分数裂和 · 知识点讲解

本知识点

分数裂和正负交替分组配对

解题路径

观察分子与分母的和差关系
拆成可配对的两部分
按顺序合并或相消

分数裂和

“裂和”型计算

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

公式

⑴ $\frac{a + b}{a \times b} = \frac{a}{a \times b} + \frac{b}{a \times b} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}$

⑵ $\frac{a^{2} + b^{2}}{a \times b} = \frac{a^{2}}{a \times b} + \frac{b^{2}}{a \times b} = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$

编者注
“裂和”型运算与“裂差”型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”;裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的．

配套例题

看懂这几道题，就掌握了这个点

先做再看解析；做错的题建议加入练习单，到「诊断练习」里集中攻克。

题 A1-06-009难度 B · 巩固

计算： $\frac{4}{3} - \frac{8}{15} + \frac{12}{35} - \frac{16}{63} + \frac{20}{99} - \frac{24}{143}$ ．

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原式 $= \frac{4}{1 \times 3} - \frac{8}{3 \times 5} + \frac{12}{5 \times 7} - \frac{16}{7 \times 9} + \frac{20}{9 \times 11} - \frac{24}{11 \times 13}$

$\begin{matrix} = (1 + \frac{1}{3}) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{7}) - (\frac{1}{7} + \frac{1}{9}) + (\frac{1}{9} + \frac{1}{11}) - (\frac{1}{11} + \frac{1}{13}) \\ = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{11} - \frac{1}{11} - \frac{1}{13} \\ = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13} \end{matrix}$

题 A1-06-010难度 C · 综合

计算： $7 \frac{5}{6} - 6 \frac{7}{12} + 5 \frac{9}{20} - 4 \frac{11}{30} + 3 \frac{13}{42} - 2 \frac{15}{56} + 1 \frac{17}{72}$

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原式 $= 7 - 6 + 5 - 4 + 3 - 2 + 1 + (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{8} + \frac{1}{9})$ $= 4 + \frac{1}{2} + \frac{1}{9} = 4 \frac{11}{18}$

题 A1-06-011难度 C · 综合

计算： $\frac{1}{3} + \frac{3}{4} + \frac{3}{5} + \frac{5}{7} + \frac{7}{8} + \frac{9}{20} + \frac{10}{21} + \frac{11}{24} + \frac{12}{35}$ ．

查看答案解析

原式 $= \frac{1}{3} + \frac{3}{4} + \frac{3}{5} + \frac{5}{7} + \frac{7}{8} + \frac{9}{20} + \frac{10}{21} + \frac{11}{24} + \frac{12}{35}$

$\begin{matrix} = \frac{1}{3} + \frac{3}{4} + \frac{3}{5} + \frac{5}{7} + \frac{7}{8} + (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{7}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{8}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{7}) \\ = (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + (\frac{3}{4} + \frac{1}{4}) + (\frac{3}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}) + (\frac{5}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7}) + (\frac{7}{8} + \frac{1}{8}) \\ = 5 \end{matrix}$