多因子裂差 · 知识点讲解

本知识点

前置：异分母减法与乘法分配律三因子降阶四因子降阶补偿系数高阶望远镜求和

解题路径

写出相邻两个低一阶乘积倒数的差
通分并比较分子，求出补偿系数
逐项降阶并展开首项、次项和末项
消去中间项，只计算两端保留项并回代验算

配套例题

看懂这几道题，就掌握了这个点

先做再看解析；做错的题建议加入练习单，到「诊断练习」里集中攻克。

题 A1-06-006a难度 D · 提升

计算：

⑴ $\frac{3}{2 \times 3 \times 4} + \frac{3}{3 \times 4 \times 5} + \frac{3}{4 \times 5 \times 6} + \dots + \frac{3}{18 \times 19 \times 20}$ ．

⑵ $\frac{4 \times 4 \times 6}{2 \times 4 \times 6} - \frac{4 \times 4 \times 6}{4 \times 6 \times 8} - \frac{4 \times 4 \times 6}{6 \times 8 \times 10} - \dots - \frac{4 \times 4 \times 6}{96 \times 98 \times 100}$ ．

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解：本卡对应原题三因子裂项两问。⑴ 用 $\frac{3}{n (n + 1) (n + 2)} = 32 (\frac{1}{n (n + 1)} - \frac{1}{(n + 1) (n + 2)})$ ，中间项相消，得 $187760$ 。⑵ 对步长为2的三因子同样裂项，负号后的相消和为 $1 - 31225$ ，故全式为 $131225$ 。

答：⑴ $187760$ ；⑵ $131225$ 。

题 A1-06-006b难度 D · 提升

【学生版有】

【思考】要是形如

\frac{1}{n (n + 1) (n + 2) (n + 3)}

这样分母四项乘积的形式，那么如何裂项呢？比如下面的一道题目：计算：

\frac{3}{1 \times 2 \times 3 \times 4} + \frac{3}{2 \times 3 \times 4 \times 5} + . . . . . . + \frac{3}{17 \times 18 \times 19 \times 20}

．

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解：本卡是独立的四因子拓展题。恒等式为 $\frac{3}{n (n + 1) (n + 2) (n + 3)} = \frac{1}{n (n + 1) (n + 2)} - \frac{1}{(n + 1) (n + 2) (n + 3)}$ 。从n等于1加到17，中间项全部相消，只剩 $16 - 16840 = 11396840$ 。

答： $11396840$ 。

题 A1-06-013

计算： $\frac{1}{1 \times 2 \times 3} + \frac{1}{2 \times 3 \times 4} + \frac{1}{3 \times 4 \times 5} + \dots + \frac{1}{8 \times 9 \times 10}$ 的值．

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解：用三因子裂项公式 $\frac{1}{n (n + 1) (n + 2)} = 12 (\frac{1}{n (n + 1)} - \frac{1}{(n + 1) (n + 2)})$ ，从n等于1到8展开，中间项相消；结合题式系数整理后得 $1145$ 。

答： $1145$ 。

题 A1-06-019

计算： $\frac{1}{1 \times 2 \times 3} + \frac{1}{2 \times 3 \times 4} + \dots \dots + \frac{1}{98 \times 99 \times 100}$ ．

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解：对连续三因子用三因子裂项，从n等于1到98展开。中间项全部相消，只保留开头与末尾： $12 (12 - 19900) = 494919800$ 。

答： $494919800$ 。

题 A1-06-027

计算：

$\frac{1}{1 \times 3 \times 5} + \frac{1}{3 \times 5 \times 7} + \frac{1}{5 \times 7 \times 9} + \dots + \frac{1}{45 \times 47 \times 49}$

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解：使用 $\frac{1}{n (n + 2) (n + 4)} = 14 (\frac{1}{n (n + 2)} - \frac{1}{(n + 2) (n + 4)})$ 。按题中奇数序列展开，核对首两项与末两项后相消，边界项通分得 $5756909$ 。

答： $5756909$ 。