嵌套和与阶乘型裂差 · 知识点讲解

本知识点

部分和阶乘型裂项递推结构

解题路径

把分母写成相邻结构
寻找前一项与后一项关系
构造差后求和

配套例题

看懂这几道题，就掌握了这个点

先做再看解析；做错的题建议加入练习单，到「诊断练习」里集中攻克。

题 A1-06-007难度 D · 提升

计算： $1 + \frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + \dots \dots + \frac{1}{1 + 2 + \dots + 100}$ $=________$

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根据等差数列求和公式： $\frac{1}{1 + 2 + \dots + n} = \frac{1}{\frac{1 + n}{2} \times n} = \frac{2}{n (n + 1)} = 2 \times (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$ ．

原式 $= \frac{2}{1 \times 2} + \frac{2}{2 \times 3} + \frac{2}{3 \times 4} + \dots \dots + \frac{2}{100 \times 101} = 2 \times (1 - \frac{1}{101}) = \frac{200}{101} = 1 \frac{99}{101}$

题 A1-06-008难度 D · 提升

计算： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{2}{1 \times 2 \times 3} + \frac{3}{1 \times 2 \times 3 \times 4} + \frac{4}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5} + \frac{5}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6} + \frac{6}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7}$ ．

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解：

$= \frac{1}{1 \times 2} + \frac{3 - 1}{1 \times 2 \times 3} + \frac{4 - 1}{1 \times 2 \times 3 \times 4} + \frac{5 - 1}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5} + \frac{6 - 1}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6} + \frac{7 - 1}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7}$

$= \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{1 \times 2 \times 3} + \frac{1}{1 \times 2 \times 3} - \frac{1}{1 \times 2 \times 3 \times 4} + \dots - \frac{1}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7}$

$= \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7}$

$\begin{matrix} = 1 - \frac{1}{5040} \\ = \frac{5039}{5040} \end{matrix}$

答：5039/5040。

题 A1-06-021

计算： $\frac{504}{4 \times 8} + \frac{504}{8 \times 12} + \frac{504}{12 \times 16} + \dots + \frac{504}{2008 \times 2012} + \frac{504}{2012 \times 2016}$ ．

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解：把第k项化为 $632 (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1})$ 。从k等于1加到503，首尾相消后为 $50316$ 。

答： $31716$ 。

题 A1-06-029

计算：

$\frac{2}{1 \times (1 + 2)} + \frac{3}{(1 + 2) \times (1 + 2 + 3)} + \frac{4}{(1 + 2 + 3) \times (1 + 2 + 3 + 4)} + \dots + \frac{100}{(1 + 2 + \dots + 99) \times (1 + 2 + \dots + 99 + 100)}$

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解：令 $S_{n} = 1 + \dots + n$ ，则第n项可写为 $\frac{1}{S_{n - 1}} - \frac{1}{S_{n}}$ 。从n等于2加到100，中间项相消，得 $1 - 15050 = 50495050$ 。

答： $50495050$ 。