \frac{5}{7}) \times 2 \frac{1}{2} + (- \frac{5}{2}) \times \frac{1}{7}$ ；

⑵ $91 \frac{1}{8} \times \frac{8}{9} + 81 \frac{1}{7} \times \frac{7}{8} + 71 \frac{1}{6} \times \frac{6}{7} + 61 \frac{1}{5} \times \frac{5}{6}$ ．

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解：

乘法分配律与提取公因数：

⑴ 原式 $= \frac{3}{2} \times \frac{5}{7} + \frac{5}{7} \times \frac{5}{2} - \frac{1}{2} \times \frac{5}{7} = \frac{5}{7} \times (\frac{3}{2} + \frac{5}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{5}{7} \times \frac{7}{2} = \frac{5}{2}$ ；

⑵ 原式 $= 90 \times \frac{8}{9} + \frac{9}{8} \times \frac{8}{9} + 80 \times \frac{7}{8} + \frac{8}{7} \times \frac{7}{8} + 70 \times \frac{6}{7} + \frac{7}{6} \times \frac{6}{7} + 60 \times \frac{5}{6} + \frac{6}{5} \times \frac{5}{6}$

$= 80 + 1 + 70 + 1 + 60 + 1 + 50 + 1 = 264$ ．

答：⑴ 5/2；⑵ 264。

例题 8教师示范A1-05-004难度 C · 综合

计算：

⑴ $(2 \frac{2}{9} \times \frac{4}{5} + 2 \frac{2}{9} \times 6.2 - 5.8 \times 2 \frac{2}{9} - \frac{1}{5} \times 2 \frac{2}{9}) \times \frac{9}{20}$ ；

⑵ $\frac{3.875 \times \frac{1}{5} + 38 \frac{3}{4} \times 0.09 - 15.5 \div 40}{18.25 \times 11 \frac{4}{5} - 17 \frac{1}{4} \div (1 - \frac{54}{59})}$ ．

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解：

【提公因数】

⑴原式 $= (0.8 + 6.2 - 5.8 - 0.2) \times \frac{20}{9} \times \frac{9}{20} = 1 \times 1 = 1$ ；

⑵原式 $= \frac{3.875 \times 0.2 + 3.875 \times 0.9 - 3.875 \times 0.1}{18.25 \times 11.8 - 17.25 \times 11.8} = \frac{3.875 \times (0.2 + 0.9 - 0.1)}{11.8 \times (18.25 - 17.25)} = \frac{3.875 \times 1}{11.8 \times 1} = \frac{155}{472}$ ．

答：⑴ 1；⑵ 155/472。

03

练习随堂完成

练习 4随堂完成A1-05-022

计算：

⑴ $2 \frac{4}{5} \times 23.4 + 11.1 \times 57.6 + 6.54 \times 28$ ；

⑵ $178 - 87.21 + 43 \frac{2}{21} + 53 \frac{19}{21} - 12.79$ ；

⑶ $- 7 \times (- \frac{4}{19}) - 13 \times \frac{4}{19} - 6 \times (- \frac{4}{19})$ ；

⑷ $[(\frac{4}{9} - \frac{5}{12} + \frac{1}{6}) \times (- 36) + 2 \frac{4}{5}] \div (- 14)$ ．

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解：⑴ 按分配律把2.8与6.54配成同一倍数，计算得888。⑵ 整数部分和小数部分分别凑整，得175。⑶ 提取公因数 $419$ ，括号内系数和为7减13加6等于0。⑷ 先算括号，括号值为 $736$ ，完成乘加和除法后得 $310$ 。

答：⑴ 888；⑵ 175；⑶ 0；⑷ $310$ 。

04

作业独立完成

作业 7独立完成A1-05-026

用适合方法计算：

⑴ $(- 1.45) \times 6 + 3.95 \times 6 - (\frac{7}{9} - \frac{5}{6} + \frac{7}{18}) \times (- 18)$ ；

⑵ $- {(\frac{3}{5})}^{2} \times | - 1 \frac{1}{2} | - {(- 0.6)}^{2} \times 3 \frac{1}{2} + (- 1) \div 1 . 5^{2} - 1 \frac{1}{4} \times {| - \frac{2}{3} |}^{2}$ ；

⑶ $(11 \frac{1}{7} + 7 \frac{1}{11}) \div (1 \frac{6}{7} + 1 \frac{2}{11})$ ．

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解：⑴ 前两项提取6，括号内为2.5；另一括号先通分为 $13$ ，合计21。⑵ 先算乘方、绝对值和除法，合并为 $- 145$ 。⑶ 分子、分母分别提取相同的非零整体，剩余系数比为78∶13等于6。

答：⑴ 21；⑵ $- 145$ ；⑶ 6。

作业 6独立完成A1-05-028

用适合方法计算：

⑴ $2.672 \div 0.08 \div \frac{2}{13} + 3 \frac{17}{50} \times 3.95 \div 0.1 - 33 \frac{2}{5} \div 2 \frac{2}{9}$

⑵ $61 \frac{1}{9} \div \frac{10}{9} + 51 \frac{2}{3} \div \frac{5}{3} + 41 \frac{1}{7} \div \frac{8}{7} + 33 \frac{1}{3} \div \frac{10}{3}$

⑶ $2 \frac{4}{5} \times 0.6 - 2 \frac{1}{4} \div 1 \frac{2}{3} + 0.55 \times 1 \frac{2}{5}$ ．

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解：⑴ 提取公因数：

$33.4 \times 6.5 + 33.4 \times 3.95 - 33.4 \times 0.45 = 33.4 \times 10 = 334$ 。

⑵ 四项逐项约分：

$55 + 31 + 36 + 10 = 132$ 。

⑶ 统一带分数和小数：

$1.68 - 1.35 + 0.77 = 1.1$ 。

答： $⑴ 334 ；⑵ 132 ；⑶ 1.1$ 。

知识模块 03 · 解题模型

连乘消去与结构化简

把因式改写成相邻分数的乘积，利用连续约分或前后相消。

例题 1随堂练习 1作业 1

本模块知识点

连锁约分乘积消去结构观察

解题路径

拆写每个因式
寻找相邻分子分母
保留首尾未消项

01

例题教师示范

例题 7教师示范A1-05-005难度 C · 综合

计算：

⑴ $(1 + \frac{1}{2}) \times (1 + \frac{1}{4}) \times (1 + \frac{1}{6}) \times (1 + \frac{1}{8}) \times (1 + \frac{1}{3}) \times (1 + \frac{1}{5}) \times (1 + \frac{1}{7}) \times (1 + \frac{1}{9})$ ；

⑵ $(1 - \frac{1}{2}) \times (2 - \frac{2}{3}) \times (3 - \frac{3}{4}) \times (4 - \frac{4}{5}) \times (5 - \frac{5}{6}) \times (6 - \frac{6}{7}) \times (7 - \frac{7}{8}) \times (8 - \frac{8}{9}) \times (9 - \frac{9}{10})$ ．

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解：

连锁约分：

⑴ 原式 $= (1 + \frac{1}{2}) \times (1 + \frac{1}{3}) \times (1 + \frac{1}{4}) \times (1 + \frac{1}{5}) \times (1 + \frac{1}{6}) \times (1 + \frac{1}{7}) \times (1 + \frac{1}{8}) \times (1 + \frac{1}{9})$

$= \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{4} \times \frac{6}{5} \times \frac{7}{6} \times \frac{8}{7} \times \frac{9}{8} \times \frac{10}{9}$

$= 5$

⑵ 原式 $= 1 \times 2 \times \dots \times 9 \times (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \dots \times \frac{9}{10}) = 1 \times 2 \times \dots \times 9 \times \frac{1}{10} = 36288$

答：⑴ 5；⑵ 36288。

02

练习随堂完成

练习 3随堂完成A1-05-012

计算： $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{7}{8} + \frac{15}{16} + \frac{31}{32} + \frac{63}{64} + \frac{127}{128}$ ．

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解：各项依次写成1减去分母为2、4、8、…、128的单位分数。七个1的和为7，而等比和 $12 + 14 + \dots + 1128 = 1 - 1128$ 。

答： $61128$ 。

03

作业独立完成

作业 5独立完成A1-05-023

计算： $(1 + \frac{1}{2}) \times (1 - \frac{1}{2}) \times (1 + \frac{1}{3}) \times (1 - \frac{1}{3}) \times \dots \times (1 + \frac{1}{9}) \times (1 - \frac{1}{9})$ ．

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解：每组先用平方差，得到 $\prod_{k = 2}^{9} \frac{k - 1}{k} \cdot \frac{k + 1}{k}$ 。两条连乘链分别只保留首尾，乘积为 $19 \times 5 = 59$ 。

答： $59$ 。

知识模块 04 · 提升模型

整体代换与比值化简

识别分子分母的同构结构，用整体代换或同步倍乘直接求比值。

例题 1随堂练习 0作业 2

本模块知识点

整体思想换元同构式比值化简

解题路径

找分子分母的公共结构
设整体或同步变形
约去整体公因式

01

例题教师示范

例题 6教师示范A1-05-006难度 D · 提升

计算：

⑴ $(1 \frac{5}{99} + 3 \frac{5}{33} + 9 \frac{5}{11}) \div (1 \frac{1}{99} + 3 \frac{1}{33} + 9 \frac{1}{11})$ ；

⑵ $(4 \frac{1}{2} + 1 \frac{2}{7} + 2 \frac{1}{3} + 1 \frac{1}{5}) \div (\frac{2}{5} + 1 \frac{1}{2} + \frac{3}{7} + \frac{7}{9})$ ．

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解：

整体约分：

⑴ 原式 $= (\frac{104}{99} + \frac{104}{33} + \frac{104}{11}) \div (\frac{100}{99} + \frac{100}{33} + \frac{100}{11}) = \frac{104}{100} = \frac{26}{25}$ ；

⑵ 原式 $= (\frac{9}{2} + \frac{9}{7} + \frac{7}{3} + \frac{6}{5}) \div (\frac{3}{2} + \frac{3}{7} + \frac{7}{9} + \frac{2}{5}) = 3$ ．

答：⑴ 26/25；⑵ 3。

02

作业独立完成

作业 4独立完成A1-05-019

计算：

$\frac{1.2 \times 3.6 \times 10.8 + 2 \times 6 \times 18 + 7 \times 21 \times 63}{1.2 \times 2.4 \times 4.8 + 2 \times 4 \times 8 + 7 \times 14 \times 28}$ ．

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解：把分子提取公因数27，把分母提取公因数8，括号内均为同一个非零整体 ${1.2}^{3} + 23 + 73$ ，约去该整体后只剩公因数之比。

答： $278$ 。

作业 3独立完成A1-05-029

用适合方法计算：

⑴ $(2 \frac{23}{34} + 1 \frac{17}{74} + \frac{91}{154}) \div (16 \frac{1}{17} + 7 \frac{14}{37} + 3 \frac{42}{77})$

⑵ $(\frac{621}{126} + \frac{739}{358} + \frac{458}{947}) \times (\frac{739}{358} + \frac{458}{947} + \frac{378}{207}) - (\frac{621}{126} + \frac{739}{358} + \frac{458}{947} + \frac{378}{207}) \times (\frac{739}{358} + \frac{458}{947})$

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解：⑴ 分子可提取91与同一整体S，分母可提取546与同一整体S，约去S后为 $16$ 。⑵ 令两组重复出现的和分别为a、b，原式化为(c加a)b减(c加b)a等于c(b减a)；代入题中两个边界差后乘积为9。

答：⑴ $16$ ；⑵ 9。

知识模块 05 · 提升模型

分组配对与错位相消

把同一张题卡内的各分问先编号，再用分组、配对和错位相消分别处理；重复出现的表达式只保留一次，比较题用作差法给出结论。

例题 3随堂练习 0作业 0

本模块知识点

分问题答唯一对应分组与配对错位相消作差比较大小

解题路径

先确认每个分问的起止边界
标出重复的局部和并设为同一个整体
重新分组后化简或作差
把结论回填到对应分问，避免串答

01

例题教师示范

例题 5教师示范A1-05-007a难度 D · 提升

计算：

⑴ $76 \times (\frac{1}{23} - \frac{1}{53}) + 23 \times (\frac{1}{53} + \frac{1}{76}) - 53 \times (\frac{1}{23} - \frac{1}{76})$ ；

⑵ $(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}) \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4})$ ．

⑴计算： $(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}) \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4})$ ；

比较大小：已知 $A = (1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \dots - \frac{1}{2020}) \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2021})$ ，

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解：本卡对应第一组计算。⑴ 将三项按相同分母结构重新配对，各组依次化为1、负1、1，和为1。⑵ 设 $a = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ ， $b = a + \frac{1}{5}$ ，则 $(1 + a) b - (1 + b) a = b - a = \frac{1}{5}$ 。

答：⑴ 1；⑵ $\frac{1}{5}$ 。

例题 4教师示范A1-05-007b难度 D · 提升

$B = (1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \dots - \frac{1}{2021}) \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2020})$ ，比较 $A$ 和 $B$ 的大小．

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解：本卡只对应A、B比较题。设 $m = \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2020}$ ， $n = m + \frac{1}{2021}$ 。作差： $A - B = (1 - m) n - (1 - n) m = n - m = \frac{1}{2021} > 0$ 。

答： $A > B$ 。

例题 3教师示范A1-05-008难度 E · 挑战

计算： $\frac{(10.75 - 4 \frac{11}{12}) \times 2 \frac{7}{11}}{(1.125 + \frac{1}{12}) \div (2.25 \div 10 \frac{10}{11})}$ ．

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原式 $=$ $\frac{(\frac{43}{4} - \frac{59}{12}) \times \frac{29}{11}}{(\frac{9}{8} + \frac{1}{12}) \div (\frac{9}{4} \div \frac{120}{11})}$ $=$ $\frac{\frac{70}{12} \times \frac{29}{11}}{\frac{29}{24} \times \frac{480}{99}}$ $=$ $\frac{70}{12} \times \frac{29}{11} \times \frac{24}{29} \times \frac{99}{480}$ $=$ $\frac{21}{8}$ ．

知识模块 06 · 解题模型

单位分数拆分

单位分数是分子为1的正真分数。两项拆分要把分式方程转成整数因数配对，并按题目要求检查分母互异、范围和答案个数。

例题 2随堂练习 2作业 1

本模块知识点

前置：正真分数与正整数因数单位分数的定义分式方程的因式分解因数对枚举的完备性分母互异与上界条件

解题路径

设两个分母为正整数并通分
把等式整理成两个整数因式的乘积等于定值
枚举定值的全部正因数对并还原分母
按互异、大小和数量要求筛选，再逐项回代

01

知识讲解定义、性质与方法

单位分数的拆分

单位分数：分子是 $1$ 的真分数叫做单位分数，记为 $\frac{1}{n}$ ．
将 $\frac{1}{n}$ 拆分成两个单位分数的和的步骤：

写出 $n$ 的约数 $n_{1}, n_{2}, n_{3}, \cdot \cdot \cdot,$ 从中挑选两个约数，例如 $n_{1}, n_{2} .$
把 $\frac{1}{n}$ 的分子、分母乘以两个约数的和（ $n_{1} + n_{2}$ ），得到 $\frac{1}{n} = \frac{n_{1} + n_{2}}{n (n_{1} + n_{2})}$
把分数拆成两个分数之和，使两个约数恰为两个分数的分子，得： $\frac{1}{n} = \frac{n_{1}}{n (n_{1} + n_{2})} + \frac{n_{2}}{n (n_{1} + n_{2})}$
把所得的两个分数约分，便得到要求的结果．

02

例题教师示范

例题 2教师示范A1-05-009难度 B · 巩固

⑴ 要将 $\frac{1}{6}$ 拆分成两个不同单位分数的和，有哪几种结果？

⑵ 在括号中填入不同的数字使等式成立

$\frac{1}{8} = \frac{1}{()} + \frac{1}{()} + \frac{1}{()}$

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⑵ 在括号中填入不同的数字使等式成立 1 8 = 1 ( ) + 1 ( ) + 1 ( )

⑴ 我们总结出分数拆分的步骤：找齐分母 $6$ 的约数： $1, 2, 3, 6$
将 $\frac{1}{6}$ 扩分： $\frac{1}{6} = \frac{1 + 2}{6 \times (1 + 2)}$ ，或 $\frac{1}{6} = \frac{1 + 3}{6 \times (1 + 3)}$ ，或 $\frac{1}{6} = \frac{1 + 6}{6 \times (1 + 6)}$ ，或 $\frac{1}{6} = \frac{2 + 3}{6 \times (2 + 3)}$ ，或 $\frac{1}{6} = \frac{2 + 6}{6 \times (2 + 6)}$ 或 $\frac{1}{6} = \frac{3 + 6}{6 \times (3 + 6)}$ ，
将扩分后的 $\frac{1}{6}$ 拆分，能约分的约分： $\frac{1}{18} + \frac{2}{18} =$ $\frac{1}{18} + \frac{1}{9}$ ； $\frac{1}{24} + \frac{3}{24} =$ $\frac{1}{24} + \frac{1}{8}$ ； $\frac{1}{42} + \frac{6}{42} =$ $\frac{1}{42} + \frac{1}{7}$ ； $\frac{2}{30} + \frac{3}{30} =$ $\frac{1}{15} + \frac{1}{10}$ ，而 $\frac{2}{48} + \frac{6}{48}$ 与 $\frac{1}{24} + \frac{3}{24}$ 重复， $\frac{3}{54} + \frac{6}{54}$ 与 $\frac{1}{18} + \frac{2}{18}$ 重复．

⑵ 选取 $8$ 的三个约数 $1, 2, 4$ ，则 $\frac{1}{8} = \frac{1 \times (1 + 2 + 4)}{8 \times (1 + 2 + 4)} = \frac{1}{56} + \frac{2}{56} + \frac{4}{56} = \frac{1}{56} + \frac{1}{28} + \frac{1}{14}$

例题 1教师示范A1-05-010难度 C · 综合

请在方框内填入适当的自然数，使等式成立，问：共有几种不同的填法？

$\frac{1}{()} + \frac{1}{()} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5}$

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1 ( ) + 1 ( ) = 1 3 − 1 5

因为 $\frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{15}$ ，所以原题就是问将 $\frac{2}{15}$ 拆分成两个单位分数的和有几种结果．

因为 $15$ 的因数有 $1, 3, 5, 15$ ，选出其中的两个共有六种结果，分别是： $1, 3 ； 1, 5 ； 1, 15 ； 3, 5 ； 3, 15 ； 5, 15$ ，选 $3, 15$ 与选 $1, 5$ 一样，选 $5, 15$ 与选 $1, 3$ 一样，因此实际上有四种结果，再加上 $\frac{2}{15}$ 可以写成 $\frac{1}{15} + \frac{1}{15}$ ，所以共有五种填法．

$\frac{2}{15} = \frac{1}{15} + \frac{1}{15} = \frac{1}{10} + \frac{1}{30} = \frac{1}{9} + \frac{1}{45} = \frac{1}{8} + \frac{1}{120} = \frac{1}{12} + \frac{1}{20}$

03

练习随堂完成

练习 2随堂完成A1-05-015

我们把分子是 $1$ 的真分数叫做单位分数．三千多年前，埃及人发明了一种方法将一个分数分拆为几个不同的单位分数之和．

如：

$\begin{matrix} \frac{1}{2} = \frac{3}{6} = \frac{1 + 2}{6} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} = \frac{4}{12} = \frac{1 + 3}{12} = \frac{1}{12} + \frac{3}{12} = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} \\ \frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{1 + 3}{6} = \frac{1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \\ \dots \dots \end{matrix}$

⑴ 根据以上方法拆分： $\frac{3}{5} = \frac{6}{10} =_____+_____$ ．

⑵ 将 $\frac{1}{12}$ 拆分成两个单位分数的和，且两个单位分数的分母都小于 $50$ （ $3$ 种不同拆分）．

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解：⑴ $\frac{3}{5} = \frac{1}{10} + \frac{1}{2}$ 。⑵ 设两个分母为x、y，通分整理为 $(x - 12) (y - 12) = 144$ 。按题目“任写3种”的要求，可取因数对(4，36)、(6，24)、(8，18)。

答：⑴ $\frac{1}{10} + \frac{1}{2}$ 。⑵ 可写为 $\frac{1}{16} + \frac{1}{48} ； \frac{1}{18} + \frac{1}{36} ； \frac{1}{20} + \frac{1}{30}$ 。若问全部合法拆分，另有 $\frac{1}{21} + \frac{1}{28}$ 。

练习 1随堂完成A1-05-020

要将 $\frac{1}{12}$ 拆分成两个不同的单位分数的和，有哪几种结果？

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我们总结出分数拆分的步骤：找分母 1 2 的约数： 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 1 2 将 1 1 2 扩分： 1 1 2 = 1 + 2 1 2 × ( 1 + 2 ) ，或 1 1 2 = 1 + 3 1 2 × ( 1 + 3 ) ，或 1 1 2 = 1 + 4 1 2 × ( 1 + 4 ) ，或 1 1 2 = 1 + 6 1 2 × ( 1 + 6 ) ，

或 $\frac{1}{12} = \frac{1 + 12}{12 \times (1 + 12)}$ ，或 $\frac{1}{12} = \frac{2 + 3}{12 \times (2 + 3)}$ ，或 $\frac{1}{12} = \frac{3 + 4}{12 \times (3 + 4)}$ ．

将扩分后的 $\frac{1}{12}$ 拆分，能约分的约分：

即 $\frac{1}{36} + \frac{1}{18}$ ； $\frac{1}{48} + \frac{1}{16}$ ； $\frac{1}{60} + \frac{1}{15}$ ； $\frac{1}{84} + \frac{1}{14}$ ； $\frac{1}{156} + \frac{1}{13}$ ； $\frac{1}{30} + \frac{1}{20}$ ； $\frac{1}{28} + \frac{1}{21}$

04

作业独立完成

作业 2独立完成A1-05-030

分子为1的分数叫做单位分数，早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算．将一个分数分拆为几个不同的单位分数之和是一个古老且有意义的问题．例如： $\frac{3}{4} = \frac{1 + 2}{4} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$ ； $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{1 + 3}{6} = \frac{1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{1}{6} + \frac{1}{2}$

⑴仿照上例分别把分数 $\frac{3}{5}$ 分拆成两个不同的单位分数之和： $\frac{3}{5} =$ _____________；

⑵在上例中， $\frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$ ，又因为 $\frac{1}{2} = \frac{3}{6} = \frac{1 + 2}{6} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3}$ ，所以： $\frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3}$ ，即 $\frac{3}{4}$ 可以写成三个不同的单位分数之和．探索分数 $\frac{5}{8}$ 能写出哪三个不同的单位分数的和？

⑶按照这样的思路，它也可以写成四个，甚至五个不同的单位分数之和．根据这样的思路，把 $\frac{7}{16}$ 分拆成四个不同的单位分数的和．

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解：每一问先通分核对总和，再检查所有分母互不相同。⑴ 十分之一与二分之一通分后为五分之三。⑵ 八分之一、六分之一、三分之一通分后为八分之五。⑶ 十六分之一、十二分之一、八分之一、六分之一通分后为十六分之七。

答：⑴ $35 = 110 + 12$ ；⑵ $58 = 18 + 16 + 13$ ；⑶ $716 = 116 + 112 + 18 + 16$ 。

知识模块 07 · 综合训练

计算综合训练

每道综合题都按题干边界、分问编号、等号链和限定条件逐项完成，答案只出现在解析区。

例题 0随堂练习 0作业 1

本模块知识点

计算综合规范等号链题答唯一映射单位分数限定条件

解题路径

先划清各分问边界并抄准条件
观察结构后选择直接计算或运算律
逐行写等号，不省略关键符号
检查答案未泄露在题干且结果满足全部限制

01

作业独立完成

作业 1独立完成A1-05-011

若 $\frac{3}{4} < \frac{x}{36} < \frac{8}{9}$ ，且 $\frac{x}{36}$ 是最简分数，则 $x =$ _______．

查看答案解析

解：由 $34 < \frac{x}{36} < 89$ ，同乘36得27小于x小于32，所以整数候选为28、29、30、31。再逐一检查与36互质的条件，28、30均有公因数，29、31符合。

答：x等于29或31。