分数裂差基础 · 知识点讲解

本知识点

分数裂差单位分数裂项相消

解题路径

把分母识别为两个因数乘积
补出两因数之差
拆成两个分数并观察相消

分数裂差

“裂差”型计算

⑴ 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 $\frac{1}{a \times b} (a < b)$ 型

由 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{a \times b} = (b - a) \times \frac{1}{a \times b}$ ，可得： $\frac{1}{a \times b} = \frac{1}{b - a} \times (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})$ ．

公式

：

\frac{1}{n (n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}

；

\frac{1}{n (n + k)} = \frac{1}{k} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + k})

．（勿忘系数“

\frac{1}{k}

”）

思考

要是对

\frac{1}{n (n - 1)}

进行裂项，结果应该是什么样子的？

⑵对于分母上为 $3$ 个连续自然数乘积形式的分数，即： $\frac{1}{n \times (n + 1) \times (n + 2)}$ 型．

由： $\frac{1}{n \times (n + 1)} - \frac{1}{(n + 1) \times (n + 2)} = \frac{n + 2 - n}{n \times (n + 1) \times (n + 2)} = \frac{2}{n \times (n + 1) \times (n + 2)}$ ，

可得：

公式

：

\frac{1}{n \times (n + 1) \times (n + 2)} = \frac{1}{2} [\frac{1}{n \times (n + 1)} - \frac{1}{(n + 1) (n + 2)}]

总结

“裂差”型裂项的三大常见特征：

⑴分子相同．

⑵分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 $2$ 个分母上的因数“首尾相接”．

⑶分母上几个因数间的差是一个定值．

配套例题

看懂这几道题，就掌握了这个点

先做再看解析；做错的题建议加入练习单，到「诊断练习」里集中攻克。

题 A1-06-001难度 B · 巩固

计算：

⑴ $\frac{1}{10 \times 11} + \frac{1}{11 \times 12} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{59 \times 60}$ ；

⑵ $\frac{2}{3 \times 4} + \frac{2}{4 \times 5} + \dots + \frac{2}{8 \times 9} + \frac{2}{9 \times 10}$ ．

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解：

⑴ 原式 $= \frac{1}{10} - \frac{1}{11} + \frac{1}{11} - \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{59} - \frac{1}{60}$ $= \frac{1}{10} - \frac{1}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$

⑵ 原式 $= 2 \times (\frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{8} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{10}) = 2 \times (\frac{1}{3} - \frac{1}{10}) = \frac{7}{15}$

答：⑴ 1/12；⑵ 7/15。

题 A1-06-002难度 B · 巩固

计算： $\frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{4 \times 6} + \frac{1}{6 \times 8} + \dots + \frac{1}{2012 \times 2014} + \frac{1}{2014 \times 2016} + \frac{1}{2016 \times 2018}$ ．

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原式 $= \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{2014} - \frac{1}{2016} + \frac{1}{2016} - \frac{1}{2018}) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{2018}) = \frac{252}{1009}$

题 A1-06-012

计算： $\frac{2}{1 \times 4} + \frac{2}{4 \times 7} + \frac{2}{7 \times 10} + \dots + \frac{2}{97 \times 100}$ 的值．

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解：对n等于1、4、7、…、97，使用 $\frac{2}{n (n + 3)} = 23 (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 3})$ 。逐项相消后为 $23 (1 - 1100) = 3350$ 。

答： $3350$ 。

题 A1-06-014

阅读：因为 $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{2 \times 3} - \frac{2}{3 \times 2} = \frac{1}{2 \times 3}$ ，

$\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{3 \times 4} - \frac{3}{4 \times 3} = \frac{1}{3 \times 4}$ ，

$\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5}{4 \times 5} - \frac{4}{5 \times 4} = \frac{1}{4 \times 5}$ ，

……

将上面的式子反过来，有等式：

$\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$ ，……

问题：从 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ，……， $\frac{1}{99}$ ， $\frac{1}{100}$ 中选出 $10$ 个不同的分数，使它们的和等于 $1$ ．

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解：原教师稿把末项写成 $1110$ ，超出题目范围，且原十项和不是1，不能采用。改用 $\frac{1}{k (k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ 。取k等于1到9，前九项为 $12 ， 16 ， 112 ， 120 ， 130 ， 142 ， 156 ， 172 ， 190$ ，和为 $910$ ；再加 $110$ 。十个分数互异，且均在题定范围内。

答： $12 + 16 + 112 + 120 + 130 + 142 + 156 + 172 + 190 + 110 = 1$ 。

题 A1-06-015

阅读 $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{3 - 2}{2 \times 3} = \frac{3}{2 \times 3} - \frac{2}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

以上过程，是逆用异分母分数减法的方法得到: $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ （*）

⑴根据（*）式直接计算 $\frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + \frac{1}{5 \times 6} + \frac{1}{6 \times 7} + \frac{1}{7 \times 8} + \frac{1}{8 \times 9} + \frac{1}{9 \times 10}$

⑵计算： $\frac{1}{1 \times 4} + \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{7 \times 10} + \frac{1}{10 \times 13} + \frac{1}{13 \times 16} + \frac{1}{16 \times 19} + \frac{1}{19 \times 22}$

⑶计算： $\frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + \frac{1}{1 + 2 + 3 + 4} + \frac{1}{1 + 2 + 3 + 4 + 5} + \dots + \frac{1}{1 + 2 + 3 + \dots + 2012}$

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解：⑴ 用相邻单位分数作差，首尾相消为 $12 - 110 = 25$ 。⑵ 步长为3，提出 $13$ 后相消，得 $722$ 。⑶ 第k项分母是 $\frac{k (k + 1)}{2}$ ，故从k等于2到2012的和为 $20112013$ 。

答：⑴ $25$ ；⑵ $722$ ；⑶ $20112013$ 。