整数裂项

整数裂项：

有一类题型是从一个等差数列中依次取出若干个数相乘形成一项，再求所有项之和，

比如：$1\times 2+2\times 3+3\times 4+\cdots +19\times 20$；$2\times 4+4\times 6+6\times 8+\cdots +98\times 100$

对于此种题型，可以用如下方法进行解决：

⑴先把每一项中最后一个数向后延到所在数列的下一个数，再把每项中最前面一个数向前伸到所在数列的前一个数；

⑵用它们的差除以“前伸后延”的差，就实现了每一项的裂项；

⑶通过加减抵消实现巧算．

需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于$0$时，可以取负数．当然也可以将这一项不参与裂项．

⑴请试着用$n$表示整数裂项公式：$n\left(n+1\right)=$______________________________．

$n\left(n+k\right)=$______________________________．

⑵利用公式计算：$1\times 2+2\times 3+3\times 4+4\times 5+\cdots +98\times 99+99\times 100$．

1. ⑴$n\left(n+1\right)=\frac{1}{3}\cdot \left[n\left(n+1\right)\left(n+2\right)-\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\right]$

$n\left(n+k\right)=\frac{1}{3k}\cdot \left[n\left(n+k\right)\left(n+2k\right)-\left(n-k\right)n\left(n+k\right)\right]$

⑵原式$=\frac{1}{3}\times \left(99\times 100\times 101-0\times 1\times 2\right)=333300$