裂项综合训练 · 知识点讲解

本知识点

裂差与裂和判别固定步长与补偿系数多因子降阶带分数和小数互化望远镜和的边界检查

解题路径

识别分母因子个数和固定步长
写出裂项恒等式并核对补偿系数
至少展开首两项和末两项，标出相消项
计算首尾保留项并化成最简结果
用估算或小规模代入复核

配套例题

看懂这几道题，就掌握了这个点

先做再看解析；做错的题建议加入练习单，到「诊断练习」里集中攻克。

题 A1-06-016

计算：

⑴ $7 \frac{11}{20} - 4 \frac{2}{5} + 8 \frac{9}{20}$ ； ⑵ $0.8 \div \frac{7}{20} \times 1 \frac{3}{7}$ ；

⑶ $\frac{7}{9} \times (1 \div \frac{7}{8} + 1 \frac{1}{7} \div 1)$ ； ⑷ $(4.8 \times 7.5 \times 8.1) \div (2.4 \times 2.5 \times 2.7)$ ．

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解：⑴ 同分母部分先合并，得 $1135$ 。⑵ 把0.8和带分数化成分数并约分，得 $31349$ 。⑶ 括号内两项均为 $87$ ，结果为 $179$ 。⑷ 分子分母逐项约分为2乘3乘3等于18。

答：⑴ $1135$ ；⑵ $31349$ ；⑶ $179$ ；⑷ 18。

题 A1-06-020

计算：

⑴ $2 \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \times 4$ ； ⑵ $1 + (6 \frac{7}{12} - 3.5) \div 9$ ；

⑶ $9 \frac{6}{17} \times 5 \frac{2}{3} - 9.75 \div 4 \frac{7}{8}$ ； ⑷ $24 \times (\frac{3}{8} - 0.25 + \frac{5}{6})$ ；

⑸ $- 77 \times \frac{75}{76} + 39 \times \frac{37}{38}$ ．

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解：⑴ 先乘后减，得 $45$ 。⑵ 括号内为 $3712$ ，除以9再加1得 $137108$ 。⑶ 第一部分约分为53，第二部分为2，差为51。⑷ 括号内通分后乘24，得23。⑸ 分别改写成接近整数的乘积，合并得 $- 38176$ 。

答：⑴ $45$ ；⑵ $137108$ ；⑶ 51；⑷ 23；⑸ $- 38176$ 。

题 A1-06-023

计算：

⑴ $10 \frac{49}{50} \times 50$ ； ⑵ $(\frac{5}{6} - \frac{7}{18} + \frac{7}{9}) \times 36$ ；

⑶ $95 \frac{3}{5} \times 8.4 - 95.6 \times 3 \frac{2}{5}$ ； ⑷ $16 - 1 \frac{2}{3} \times 2 \frac{2}{5} + 10.2 \div \frac{1}{2}$ ；

⑸ $172.4 \times 6 \frac{1}{5} + 272.4 \times 3 \frac{4}{5}$ ．

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解：⑴ $(10 \frac{49}{50}) \times 50 = 549$ 。⑵ $(\frac{5}{6} - \frac{7}{18} + \frac{7}{9}) \times 36 = 44$ 。⑶ $(95 \frac{3}{5}) \times 8.4 - 95.6 \times (3 \frac{2}{5}) = 478$ 。⑷ $16 - (1 \frac{2}{3}) \times (2 \frac{2}{5}) + 10.2 \div \frac{1}{2} = 32 \frac{2}{5}$ 。⑸ $172.4 \times (6 \frac{1}{5}) + 272.4 \times (3 \frac{4}{5}) = 2104$ 。

答：⑴ 549；⑵ 44；⑶ 478；⑷ $32 \frac{2}{5}$ ；⑸ 2104。

题 A1-06-025

单位分数拆分：

在括号中填入适当的自然数，使等式成立

$\frac{3}{20} = \frac{1}{()} + \frac{1}{()}$

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解：设两个分母为正整数x、y，且x小于y。由 $320 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 整理得(3x减20)(3y减20)等于400。枚举400的正因数对并还原分母，得到四组无序正整数解。

答：(x，y)等于(7，140)、(8，40)、(10，20)、(12，15)。

题 A1-06-026

计算：

⑴ $(1 \frac{1}{4} \times 1.2 + 2 \frac{1}{2}) \div 1.8$ ； ⑵ $4.5 + (2 \frac{1}{3} - 2.1 \div 1 \frac{1}{6})$ ；

⑶ $4 \frac{4}{5} \div [1.6 \times (2 \frac{4}{5} + 5.2)]$ ； ⑷ $12.8 \div [3 \frac{1}{5} \times (5 - 2.8 \div \frac{14}{15})]$ ．

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解：⑴ 括号内为4，再除以1.8，得 $229$ 。⑵ 2.1除以 $116$ 为1.8，结果为 $5130$ 。⑶ 中括号内为12.8，结果为 $38$ 。⑷ 小括号内为2，中括号内为6.4，结果为2。

答：⑴ $229$ ；⑵ $5130$ ；⑶ $38$ ；⑷ 2。