单位分数拆分 · 知识点讲解

本知识点

前置：正真分数与正整数因数单位分数的定义分式方程的因式分解因数对枚举的完备性分母互异与上界条件

解题路径

设两个分母为正整数并通分
把等式整理成两个整数因式的乘积等于定值
枚举定值的全部正因数对并还原分母
按互异、大小和数量要求筛选，再逐项回代

单位分数的拆分

单位分数：分子是 $1$ 的真分数叫做单位分数，记为 $\frac{1}{n}$ ．
将 $\frac{1}{n}$ 拆分成两个单位分数的和的步骤：

写出 $n$ 的约数 $n_{1}, n_{2}, n_{3}, \cdot \cdot \cdot,$ 从中挑选两个约数，例如 $n_{1}, n_{2} .$
把 $\frac{1}{n}$ 的分子、分母乘以两个约数的和（ $n_{1} + n_{2}$ ），得到 $\frac{1}{n} = \frac{n_{1} + n_{2}}{n (n_{1} + n_{2})}$
把分数拆成两个分数之和，使两个约数恰为两个分数的分子，得： $\frac{1}{n} = \frac{n_{1}}{n (n_{1} + n_{2})} + \frac{n_{2}}{n (n_{1} + n_{2})}$
把所得的两个分数约分，便得到要求的结果．

配套例题

看懂这几道题，就掌握了这个点

先做再看解析；做错的题建议加入练习单，到「诊断练习」里集中攻克。

题 A1-05-009难度 B · 巩固

⑴ 要将 $\frac{1}{6}$ 拆分成两个不同单位分数的和，有哪几种结果？

⑵ 在括号中填入不同的数字使等式成立

$\frac{1}{8} = \frac{1}{()} + \frac{1}{()} + \frac{1}{()}$

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⑵ 在括号中填入不同的数字使等式成立 1 8 = 1 ( ) + 1 ( ) + 1 ( )

⑴ 我们总结出分数拆分的步骤：找齐分母 $6$ 的约数： $1, 2, 3, 6$
将 $\frac{1}{6}$ 扩分： $\frac{1}{6} = \frac{1 + 2}{6 \times (1 + 2)}$ ，或 $\frac{1}{6} = \frac{1 + 3}{6 \times (1 + 3)}$ ，或 $\frac{1}{6} = \frac{1 + 6}{6 \times (1 + 6)}$ ，或 $\frac{1}{6} = \frac{2 + 3}{6 \times (2 + 3)}$ ，或 $\frac{1}{6} = \frac{2 + 6}{6 \times (2 + 6)}$ 或 $\frac{1}{6} = \frac{3 + 6}{6 \times (3 + 6)}$ ，
将扩分后的 $\frac{1}{6}$ 拆分，能约分的约分： $\frac{1}{18} + \frac{2}{18} =$ $\frac{1}{18} + \frac{1}{9}$ ； $\frac{1}{24} + \frac{3}{24} =$ $\frac{1}{24} + \frac{1}{8}$ ； $\frac{1}{42} + \frac{6}{42} =$ $\frac{1}{42} + \frac{1}{7}$ ； $\frac{2}{30} + \frac{3}{30} =$ $\frac{1}{15} + \frac{1}{10}$ ，而 $\frac{2}{48} + \frac{6}{48}$ 与 $\frac{1}{24} + \frac{3}{24}$ 重复， $\frac{3}{54} + \frac{6}{54}$ 与 $\frac{1}{18} + \frac{2}{18}$ 重复．

⑵ 选取 $8$ 的三个约数 $1, 2, 4$ ，则 $\frac{1}{8} = \frac{1 \times (1 + 2 + 4)}{8 \times (1 + 2 + 4)} = \frac{1}{56} + \frac{2}{56} + \frac{4}{56} = \frac{1}{56} + \frac{1}{28} + \frac{1}{14}$

题 A1-05-010难度 C · 综合

请在方框内填入适当的自然数，使等式成立，问：共有几种不同的填法？

$\frac{1}{()} + \frac{1}{()} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5}$

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1 ( ) + 1 ( ) = 1 3 − 1 5

因为 $\frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{15}$ ，所以原题就是问将 $\frac{2}{15}$ 拆分成两个单位分数的和有几种结果．

因为 $15$ 的因数有 $1, 3, 5, 15$ ，选出其中的两个共有六种结果，分别是： $1, 3 ； 1, 5 ； 1, 15 ； 3, 5 ； 3, 15 ； 5, 15$ ，选 $3, 15$ 与选 $1, 5$ 一样，选 $5, 15$ 与选 $1, 3$ 一样，因此实际上有四种结果，再加上 $\frac{2}{15}$ 可以写成 $\frac{1}{15} + \frac{1}{15}$ ，所以共有五种填法．

$\frac{2}{15} = \frac{1}{15} + \frac{1}{15} = \frac{1}{10} + \frac{1}{30} = \frac{1}{9} + \frac{1}{45} = \frac{1}{8} + \frac{1}{120} = \frac{1}{12} + \frac{1}{20}$

题 A1-05-015

我们把分子是 $1$ 的真分数叫做单位分数．三千多年前，埃及人发明了一种方法将一个分数分拆为几个不同的单位分数之和．

如：

$\begin{matrix} \frac{1}{2} = \frac{3}{6} = \frac{1 + 2}{6} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} = \frac{4}{12} = \frac{1 + 3}{12} = \frac{1}{12} + \frac{3}{12} = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} \\ \frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{1 + 3}{6} = \frac{1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \\ \dots \dots \end{matrix}$

⑴ 根据以上方法拆分： $\frac{3}{5} = \frac{6}{10} =_____+_____$ ．

⑵ 将 $\frac{1}{12}$ 拆分成两个单位分数的和，且两个单位分数的分母都小于 $50$ （ $3$ 种不同拆分）．

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解：⑴ $\frac{3}{5} = \frac{1}{10} + \frac{1}{2}$ 。⑵ 设两个分母为x、y，通分整理为 $(x - 12) (y - 12) = 144$ 。按题目“任写3种”的要求，可取因数对(4，36)、(6，24)、(8，18)。

答：⑴ $\frac{1}{10} + \frac{1}{2}$ 。⑵ 可写为 $\frac{1}{16} + \frac{1}{48} ； \frac{1}{18} + \frac{1}{36} ； \frac{1}{20} + \frac{1}{30}$ 。若问全部合法拆分，另有 $\frac{1}{21} + \frac{1}{28}$ 。

题 A1-05-020

要将 $\frac{1}{12}$ 拆分成两个不同的单位分数的和，有哪几种结果？

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我们总结出分数拆分的步骤：找分母 1 2 的约数： 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 1 2 将 1 1 2 扩分： 1 1 2 = 1 + 2 1 2 × ( 1 + 2 ) ，或 1 1 2 = 1 + 3 1 2 × ( 1 + 3 ) ，或 1 1 2 = 1 + 4 1 2 × ( 1 + 4 ) ，或 1 1 2 = 1 + 6 1 2 × ( 1 + 6 ) ，

或 $\frac{1}{12} = \frac{1 + 12}{12 \times (1 + 12)}$ ，或 $\frac{1}{12} = \frac{2 + 3}{12 \times (2 + 3)}$ ，或 $\frac{1}{12} = \frac{3 + 4}{12 \times (3 + 4)}$ ．

将扩分后的 $\frac{1}{12}$ 拆分，能约分的约分：

即 $\frac{1}{36} + \frac{1}{18}$ ； $\frac{1}{48} + \frac{1}{16}$ ； $\frac{1}{60} + \frac{1}{15}$ ； $\frac{1}{84} + \frac{1}{14}$ ； $\frac{1}{156} + \frac{1}{13}$ ； $\frac{1}{30} + \frac{1}{20}$ ； $\frac{1}{28} + \frac{1}{21}$

题 A1-05-030

分子为1的分数叫做单位分数，早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算．将一个分数分拆为几个不同的单位分数之和是一个古老且有意义的问题．例如： $\frac{3}{4} = \frac{1 + 2}{4} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$ ； $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{1 + 3}{6} = \frac{1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{1}{6} + \frac{1}{2}$

⑴仿照上例分别把分数 $\frac{3}{5}$ 分拆成两个不同的单位分数之和： $\frac{3}{5} =$ _____________；

⑵在上例中， $\frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$ ，又因为 $\frac{1}{2} = \frac{3}{6} = \frac{1 + 2}{6} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3}$ ，所以： $\frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3}$ ，即 $\frac{3}{4}$ 可以写成三个不同的单位分数之和．探索分数 $\frac{5}{8}$ 能写出哪三个不同的单位分数的和？

⑶按照这样的思路，它也可以写成四个，甚至五个不同的单位分数之和．根据这样的思路，把 $\frac{7}{16}$ 分拆成四个不同的单位分数的和．

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解：每一问先通分核对总和，再检查所有分母互不相同。⑴ 十分之一与二分之一通分后为五分之三。⑵ 八分之一、六分之一、三分之一通分后为八分之五。⑶ 十六分之一、十二分之一、八分之一、六分之一通分后为十六分之七。

答：⑴ $35 = 110 + 12$ ；⑵ $58 = 18 + 16 + 13$ ；⑶ $716 = 116 + 112 + 18 + 16$ 。