分组配对与错位相消 · 知识点讲解

本知识点

分问题答唯一对应分组与配对错位相消作差比较大小

解题路径

先确认每个分问的起止边界
标出重复的局部和并设为同一个整体
重新分组后化简或作差
把结论回填到对应分问，避免串答

配套例题

看懂这几道题，就掌握了这个点

先做再看解析；做错的题建议加入练习单，到「诊断练习」里集中攻克。

题 A1-05-007a难度 D · 提升

计算：

⑴ $76 \times (\frac{1}{23} - \frac{1}{53}) + 23 \times (\frac{1}{53} + \frac{1}{76}) - 53 \times (\frac{1}{23} - \frac{1}{76})$ ；

⑵ $(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}) \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4})$ ．

⑴计算： $(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}) - (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}) \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4})$ ；

比较大小：已知 $A = (1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \dots - \frac{1}{2020}) \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2021})$ ，

查看答案解析

解：本卡对应第一组计算。⑴ 将三项按相同分母结构重新配对，各组依次化为1、负1、1，和为1。⑵ 设 $a = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ ， $b = a + \frac{1}{5}$ ，则 $(1 + a) b - (1 + b) a = b - a = \frac{1}{5}$ 。

答：⑴ 1；⑵ $\frac{1}{5}$ 。

题 A1-05-007b难度 D · 提升

$B = (1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \dots - \frac{1}{2021}) \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2020})$ ，比较 $A$ 和 $B$ 的大小．

查看答案解析

解：本卡只对应A、B比较题。设 $m = \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2020}$ ， $n = m + \frac{1}{2021}$ 。作差： $A - B = (1 - m) n - (1 - n) m = n - m = \frac{1}{2021} > 0$ 。

答： $A > B$ 。

题 A1-05-008难度 E · 挑战

计算： $\frac{(10.75 - 4 \frac{11}{12}) \times 2 \frac{7}{11}}{(1.125 + \frac{1}{12}) \div (2.25 \div 10 \frac{10}{11})}$ ．

查看答案解析

原式 $=$ $\frac{(\frac{43}{4} - \frac{59}{12}) \times \frac{29}{11}}{(\frac{9}{8} + \frac{1}{12}) \div (\frac{9}{4} \div \frac{120}{11})}$ $=$ $\frac{\frac{70}{12} \times \frac{29}{11}}{\frac{29}{24} \times \frac{480}{99}}$ $=$ $\frac{70}{12} \times \frac{29}{11} \times \frac{24}{29} \times \frac{99}{480}$ $=$ $\frac{21}{8}$ ．