跨步裂差与奇偶分组 · 知识点讲解

本知识点

跨步裂项奇偶分组周期相消

解题路径

确定相邻因数的固定差
写出裂差系数
按相消链保留边界项

配套例题

看懂这几道题，就掌握了这个点

先做再看解析；做错的题建议加入练习单，到「诊断练习」里集中攻克。

题 A1-06-003难度 C · 综合

计算：

⑴ $\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{4 \times 6} + \dots + \frac{1}{98 \times 100} + \frac{1}{99 \times 101}$ ．

⑵ $\frac{1}{1 \times 3} - \frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{3 \times 5} - \frac{1}{4 \times 6} + \dots - \frac{1}{98 \times 100} + \frac{1}{99 \times 101}$ ．

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解：

⑴ 原式 $= \frac{1}{2} \times (\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{99} - \frac{1}{101}) = \frac{1}{2} \times (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{100} - \frac{1}{101}) = \frac{14949}{20200}$

⑵ $\frac{1}{1 \times 3} - \frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{3 \times 5} - \frac{1}{4 \times 6} + \dots - \frac{1}{98 \times 100} + \frac{1}{99 \times 101}$

$\begin{matrix} = (\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \dots + \frac{1}{99 \times 101}) - (\frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{4 \times 6} + \dots + \frac{1}{98 \times 100}) \\ = \frac{1}{2} \times (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{99} - \frac{1}{101}) - \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{98} - \frac{1}{100}) \\ = \frac{1}{2} \times (1 - \frac{1}{101}) - \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{100}) \\ = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{10100}) = \frac{5051}{20200} \end{matrix}$

答：⑴ 14949/20200；⑵ 5051/20200。

题 A1-06-004难度 C · 综合

计算：

⑴ $\frac{2}{4 \times 3} + \frac{2}{5 \times 4} + \dots + \frac{2}{9 \times 8} + \frac{2}{10 \times 9}$ ；

⑵ $\frac{1}{20 \times 17} + \frac{1}{17 \times 14} + \frac{1}{14 \times 11} + \frac{1}{11 \times 8} + \frac{1}{8 \times 5} + \frac{1}{5 \times 2}$ ．

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解：

⑴ 原式 $= 2 \times (\frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{8} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{10})$ $= 2 \times (\frac{1}{3} - \frac{1}{10}) = \frac{7}{15}$

⑵ 原式 $= \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{17} - \frac{1}{20})$ $= \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{20}) = \frac{3}{20}$

答：⑴ 7/15；⑵ 3/20。

题 A1-06-005难度 C · 综合

计算：

⑴ $\frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \frac{1}{56} + \frac{1}{72} + \frac{1}{90}$ ；

⑵ $\frac{1}{2} + \frac{5}{6} + \frac{11}{12} + \frac{19}{20} + \frac{29}{30} + \dots + \frac{9701}{9702} + \frac{9899}{9900}$ ．

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解：

⑴ 原式 $= \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + \frac{1}{5 \times 6} + \frac{1}{6 \times 7} + \frac{1}{7 \times 8} + \frac{1}{8 \times 9} + \frac{1}{9 \times 10} = \frac{1}{2} - \frac{1}{10} = \frac{2}{5}$

⑵ 原式 $= 1 - \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{6} + 1 - \frac{1}{12} + 1 - \frac{1}{20} + \cdot \cdot \cdot + 1 - \frac{1}{9702} + 1 - \frac{1}{9900}$

$= 99 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{9702} + \frac{1}{9900})$

$= 99 - (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{98} - \frac{1}{99} + \frac{1}{99} - \frac{1}{100})$

$= 99 - \frac{99}{100} = 98 \frac{1}{100}$ ．

答：⑴ 2/5；⑵ 98又1/100。

题 A1-06-017

计算：

⑴ $\frac{2}{1 \times 3} + \frac{2}{3 \times 5} + \frac{2}{5 \times 7} + \dots + \frac{2}{37 \times 39}$ ；

⑵ $\frac{3}{2019 \times 2017} + \frac{3}{2017 \times 2015} + \dots + \frac{3}{7 \times 5} + \frac{3}{5 \times 3}$ ．

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解：⑴ 用 $\frac{2}{(2 k - 1) (2 k + 1)} = \frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k + 1}$ ，相消后得 $3839$ 。⑵ 步长为2时提出 $32$ ，首尾相消得 $336673$ 。

答：⑴ $3839$ ；⑵ $336673$ 。

题 A1-06-018

计算： $\frac{25}{2 \times 3} - \frac{35}{3 \times 4} + \frac{45}{4 \times 5} - \dots - \frac{95}{9 \times 10} + \frac{105}{10 \times 11}$ ．

（提示：简便运算，先提公因数）

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解：把每项的分子拆成相邻分母两因子之和，得到 $\frac{2 n + 1}{n (n + 1)} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1}$ 。代回题式后交错项抵消，只剩5倍的两个边界项，得 $5 (12 + 111) = 6522$ 。

答： $6522$ 。

题 A1-06-022

计算： $1 - \frac{5}{6} + \frac{7}{12} - \frac{9}{20} + \frac{11}{30} - \frac{13}{42} + \frac{15}{56} - \frac{17}{72} + \frac{19}{90}$ ．

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解：将题中各分数分别拆成相邻两个单位分数之和，按原式正负号排列后，中间项两两抵消，只剩 $1 - 12 + 110 = 35$ 。

答： $35$ 。

题 A1-06-024

计算：

⑴ $1 \frac{1}{2} + 2 \frac{1}{6} + 3 \frac{1}{12} + 4 \frac{1}{20} + 5 \frac{1}{30} + 6 \frac{1}{42} + 7 \frac{1}{56} + 8 \frac{1}{72} + 9 \frac{1}{90}$ ；

⑵ $1 \frac{1}{2} - 2 \frac{5}{6} + 3 \frac{1}{12} - 4 \frac{19}{20} + 5 \frac{1}{30} - 6 \frac{41}{42} + 7 \frac{1}{56} - 8 \frac{71}{72} + 9 \frac{1}{90}$ .

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解：⑴ 整数部分为 $1 + 2 + 3 + \dots + 9 = 45$ 。分数部分逐项用相邻单位分数裂项： $12 + 16 + \dots + 190 = (1 - 12) + (12 - 13) + \dots + (19 - 110) = 910$ ，所以第⑴式为 $45 + 910 = 45910$ 。

⑵ 整数的交错和为 $1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9 = 5$ 。又因为 $56 = 1 - 16 ， 1920 = 1 - 120 ， 4142 = 1 - 142 ， 7172 = 1 - 172$ ，带符号的分数部分为 $- 4 + (12 + 16 + 112 + 120 + 130 + 142 + 156 + 172 + 190) = - 4 + 910 = - 3110$ 。因此第⑵式为 $5 - 3110 = 1910 = 1.9$ 。

答：⑴ $45910$ ；⑵ $1910 = 1.9$ 。