剩余量与部分量建模 · 知识点讲解

本知识点

前置：单位1与一元一次方程剩余量与部分量多次使用整数整除约束非负与最小性证明

解题路径

设总量为单位1或正整数未知数
逐次写出已用量与剩余量
把每次必须为整数转成整除条件并列出非负约束
求出候选后从小到大排除，最后回代全过程

配套例题

看懂这几道题，就掌握了这个点

先做再看解析；做错的题建议加入练习单，到「诊断练习」里集中攻克。

题 A1-07-006a难度 C · 综合

独立题说明：本卡只保留小林的读书问题；小杰与小王两题分别使用后缀稳定编号。

⑴小林看一本书，第一天看了这本书的 $\frac{1}{5}$ ，第二天看了这本书的 $\frac{4}{9}$ ，这时还有 $32$ 页没有看，这本书有多少页？

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解：把全书页数看作单位1。未读部分占 $1 - 15 - 49 = 1645$ ，所以总页数为 $32 \div 1645 = 90$ 。

答：这本书有90页。

题 A1-07-006b难度 C · 综合

小杰看一本书，第一天读了 $49$ 页，第二天读了全书的 $\frac{1}{8}$ 还多 $2$ 页，这两天读的书恰是这本书的 $\frac{1}{2}$ ，这本书共有多少页？

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解：设全书有x页。第二天读 $\frac{x}{8} + 2$ 页，按题意 $49 + \frac{x}{8} + 2 = \frac{x}{2}$ 。移项得 $\frac{3 x}{8} = 51$ ，所以x等于136。

答：这本书有136页。

题 A1-07-006c难度 C · 综合

小王看一本故事书，第一天看了全书的 $\frac{1}{5}$ 多 $5$ 页，第二天看了全书的 $\frac{1}{8}$ 少 $8$ 页，最后还剩下 $138$ 页，求这本故事书总共有多少页？

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解：设全书有x页。两天后剩余 $x (1 - 15 - 18) - 5 + 8 = 138$ ，即 $\frac{27 x}{40} = 135$ ，所以x等于200。

答：这本故事书有200页。

题 A1-07-007难度 D · 提升

海滩上有一堆核桃．第一天猴子吃掉了这堆核桃的个数的 $\frac{2}{5}$ ，又扔掉 $4$ 个到大海中去，第二天吃掉的核桃数再加上 $3$ 个就是第一天所剩核桃数的 $\frac{5}{8}$ ，那么这堆核桃至少剩下多少个？

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解：设原有x个。第一天后剩 $\frac{3 x}{5} - 4$ 个，第二天吃 $\frac{3 x - 44}{8}$ 个，最后剩 $\frac{9 x + 60}{40}$ 个。由第一天吃掉的数量为整数，x是5的倍数；又由第二天吃掉的数量为非负整数，3x减44是8的非负倍数。从小到大检验x等于5、10、15、20，前三个不满足非负或整除，x等于20首次成立。此时第一天剩8个，第二天吃2个。

答：至少剩6个。

题 A1-07-015

新华书店运来一批图书，第一天卖出总数的 $\frac{1}{8}$ 多 $16$ 本，第二天卖出总数的 $\frac{1}{2}$ 少 $8$ 本，还余下 $67$ 本．这批图书一共多少本？

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解：设总数为x。按“第一次取八分之一多16、第二次取二分之一少8、余67”列式： $x - (\frac{x}{8} + 16) - (\frac{x}{2} - 8) = 67$ 。整理得 $\frac{3 x}{8} = 75 ， x = 200$ 。

答：总数是200。

题 A1-07-021

小虎计划三天看完一本书，第一天看了全书的 $\frac{2}{7}$ ，第二天看了全书的 $\frac{3}{5}$ ，整本书共 $140$ 页．

⑴ 第三天小虎应看完全书的几分之几？

⑵ 第三天小虎应看几页？

⑶ 小虎第二天比第一天多看了几分之几？

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解：⑴ 第三天应看的分率为 $1 - 27 - 35 = 435$ 。⑵ 第三天应看 $140 \times 435 = 16$ 页。⑶ 第一天看 $140 \times 27 = 40$ 页，第二天看 $140 \times 35 = 84$ 页；第二天比第一天多看的分率为 $\frac{84 - 40}{40} = 1110$ 。

答：⑴ $435$ ；⑵ 16页；⑶ $1110$ 。

题 A1-07-016

学校图书室内有一架故事书，借出总数的 $\frac{3}{4}$ ，又放上 $60$ 本，这时架上的书是原来总数的 $\frac{1}{3}$ ．求现在书架上放着多少书？

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解：设原有x本。增加60本后，原来的四分之一变成现在的三分之一，因此 $\frac{x}{4} + 60 = \frac{x}{3}$ ，解得 $x = 720$ 。现在的数量为 $720 \times 13 = 240$ 。

答：原有720本，现在有240本。

题 A1-07-033

小虎看一本书，第一天看了全书的 $\frac{1}{8}$ 再加上 $16$ 页，第二天看了全书的 $\frac{1}{6}$ 少 $2$ 页，第三天看了余下的 $88$ 页，这本书共有多少页？

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根据题意，把这本书的总页数看成“整体 1 ”，如果小虎第一天少看 1 6 页书，则正好是看了全书的 1 8 ，如果第二天多看 2 页，也是正好看了全书的 1 6 ，那么多剩下的书的页数应该是 8 8 − 2 + 1 6 = 1 0 2 页，而如果整体来看，全书剩下 ( 1 − 1 8 − 1 6 ) = 1 7 2 4 部分没有看，则说明 1 0 2 页正好对应的整体部分就是 1 7 2 4 ，所以这本故事书总共有 1 0 2 ÷ 1 7 2 4 = 1 4 4 页．

题 A1-07-034

李大娘把养的鸡分别关在东、西两个院内．已知东院养鸡 $40$ 只；现在把西院养的鸡 $\frac{1}{4}$ 卖给商店， $\frac{1}{3}$ 卖给加工厂，再把剩下的鸡与东院全部的鸡和起来，其数目恰好等于原来东、西两院养鸡总数的 $50 %$ ．原来东、西两院一共养鸡多少只？

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解：设西院原有 $W$ 只鸡。西院卖出原有鸡的四分之一和三分之一后，剩下的分率为 $1 - 14 - 13 = 512$ 。题目给出的等量关系是“东院40只加上西院剩下的鸡，等于原来两院总数的百分之五十”，因此 $40 + \frac{5 W}{12} = 12 (40 + W)$ 。方程两边同乘12，得 $480 + 5 W = 240 + 6 W ， W = 240$ 。原来两院总数为 $40 + 240 = 280$ 只。

答：原来东、西两院一共养鸡280只。