分数混合运算规范 · 知识点讲解

本知识点

前置：正负数、绝对值、乘方与相反数同级运算从左到右负数乘方先确认底数是否带括号小数、百分数与分数的准确互化

解题路径

圈出括号、绝对值和乘方，先确定每一步的符号
把有限小数和百分数准确化成分数
按括号、乘方、乘除、加减依次计算
每一步检查等号两边是否等值且结果是否最简

分数的混合运算

同分母分数相加减：分母不变，分子做加减．即 $\frac{a}{b} \pm \frac{c}{b} = \frac{a \pm c}{b}$ ．
异分母分数相加减：先通分，然后按照同分母分数加减法的法则进行计算．

加减运算技巧

分小统一，整分各算，适当凑整，巧用运算律

两个分数相乘，将分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母．

即 $\frac{p}{q} \times \frac{m}{n} = \frac{p \times m}{q \times n}$ ，

两个分数相除，如甲数除以乙数（ $0$ 除外），等于甲数乘以乙数的倒数，

乘除运算技巧

化小为分，变除为乘，改带为假

运算顺序：“从小（括号）到大（括号），从高（级）到低（级），从左到右”．

编者注

因为暑假已经学习了有理数的内容，所以本讲会包含有理数计算

配套例题

看懂这几道题，就掌握了这个点

先做再看解析；做错的题建议加入练习单，到「诊断练习」里集中攻克。

题 A1-05-001难度 B · 巩固

计算:

⑴ $\frac{1}{3} \times \frac{3}{4} \div (\frac{3}{4} - \frac{5}{12})$ ； ⑵ $3.5 \times 0.8 + 5.5 \times 80 % + \frac{4}{5} \times 100 %$ ；

⑶ $4 \frac{1}{3} \div (\frac{1}{3} + \frac{2}{7}) \div \frac{7}{11}$ ； ⑷ $\frac{4}{5} \div [(\frac{1}{3} + \frac{2}{5}) \times \frac{4}{11}]$ ．

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解：⑴ $13 \times 34 \div (34 - 512) = 14 \div 13 = 34$ 。⑵ $3.5 \times 0.8 + 5.5 \times 80 % + 45 \times 100 % = 2.8 + 4.4 + 0.8 = 8$ 。⑶ 先把带分数化成假分数，并把括号内通分： $133 \div (13 + 27) \div 711 = 133 \div 1321 \times 117 = 133 \times 2113 \times 117 = 11$ 。⑷ 先算中括号： $45 \div [(13 + 25) \times 411] = 45 \div (1115 \times 411) = 45 \div 415 = 45 \times 154 = 3$ 。

答：⑴ $34$ ；⑵ 8；⑶ 11；⑷ 3。

题 A1-05-002a难度 C · 综合

计算：

⑴ ${(- 1)}^{3} - 2^{2} - | 3 - 4 \frac{1}{2} | \times (- \frac{10}{3})$ ；

⑵ $- 5^{2} - [{(- 2)}^{3} + | 0.8 \times \frac{3}{4} - 1 | \div (- 2)]$ ．

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解：本卡只对应原题第一组的两个分问。⑴ 先算乘方和绝对值： $- 1 - 4 - \frac{3}{2} \times (- \frac{10}{3}) = 0$ 。⑵ 绝对值内为负零点四： $- 25 - [- 8 + 0.4 \times (- \frac{1}{2})] = - 16.8$ 。

答：⑴ 0；⑵ $- 16.8$ 。

题 A1-05-002b难度 C · 综合

计算：

⑴ $- 0.2 5^{2} + {(- \frac{1}{4})}^{2} - | - 4^{2} - 16 | + {(- 1 \frac{1}{2})}^{2}$ ；

⑵ $- 2^{5} \div (- 4) \times {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{12} \times {(- 5 + 2^{3})}^{2} + (- \frac{3^{2}}{5}) \times {(- \frac{5}{3})}^{2}$ ．

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解：本卡只对应原题第二组的两个分问。⑴ 把0.25化成 $14$ ，依次完成乘方与绝对值运算，得 $- 2934$ 。⑵ 先算乘方，再按先乘除后加减计算，得 $- 334$ 。

答：⑴ $- 2934$ ；⑵ $- 334$ 。

题 A1-05-013

计算：

⑴ $- 5 \frac{1}{2} \times \frac{4}{11} - 2^{3} \div [(- 3) + 5] - {(- \frac{2}{5})}^{3} \times 1 \frac{1}{4}$ ；

⑵ $1 \frac{1}{2} \div \frac{3}{4} \times (- 2) + \frac{1}{2} \div [{(- \frac{1}{2})}^{3} - {(- 1 \frac{1}{2})}^{2}] \times | - 9 \frac{1}{2} |$ ．

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解：⑴ 先约分并按乘除优先计算，三部分合并为 $- 14825$ 。⑵ 第一段为负4，第二段为负2，合计负6。

答：⑴ $- 52325$ ；⑵ 负6。

题 A1-05-014

计算： $- {(- 5)}^{2} \times 3 \frac{3}{4} - | - 0.47 | \times (- \frac{1}{2^{2}}) + 2 \frac{1}{2} \times 17.5 - (- 4.7) \times 0.075$ ．

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解：先把带分数和乘方化简，并保留原有正负号：

$- 25 \times 3.75 + 0.1175 + 43.75 + 0.3525 = - 49.53$

校验：唯一的负项绝对值大于其余三个正项之和，结果为负，符号合理。

答： $- 49.53$ 。

题 A1-05-016

计算：

⑴ $(- 1 \frac{1}{3}) \div (- 2 \frac{1}{4}) \times \frac{3}{4}$ ； ⑵ $6.14 + (- 2 \frac{3}{4}) - (- 5.86) - (+ \frac{1}{4})$ ；

⑶ $(- 7) \times (- 5) - 90 \div (- 15) + 3 \times (- 1)$ ； ⑷ $- 1^{4} + 16 \div {(- 2)}^{3} \times (- 3 - 1)$ ．

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解：⑴ 除法改乘倒数并约分，得 $49$ 。⑵ 按交换律把6.14与5.86、负2.75与负0.25分别凑整，得9。⑶ 先算除法，得35加6减3等于38。⑷ 题式中的16是整数16，先算除法与乘法，得负1加8等于7。

答：⑴ $49$ ；⑵ 9；⑶ 38；⑷ 7。

题 A1-05-017

计算：

⑴ $32 \times 0.25 - 2 \frac{2}{5} \div 4$ ； ⑵ $\frac{16}{15} - (65 % + \frac{4}{15}) \times 0.25$ ；

⑶ $\frac{1}{4} \times 1.8 + 2.2 \times 25 %$ ； ⑷ $\frac{3}{4} \times (1.5 - \frac{2}{3}) + 1.2 \times \frac{3}{4}$ ．

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解：⑴ 32乘0.25等于8，另一项为 $35$ ，作差得 $725$ 。⑵ 括号内通分后再乘 $14$ ，得 $6780$ 。⑶ 1.8乘0.25加2.2乘0.25等于1。⑷ 两项分别计算后合并为 $6140$ 。

答：⑴ $725$ ；⑵ $6780$ ；⑶ 1；⑷ $6140$ 。

题 A1-05-018

计算：

⑴ $75 \times 60 % + 24 \times \frac{3}{5} + 0.6$ ； ⑵ $19 \times \frac{17}{20}$ ；

⑶ $24 \div (\frac{3}{2} - \frac{4}{3}) - 6 \frac{21}{22} \times 22$ ； ⑷ $[\frac{5}{4} - \frac{1}{3} + {(- 2)}^{3} \times {(- \frac{1}{2})}^{2}] \times (- 12)$ ．

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解：逐问按先乘除后加减计算。⑴ $75 \times 60 % + 24 \times \frac{3}{5} + 0.6 = 60$ 。⑵ $19 \times \frac{17}{20} = 16 \frac{3}{20}$ 。⑶ 括号内为六分之一，两部分分别为144和153，所以差为负9。⑷ 中括号内为负十二分之十三，再乘负12得13。

答：⑴ 60；⑵ $16 \frac{3}{20}$ ；⑶ $- 9$ ；⑷ 13。

题 A1-05-021

计算：

⑴ $5 \div [{(- 1)}^{3} - 4] + 3^{2} \times (- 1)$ $= - 10$ ； ⑵ $- 1 - \frac{1}{4} \times (- 2^{2}) \div (- \frac{1}{2})$ ；

⑶ $- 99 \frac{67}{72} \times 36$ ； ⑷ $(\frac{1}{4} + \frac{3}{8} - \frac{7}{12}) \div \frac{1}{24}$ ．

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解：⑴ $5 \div [{(- 1)}^{3} - 4] + 3^{2} \times (- 1) = - 10$ 。⑵ $- 1 - \frac{1}{4} \times (- 2^{2}) \div (- \frac{1}{2}) = - 3$ 。⑶ $- (99 \frac{67}{72}) \times 36 = - 3597.5$ 。⑷ $(\frac{1}{4} + \frac{3}{8} - \frac{7}{12}) \div \frac{1}{24} = 1$ 。

答：⑴ $- 10$ ；⑵ $- 3$ ；⑶ $- 3597.5$ ；⑷ 1。

题 A1-05-024

计算：

⑴ ${(- 1)}^{2020} \times | 1 \frac{1}{2} | - (0.5) \div (- \frac{1}{3})$ ； ⑵ ${(- 4)}^{2} \div {(- 2)}^{3} - \frac{4}{9} \times {(- \frac{3}{2})}^{2} \div (- 1^{2})$ ．

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解：先算乘方和绝对值，再按从左到右的顺序计算乘除：

⑴ $1 \times 1.5 - 0.5 \div (- 13) = 1.5 + 1.5 = 3$ 。

⑵ $16 \div (- 8) - 49 \times 94 \div (- 1) = - 2 - (- 1) = - 1$ 。

答： $⑴ 3 ；⑵ - 1$ 。

题 A1-05-025

计算：

⑴ $2 \frac{1}{3} - 3 \frac{1}{2} - {- 2 \frac{1}{4} + [5 - (2 \frac{1}{2} + 3 \frac{2}{3})]}$ ；

⑵ $- 150 \times (- \frac{1}{8}) - 25 \times 0.125 + 50 \times (- \frac{1}{4})$ ；

⑶ $(1 \frac{3}{4} - \frac{7}{8} - \frac{7}{12}) \times (- \frac{8}{7}) + \frac{7}{8} \div (1 \frac{3}{4} - \frac{7}{8} - \frac{7}{12})$ ．

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解：⑴ 按小括号、中括号、大括号的顺序逐层计算，结果为 $214$ 。⑵ 把0.125化为 $18$ ，三项合并为 $258$ 。⑶ 公共括号值为 $724$ ，代回两处分别计算，得 $83$ 。

答：⑴ $214$ ；⑵ $258$ ；⑶ $223$ 。

题 A1-05-027

计算：

⑴ $2 \frac{5}{6} \times (- 1 \frac{1}{2}) \times \frac{6}{17} \div (\frac{1}{4} - \frac{2}{3})$ ； ⑵ $16 \div {(- 2)}^{3} - (- \frac{1}{8}) \times (- 4) + {(- 1)}^{2020}$ ；

⑶ $- 1^{4} - (1 - 0.5) \times \frac{1}{3} \times [2 - {(- 3)}^{2}]$ ； ⑷ $- 1^{2} - | 2 - 5 | \div (- 3) \times (1 - \frac{1}{3})$ ．

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解：四问均先算乘方和括号，再把除法改为乘倒数。⑴ 连续约分后为 $185$ 。⑵ 三项依次为负2、减 $12$ 、1。⑶ 中括号为负7，合并得 $16$ 。⑷ 绝对值为3，乘除链为 $- 23$ 。

答：⑴ $185$ ；⑵ $- 32$ ；⑶ $16$ ；⑷ $- 13$ 。