连乘消去与结构化简 · 知识点讲解

本知识点

连锁约分乘积消去结构观察

解题路径

拆写每个因式
寻找相邻分子分母
保留首尾未消项

配套例题

看懂这几道题，就掌握了这个点

先做再看解析；做错的题建议加入练习单，到「诊断练习」里集中攻克。

题 A1-05-005难度 C · 综合

计算：

⑴ $(1 + \frac{1}{2}) \times (1 + \frac{1}{4}) \times (1 + \frac{1}{6}) \times (1 + \frac{1}{8}) \times (1 + \frac{1}{3}) \times (1 + \frac{1}{5}) \times (1 + \frac{1}{7}) \times (1 + \frac{1}{9})$ ；

⑵ $(1 - \frac{1}{2}) \times (2 - \frac{2}{3}) \times (3 - \frac{3}{4}) \times (4 - \frac{4}{5}) \times (5 - \frac{5}{6}) \times (6 - \frac{6}{7}) \times (7 - \frac{7}{8}) \times (8 - \frac{8}{9}) \times (9 - \frac{9}{10})$ ．

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解：

连锁约分：

⑴ 原式 $= (1 + \frac{1}{2}) \times (1 + \frac{1}{3}) \times (1 + \frac{1}{4}) \times (1 + \frac{1}{5}) \times (1 + \frac{1}{6}) \times (1 + \frac{1}{7}) \times (1 + \frac{1}{8}) \times (1 + \frac{1}{9})$

$= \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{4} \times \frac{6}{5} \times \frac{7}{6} \times \frac{8}{7} \times \frac{9}{8} \times \frac{10}{9}$

$= 5$

⑵ 原式 $= 1 \times 2 \times \dots \times 9 \times (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \dots \times \frac{9}{10}) = 1 \times 2 \times \dots \times 9 \times \frac{1}{10} = 36288$

答：⑴ 5；⑵ 36288。

题 A1-05-012

计算： $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{7}{8} + \frac{15}{16} + \frac{31}{32} + \frac{63}{64} + \frac{127}{128}$ ．

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解：各项依次写成1减去分母为2、4、8、…、128的单位分数。七个1的和为7，而等比和 $12 + 14 + \dots + 1128 = 1 - 1128$ 。

答： $61128$ 。

题 A1-05-023

计算： $(1 + \frac{1}{2}) \times (1 - \frac{1}{2}) \times (1 + \frac{1}{3}) \times (1 - \frac{1}{3}) \times \dots \times (1 + \frac{1}{9}) \times (1 - \frac{1}{9})$ ．

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解：每组先用平方差，得到 $\prod_{k = 2}^{9} \frac{k - 1}{k} \cdot \frac{k + 1}{k}$ 。两条连乘链分别只保留首尾，乘积为 $19 \times 5 = 59$ 。

答： $59$ 。