第6讲计算之裂项 · 章法数学

知识模块 01 · 核心模型

分数裂差基础

把乘积分母的分数拆成两个单位分数之差，形成望远镜相消。

例题 2随堂练习 3作业 0

本模块知识点

分数裂差单位分数裂项相消

解题路径

把分母识别为两个因数乘积
补出两因数之差
拆成两个分数并观察相消

01

知识讲解定义、性质与方法

分数裂差

“裂差”型计算

⑴ 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 $\frac{1}{a \times b} (a < b)$ 型

由 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{a \times b} = (b - a) \times \frac{1}{a \times b}$ ，可得： $\frac{1}{a \times b} = \frac{1}{b - a} \times (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})$ ．

公式

：

\frac{1}{n (n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}

；

\frac{1}{n (n + k)} = \frac{1}{k} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + k})

．（勿忘系数“

\frac{1}{k}

”）

思考

要是对

\frac{1}{n (n - 1)}

进行裂项，结果应该是什么样子的？

⑵对于分母上为 $3$ 个连续自然数乘积形式的分数，即： $\frac{1}{n \times (n + 1) \times (n + 2)}$ 型．

由： $\frac{1}{n \times (n + 1)} - \frac{1}{(n + 1) \times (n + 2)} = \frac{n + 2 - n}{n \times (n + 1) \times (n + 2)} = \frac{2}{n \times (n + 1) \times (n + 2)}$ ，

可得：

公式

：

\frac{1}{n \times (n + 1) \times (n + 2)} = \frac{1}{2} [\frac{1}{n \times (n + 1)} - \frac{1}{(n + 1) (n + 2)}]

总结

“裂差”型裂项的三大常见特征：

⑴分子相同．

⑵分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 $2$ 个分母上的因数“首尾相接”．

⑶分母上几个因数间的差是一个定值．

02

例题教师示范

例题 12教师示范A1-06-001难度 B · 巩固

计算：

⑴ $\frac{1}{10 \times 11} + \frac{1}{11 \times 12} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{59 \times 60}$ ；

⑵ $\frac{2}{3 \times 4} + \frac{2}{4 \times 5} + \dots + \frac{2}{8 \times 9} + \frac{2}{9 \times 10}$ ．

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解：

⑴ 原式 $= \frac{1}{10} - \frac{1}{11} + \frac{1}{11} - \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{59} - \frac{1}{60}$ $= \frac{1}{10} - \frac{1}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$

⑵ 原式 $= 2 \times (\frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{8} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{10}) = 2 \times (\frac{1}{3} - \frac{1}{10}) = \frac{7}{15}$

答：⑴ 1/12；⑵ 7/15。

例题 11教师示范A1-06-002难度 B · 巩固

计算： $\frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{4 \times 6} + \frac{1}{6 \times 8} + \dots + \frac{1}{2012 \times 2014} + \frac{1}{2014 \times 2016} + \frac{1}{2016 \times 2018}$ ．

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原式 $= \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{2014} - \frac{1}{2016} + \frac{1}{2016} - \frac{1}{2018}) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{2018}) = \frac{252}{1009}$

03

练习随堂完成

练习 6随堂完成A1-06-012

计算： $\frac{2}{1 \times 4} + \frac{2}{4 \times 7} + \frac{2}{7 \times 10} + \dots + \frac{2}{97 \times 100}$ 的值．

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解：对n等于1、4、7、…、97，使用 $\frac{2}{n (n + 3)} = 23 (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 3})$ 。逐项相消后为 $23 (1 - 1100) = 3350$ 。

答： $3350$ 。

练习 5随堂完成A1-06-014

阅读：因为 $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{2 \times 3} - \frac{2}{3 \times 2} = \frac{1}{2 \times 3}$ ，

$\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{3 \times 4} - \frac{3}{4 \times 3} = \frac{1}{3 \times 4}$ ，

$\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5}{4 \times 5} - \frac{4}{5 \times 4} = \frac{1}{4 \times 5}$ ，

……

将上面的式子反过来，有等式：

$\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$ ，……

问题：从 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ，……， $\frac{1}{99}$ ， $\frac{1}{100}$ 中选出 $10$ 个不同的分数，使它们的和等于 $1$ ．

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解：原教师稿把末项写成 $1110$ ，超出题目范围，且原十项和不是1，不能采用。改用 $\frac{1}{k (k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ 。取k等于1到9，前九项为 $12 ， 16 ， 112 ， 120 ， 130 ， 142 ， 156 ， 172 ， 190$ ，和为 $910$ ；再加 $110$ 。十个分数互异，且均在题定范围内。

答： $12 + 16 + 112 + 120 + 130 + 142 + 156 + 172 + 190 + 110 = 1$ 。

练习 4随堂完成A1-06-015

阅读 $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{3 - 2}{2 \times 3} = \frac{3}{2 \times 3} - \frac{2}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

以上过程，是逆用异分母分数减法的方法得到: $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ （*）

⑴根据（*）式直接计算 $\frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + \frac{1}{5 \times 6} + \frac{1}{6 \times 7} + \frac{1}{7 \times 8} + \frac{1}{8 \times 9} + \frac{1}{9 \times 10}$

⑵计算： $\frac{1}{1 \times 4} + \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{7 \times 10} + \frac{1}{10 \times 13} + \frac{1}{13 \times 16} + \frac{1}{16 \times 19} + \frac{1}{19 \times 22}$

⑶计算： $\frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + \frac{1}{1 + 2 + 3 + 4} + \frac{1}{1 + 2 + 3 + 4 + 5} + \dots + \frac{1}{1 + 2 + 3 + \dots + 2012}$

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解：⑴ 用相邻单位分数作差，首尾相消为 $12 - 110 = 25$ 。⑵ 步长为3，提出 $13$ 后相消，得 $722$ 。⑶ 第k项分母是 $\frac{k (k + 1)}{2}$ ，故从k等于2到2012的和为 $20112013$ 。

答：⑴ $25$ ；⑵ $722$ ；⑶ $20112013$ 。

知识模块 02 · 解题模型

跨步裂差与奇偶分组

处理分母相隔2或固定步长的裂差，并按奇偶项或周期分组。

例题 3随堂练习 1作业 3

本模块知识点

跨步裂项奇偶分组周期相消

解题路径

确定相邻因数的固定差
写出裂差系数
按相消链保留边界项

01

例题教师示范

例题 10教师示范A1-06-003难度 C · 综合

计算：

⑴ $\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{4 \times 6} + \dots + \frac{1}{98 \times 100} + \frac{1}{99 \times 101}$ ．

⑵ $\frac{1}{1 \times 3} - \frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{3 \times 5} - \frac{1}{4 \times 6} + \dots - \frac{1}{98 \times 100} + \frac{1}{99 \times 101}$ ．

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解：

⑴ 原式 $= \frac{1}{2} \times (\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{99} - \frac{1}{101}) = \frac{1}{2} \times (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{100} - \frac{1}{101}) = \frac{14949}{20200}$

⑵ $\frac{1}{1 \times 3} - \frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{3 \times 5} - \frac{1}{4 \times 6} + \dots - \frac{1}{98 \times 100} + \frac{1}{99 \times 101}$

$\begin{matrix} = (\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \dots + \frac{1}{99 \times 101}) - (\frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{4 \times 6} + \dots + \frac{1}{98 \times 100}) \\ = \frac{1}{2} \times (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{99} - \frac{1}{101}) - \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{98} - \frac{1}{100}) \\ = \frac{1}{2} \times (1 - \frac{1}{101}) - \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{100}) \\ = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{10100}) = \frac{5051}{20200} \end{matrix}$

答：⑴ 14949/20200；⑵ 5051/20200。

例题 9教师示范A1-06-004难度 C · 综合

计算：

⑴ $\frac{2}{4 \times 3} + \frac{2}{5 \times 4} + \dots + \frac{2}{9 \times 8} + \frac{2}{10 \times 9}$ ；

⑵ $\frac{1}{20 \times 17} + \frac{1}{17 \times 14} + \frac{1}{14 \times 11} + \frac{1}{11 \times 8} + \frac{1}{8 \times 5} + \frac{1}{5 \times 2}$ ．

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解：

⑴ 原式 $= 2 \times (\frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{8} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{10})$ $= 2 \times (\frac{1}{3} - \frac{1}{10}) = \frac{7}{15}$

⑵ 原式 $= \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{17} - \frac{1}{20})$ $= \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{20}) = \frac{3}{20}$

答：⑴ 7/15；⑵ 3/20。

例题 8教师示范A1-06-005难度 C · 综合

计算：

⑴ $\frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \frac{1}{56} + \frac{1}{72} + \frac{1}{90}$ ；

⑵ $\frac{1}{2} + \frac{5}{6} + \frac{11}{12} + \frac{19}{20} + \frac{29}{30} + \dots + \frac{9701}{9702} + \frac{9899}{9900}$ ．

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解：

⑴ 原式 $= \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + \frac{1}{5 \times 6} + \frac{1}{6 \times 7} + \frac{1}{7 \times 8} + \frac{1}{8 \times 9} + \frac{1}{9 \times 10} = \frac{1}{2} - \frac{1}{10} = \frac{2}{5}$

⑵ 原式 $= 1 - \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{6} + 1 - \frac{1}{12} + 1 - \frac{1}{20} + \cdot \cdot \cdot + 1 - \frac{1}{9702} + 1 - \frac{1}{9900}$

$= 99 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{9702} + \frac{1}{9900})$

$= 99 - (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{98} - \frac{1}{99} + \frac{1}{99} - \frac{1}{100})$

$= 99 - \frac{99}{100} = 98 \frac{1}{100}$ ．

答：⑴ 2/5；⑵ 98又1/100。

02

练习随堂完成

练习 3随堂完成A1-06-017

计算：

⑴ $\frac{2}{1 \times 3} + \frac{2}{3 \times 5} + \frac{2}{5 \times 7} + \dots + \frac{2}{37 \times 39}$ ；

⑵ $\frac{3}{2019 \times 2017} + \frac{3}{2017 \times 2015} + \dots + \frac{3}{7 \times 5} + \frac{3}{5 \times 3}$ ．

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解：⑴ 用 $\frac{2}{(2 k - 1) (2 k + 1)} = \frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k + 1}$ ，相消后得 $3839$ 。⑵ 步长为2时提出 $32$ ，首尾相消得 $336673$ 。

答：⑴ $3839$ ；⑵ $336673$ 。

03

作业独立完成

作业 12独立完成A1-06-018

计算： $\frac{25}{2 \times 3} - \frac{35}{3 \times 4} + \frac{45}{4 \times 5} - \dots - \frac{95}{9 \times 10} + \frac{105}{10 \times 11}$ ．

（提示：简便运算，先提公因数）

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解：把每项的分子拆成相邻分母两因子之和，得到 $\frac{2 n + 1}{n (n + 1)} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1}$ 。代回题式后交错项抵消，只剩5倍的两个边界项，得 $5 (12 + 111) = 6522$ 。

答： $6522$ 。

作业 11独立完成A1-06-022

计算： $1 - \frac{5}{6} + \frac{7}{12} - \frac{9}{20} + \frac{11}{30} - \frac{13}{42} + \frac{15}{56} - \frac{17}{72} + \frac{19}{90}$ ．

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解：将题中各分数分别拆成相邻两个单位分数之和，按原式正负号排列后，中间项两两抵消，只剩 $1 - 12 + 110 = 35$ 。

答： $35$ 。

作业 10独立完成A1-06-024

计算：

⑴ $1 \frac{1}{2} + 2 \frac{1}{6} + 3 \frac{1}{12} + 4 \frac{1}{20} + 5 \frac{1}{30} + 6 \frac{1}{42} + 7 \frac{1}{56} + 8 \frac{1}{72} + 9 \frac{1}{90}$ ；

⑵ $1 \frac{1}{2} - 2 \frac{5}{6} + 3 \frac{1}{12} - 4 \frac{19}{20} + 5 \frac{1}{30} - 6 \frac{41}{42} + 7 \frac{1}{56} - 8 \frac{71}{72} + 9 \frac{1}{90}$ .

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解：⑴ 整数部分为 $1 + 2 + 3 + \dots + 9 = 45$ 。分数部分逐项用相邻单位分数裂项： $12 + 16 + \dots + 190 = (1 - 12) + (12 - 13) + \dots + (19 - 110) = 910$ ，所以第⑴式为 $45 + 910 = 45910$ 。

⑵ 整数的交错和为 $1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9 = 5$ 。又因为 $56 = 1 - 16 ， 1920 = 1 - 120 ， 4142 = 1 - 142 ， 7172 = 1 - 172$ ，带符号的分数部分为 $- 4 + (12 + 16 + 112 + 120 + 130 + 142 + 156 + 172 + 190) = - 4 + 910 = - 3110$ 。因此第⑵式为 $5 - 3110 = 1910 = 1.9$ 。

答：⑴ $45910$ ；⑵ $1910 = 1.9$ 。

知识模块 03 · 提升模型

多因子裂差

前置是分数减法与分配律。三个、四个连续因子的倒数都可由相邻低一阶乘积之差降阶，补偿系数由展开后的分子确定。

例题 2随堂练习 1作业 2

本模块知识点

前置：异分母减法与乘法分配律三因子降阶四因子降阶补偿系数高阶望远镜求和

解题路径

写出相邻两个低一阶乘积倒数的差
通分并比较分子，求出补偿系数
逐项降阶并展开首项、次项和末项
消去中间项，只计算两端保留项并回代验算

01

例题教师示范

例题 7教师示范A1-06-006a难度 D · 提升

计算：

⑴ $\frac{3}{2 \times 3 \times 4} + \frac{3}{3 \times 4 \times 5} + \frac{3}{4 \times 5 \times 6} + \dots + \frac{3}{18 \times 19 \times 20}$ ．

⑵ $\frac{4 \times 4 \times 6}{2 \times 4 \times 6} - \frac{4 \times 4 \times 6}{4 \times 6 \times 8} - \frac{4 \times 4 \times 6}{6 \times 8 \times 10} - \dots - \frac{4 \times 4 \times 6}{96 \times 98 \times 100}$ ．

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解：本卡对应原题三因子裂项两问。⑴ 用 $\frac{3}{n (n + 1) (n + 2)} = 32 (\frac{1}{n (n + 1)} - \frac{1}{(n + 1) (n + 2)})$ ，中间项相消，得 $187760$ 。⑵ 对步长为2的三因子同样裂项，负号后的相消和为 $1 - 31225$ ，故全式为 $131225$ 。

答：⑴ $187760$ ；⑵ $131225$ 。

例题 6教师示范A1-06-006b难度 D · 提升

【学生版有】

【思考】要是形如

\frac{1}{n (n + 1) (n + 2) (n + 3)}

这样分母四项乘积的形式，那么如何裂项呢？比如下面的一道题目：计算：

\frac{3}{1 \times 2 \times 3 \times 4} + \frac{3}{2 \times 3 \times 4 \times 5} + . . . . . . + \frac{3}{17 \times 18 \times 19 \times 20}

．

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解：本卡是独立的四因子拓展题。恒等式为 $\frac{3}{n (n + 1) (n + 2) (n + 3)} = \frac{1}{n (n + 1) (n + 2)} - \frac{1}{(n + 1) (n + 2) (n + 3)}$ 。从n等于1加到17，中间项全部相消，只剩 $16 - 16840 = 11396840$ 。

答： $11396840$ 。

02

练习随堂完成

练习 2随堂完成A1-06-013

计算： $\frac{1}{1 \times 2 \times 3} + \frac{1}{2 \times 3 \times 4} + \frac{1}{3 \times 4 \times 5} + \dots + \frac{1}{8 \times 9 \times 10}$ 的值．

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解：用三因子裂项公式 $\frac{1}{n (n + 1) (n + 2)} = 12 (\frac{1}{n (n + 1)} - \frac{1}{(n + 1) (n + 2)})$ ，从n等于1到8展开，中间项相消；结合题式系数整理后得 $1145$ 。

答： $1145$ 。

03

作业独立完成

作业 9独立完成A1-06-019

计算： $\frac{1}{1 \times 2 \times 3} + \frac{1}{2 \times 3 \times 4} + \dots \dots + \frac{1}{98 \times 99 \times 100}$ ．

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解：对连续三因子用三因子裂项，从n等于1到98展开。中间项全部相消，只保留开头与末尾： $12 (12 - 19900) = 494919800$ 。

答： $494919800$ 。

作业 8独立完成A1-06-027

计算：

$\frac{1}{1 \times 3 \times 5} + \frac{1}{3 \times 5 \times 7} + \frac{1}{5 \times 7 \times 9} + \dots + \frac{1}{45 \times 47 \times 49}$

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解：使用 $\frac{1}{n (n + 2) (n + 4)} = 14 (\frac{1}{n (n + 2)} - \frac{1}{(n + 2) (n + 4)})$ 。按题中奇数序列展开，核对首两项与末两项后相消，边界项通分得 $5756909$ 。

答： $5756909$ 。

知识模块 04 · 提升模型

嵌套和与阶乘型裂差

把部分和、连乘积或阶乘结构改写为相邻项的差。

例题 2随堂练习 0作业 2

本模块知识点

部分和阶乘型裂项递推结构

解题路径

把分母写成相邻结构
寻找前一项与后一项关系
构造差后求和

01

例题教师示范

例题 5教师示范A1-06-007难度 D · 提升

计算： $1 + \frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + \dots \dots + \frac{1}{1 + 2 + \dots + 100}$ $=________$

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根据等差数列求和公式： $\frac{1}{1 + 2 + \dots + n} = \frac{1}{\frac{1 + n}{2} \times n} = \frac{2}{n (n + 1)} = 2 \times (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$ ．

原式 $= \frac{2}{1 \times 2} + \frac{2}{2 \times 3} + \frac{2}{3 \times 4} + \dots \dots + \frac{2}{100 \times 101} = 2 \times (1 - \frac{1}{101}) = \frac{200}{101} = 1 \frac{99}{101}$

例题 4教师示范A1-06-008难度 D · 提升

计算： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{2}{1 \times 2 \times 3} + \frac{3}{1 \times 2 \times 3 \times 4} + \frac{4}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5} + \frac{5}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6} + \frac{6}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7}$ ．

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解：

$= \frac{1}{1 \times 2} + \frac{3 - 1}{1 \times 2 \times 3} + \frac{4 - 1}{1 \times 2 \times 3 \times 4} + \frac{5 - 1}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5} + \frac{6 - 1}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6} + \frac{7 - 1}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7}$

$= \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{1 \times 2 \times 3} + \frac{1}{1 \times 2 \times 3} - \frac{1}{1 \times 2 \times 3 \times 4} + \dots - \frac{1}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7}$

$= \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7}$

$\begin{matrix} = 1 - \frac{1}{5040} \\ = \frac{5039}{5040} \end{matrix}$

答：5039/5040。

02

作业独立完成

作业 7独立完成A1-06-021

计算： $\frac{504}{4 \times 8} + \frac{504}{8 \times 12} + \frac{504}{12 \times 16} + \dots + \frac{504}{2008 \times 2012} + \frac{504}{2012 \times 2016}$ ．

查看答案解析

解：把第k项化为 $632 (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1})$ 。从k等于1加到503，首尾相消后为 $50316$ 。

答： $31716$ 。

作业 6独立完成A1-06-029

计算：

$\frac{2}{1 \times (1 + 2)} + \frac{3}{(1 + 2) \times (1 + 2 + 3)} + \frac{4}{(1 + 2 + 3) \times (1 + 2 + 3 + 4)} + \dots + \frac{100}{(1 + 2 + \dots + 99) \times (1 + 2 + \dots + 99 + 100)}$

查看答案解析

解：令 $S_{n} = 1 + \dots + n$ ，则第n项可写为 $\frac{1}{S_{n - 1}} - \frac{1}{S_{n}}$ 。从n等于2加到100，中间项相消，得 $1 - 15050 = 50495050$ 。

答： $50495050$ 。

知识模块 05 · 核心模型

分数裂和

把分数拆成两个分数之和，通过正负交替、配对或同分母合并。

例题 3随堂练习 0作业 0

本模块知识点

分数裂和正负交替分组配对

解题路径

观察分子与分母的和差关系
拆成可配对的两部分
按顺序合并或相消

01

知识讲解定义、性质与方法

分数裂和

“裂和”型计算

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

公式

⑴ $\frac{a + b}{a \times b} = \frac{a}{a \times b} + \frac{b}{a \times b} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}$

⑵ $\frac{a^{2} + b^{2}}{a \times b} = \frac{a^{2}}{a \times b} + \frac{b^{2}}{a \times b} = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$

编者注
“裂和”型运算与“裂差”型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”;裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的．

02

例题教师示范

例题 3教师示范A1-06-009难度 B · 巩固

计算： $\frac{4}{3} - \frac{8}{15} + \frac{12}{35} - \frac{16}{63} + \frac{20}{99} - \frac{24}{143}$ ．

查看答案解析

原式 $= \frac{4}{1 \times 3} - \frac{8}{3 \times 5} + \frac{12}{5 \times 7} - \frac{16}{7 \times 9} + \frac{20}{9 \times 11} - \frac{24}{11 \times 13}$

$\begin{matrix} = (1 + \frac{1}{3}) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{7}) - (\frac{1}{7} + \frac{1}{9}) + (\frac{1}{9} + \frac{1}{11}) - (\frac{1}{11} + \frac{1}{13}) \\ = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{11} - \frac{1}{11} - \frac{1}{13} \\ = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13} \end{matrix}$

例题 2教师示范A1-06-010难度 C · 综合

计算： $7 \frac{5}{6} - 6 \frac{7}{12} + 5 \frac{9}{20} - 4 \frac{11}{30} + 3 \frac{13}{42} - 2 \frac{15}{56} + 1 \frac{17}{72}$

查看答案解析

原式 $= 7 - 6 + 5 - 4 + 3 - 2 + 1 + (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{8} + \frac{1}{9})$ $= 4 + \frac{1}{2} + \frac{1}{9} = 4 \frac{11}{18}$

例题 1教师示范A1-06-011难度 C · 综合

计算： $\frac{1}{3} + \frac{3}{4} + \frac{3}{5} + \frac{5}{7} + \frac{7}{8} + \frac{9}{20} + \frac{10}{21} + \frac{11}{24} + \frac{12}{35}$ ．

查看答案解析

原式 $= \frac{1}{3} + \frac{3}{4} + \frac{3}{5} + \frac{5}{7} + \frac{7}{8} + \frac{9}{20} + \frac{10}{21} + \frac{11}{24} + \frac{12}{35}$

$\begin{matrix} = \frac{1}{3} + \frac{3}{4} + \frac{3}{5} + \frac{5}{7} + \frac{7}{8} + (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{7}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{8}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{7}) \\ = (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + (\frac{3}{4} + \frac{1}{4}) + (\frac{3}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}) + (\frac{5}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7}) + (\frac{7}{8} + \frac{1}{8}) \\ = 5 \end{matrix}$

知识模块 06 · 拓展模型

整数裂项

前置是乘法分配律和等差数列。把连续或等距两因子的乘积写成相邻三因子乘积之差，再提出固定补偿系数完成求和。

例题 0随堂练习 0作业 1

本模块知识点

前置：等差数列与分配律连续两因子乘积裂项等距两因子乘积裂项整数乘积和的边界项

解题路径

确认因子是连续还是固定步长
构造后一组三因子乘积减前一组三因子乘积
展开核对补偿系数
逐项相加并保留首尾边界，最后检验量级

01

知识讲解定义、性质与方法

整数裂项：

有一类题型是从一个等差数列中依次取出若干个数相乘形成一项，再求所有项之和，

比如：

1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + \dots + 19 \times 20

；

2 \times 4 + 4 \times 6 + 6 \times 8 + \dots + 98 \times 100

对于此种题型，可以用如下方法进行解决：

⑴先把每一项中最后一个数向后延到所在数列的下一个数，再把每项中最前面一个数向前伸到所在数列的前一个数；

⑵用它们的差除以“前伸后延”的差，就实现了每一项的裂项；

⑶通过加减抵消实现巧算．

需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于 $0$ 时，可以取负数．当然也可以将这一项不参与裂项．

比如

$1 \times 2 = \frac{1}{3} \times (1 \times 2 \times 3 - 0 \times 1 \times 2)$

$2 \times 3 = \frac{1}{3} \times (2 \times 3 \times 4 - 1 \times 2 \times 3)$

$3 \times 4 = \frac{1}{3} \times (3 \times 4 \times 5 - 2 \times 3 \times 4)$

∴ $1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 = 3 \times 4 + 2 \times 3 + 1 \times 2$

$= \frac{1}{3} \times (3 \times 4 \times 5 - 2 \times 3 \times 4 + 2 \times 3 \times 4 - 1 \times 2 \times 3 + 1 \times 2 \times 3 - 0 \times 1 \times 2)$

$= \frac{1}{3} \times (3 \times 4 \times 5 - 0 \times 1 \times 2)$

⑴请试着用 $n$ 表示整数裂项公式： $n (n + 1) =$ ______________________________．

$n (n + k) =$ ______________________________．

⑵利用公式计算： $1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + 4 \times 5 + \dots + 98 \times 99 + 99 \times 100$ ．

⑴ $n (n + 1) = \frac{1}{3} \cdot [n (n + 1) (n + 2) - (n - 1) n (n + 1)]$

$n (n + k) = \frac{1}{3 k} \cdot [n (n + k) (n + 2 k) - (n - k) n (n + k)]$

⑵原式 $= \frac{1}{3} \times (99 \times 100 \times 101 - 0 \times 1 \times 2) = 333300$

02

作业独立完成

作业 5独立完成A1-06-028

计算： $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{30} + \frac{1}{31} + \frac{1}{41} + \frac{20}{3 \times 17} + \frac{10}{7 \times 17} + \frac{26}{4 \times 30} + \frac{38}{3 \times 41} + \frac{27}{124}$ ．

查看答案解析

原式 = 1 2 + 1 3 + 1 3 0 + 1 3 1 + 1 4 1 + ( 1 3 + 1 1 7 ) + ( 1 7 − 1 1 7 ) + ( 1 4 − 1 3 0 ) + ( 1 3 − 1 4 1 ) + ( 1 4 − 1 3 1 )

$= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ $= 2 \frac{1}{7}$ ．

知识模块 07 · 综合训练

裂项综合训练

按“结构识别—补偿系数—展开相消—首尾验算”完整书写；混合计算题另需展示带分数、除法和小数的准确互化。

例题 0随堂练习 1作业 4

本模块知识点

裂差与裂和判别固定步长与补偿系数多因子降阶带分数和小数互化望远镜和的边界检查

解题路径

识别分母因子个数和固定步长
写出裂项恒等式并核对补偿系数
至少展开首两项和末两项，标出相消项
计算首尾保留项并化成最简结果
用估算或小规模代入复核

01

练习随堂完成

练习 1随堂完成A1-06-016

计算：

⑴ $7 \frac{11}{20} - 4 \frac{2}{5} + 8 \frac{9}{20}$ ； ⑵ $0.8 \div \frac{7}{20} \times 1 \frac{3}{7}$ ；

⑶ $\frac{7}{9} \times (1 \div \frac{7}{8} + 1 \frac{1}{7} \div 1)$ ； ⑷ $(4.8 \times 7.5 \times 8.1) \div (2.4 \times 2.5 \times 2.7)$ ．

查看答案解析

解：⑴ 同分母部分先合并，得 $1135$ 。⑵ 把0.8和带分数化成分数并约分，得 $31349$ 。⑶ 括号内两项均为 $87$ ，结果为 $179$ 。⑷ 分子分母逐项约分为2乘3乘3等于18。

答：⑴ $1135$ ；⑵ $31349$ ；⑶ $179$ ；⑷ 18。

02

作业独立完成

作业 4独立完成A1-06-020

计算：

⑴ $2 \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \times 4$ ； ⑵ $1 + (6 \frac{7}{12} - 3.5) \div 9$ ；

⑶ $9 \frac{6}{17} \times 5 \frac{2}{3} - 9.75 \div 4 \frac{7}{8}$ ； ⑷ $24 \times (\frac{3}{8} - 0.25 + \frac{5}{6})$ ；

⑸ $- 77 \times \frac{75}{76} + 39 \times \frac{37}{38}$ ．

查看答案解析

解：⑴ 先乘后减，得 $45$ 。⑵ 括号内为 $3712$ ，除以9再加1得 $137108$ 。⑶ 第一部分约分为53，第二部分为2，差为51。⑷ 括号内通分后乘24，得23。⑸ 分别改写成接近整数的乘积，合并得 $- 38176$ 。

答：⑴ $45$ ；⑵ $137108$ ；⑶ 51；⑷ 23；⑸ $- 38176$ 。

作业 3独立完成A1-06-023

计算：

⑴ $10 \frac{49}{50} \times 50$ ； ⑵ $(\frac{5}{6} - \frac{7}{18} + \frac{7}{9}) \times 36$ ；

⑶ $95 \frac{3}{5} \times 8.4 - 95.6 \times 3 \frac{2}{5}$ ； ⑷ $16 - 1 \frac{2}{3} \times 2 \frac{2}{5} + 10.2 \div \frac{1}{2}$ ；

⑸ $172.4 \times 6 \frac{1}{5} + 272.4 \times 3 \frac{4}{5}$ ．

查看答案解析

解：⑴ $(10 \frac{49}{50}) \times 50 = 549$ 。⑵ $(\frac{5}{6} - \frac{7}{18} + \frac{7}{9}) \times 36 = 44$ 。⑶ $(95 \frac{3}{5}) \times 8.4 - 95.6 \times (3 \frac{2}{5}) = 478$ 。⑷ $16 - (1 \frac{2}{3}) \times (2 \frac{2}{5}) + 10.2 \div \frac{1}{2} = 32 \frac{2}{5}$ 。⑸ $172.4 \times (6 \frac{1}{5}) + 272.4 \times (3 \frac{4}{5}) = 2104$ 。

答：⑴ 549；⑵ 44；⑶ 478；⑷ $32 \frac{2}{5}$ ；⑸ 2104。

作业 2独立完成A1-06-025

单位分数拆分：

在括号中填入适当的自然数，使等式成立

$\frac{3}{20} = \frac{1}{()} + \frac{1}{()}$

查看答案解析

解：设两个分母为正整数x、y，且x小于y。由 $320 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 整理得(3x减20)(3y减20)等于400。枚举400的正因数对并还原分母，得到四组无序正整数解。

答：(x，y)等于(7，140)、(8，40)、(10，20)、(12，15)。

作业 1独立完成A1-06-026

计算：

⑴ $(1 \frac{1}{4} \times 1.2 + 2 \frac{1}{2}) \div 1.8$ ； ⑵ $4.5 + (2 \frac{1}{3} - 2.1 \div 1 \frac{1}{6})$ ；

⑶ $4 \frac{4}{5} \div [1.6 \times (2 \frac{4}{5} + 5.2)]$ ； ⑷ $12.8 \div [3 \frac{1}{5} \times (5 - 2.8 \div \frac{14}{15})]$ ．

查看答案解析

解：⑴ 括号内为4，再除以1.8，得 $229$ 。⑵ 2.1除以 $116$ 为1.8，结果为 $5130$ 。⑶ 中括号内为12.8，结果为 $38$ 。⑷ 小括号内为2，中括号内为6.4，结果为2。

答：⑴ $229$ ；⑵ $5130$ ；⑶ $38$ ；⑷ 2。