第7讲量率对应 · 章法数学

知识模块 01 · 核心知识

量率对应与单位1

区分标准量、比较量和对应分率，掌握求量、求率、求标准量三类基本问题。

例题 1随堂练习 2作业 0

本模块知识点

单位1量率对应求一个数的几分之几已知量与分率求总量

解题路径

确定谁是标准量
写出数量与分率的对应
按求量用乘法、求标准量用除法

01

知识讲解定义、性质与方法

三个基本问题

1.如何求一个数的几分之几？

求一个数的几分之几，只需要将这个数乘以几分之几就可以得到．

例如：求 $5$ 的 $\frac{2}{5}$ 是多少？解答： $5 \times \frac{2}{5} = 2$ ．

2.如何求一个数是另一个数的几分之几？

求一个数是另一个数的几分之几，只需将前一个数除以后一个数就可以得到．

例如：求 $\frac{2}{3}$ 是 $\frac{3}{4}$ 的几分之几？解答： $\frac{2}{3} \div \frac{3}{4} = \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{8}{9}$ ．

3.已知一个数的几分之几，如何求这个数？

要求这个数，只需要将这个几分之几的数除以几分之几就可以得到．

例如：一个数的 $\frac{2}{3}$ 等于 $18$ ，那么这个数等于多少？解答： $18 \div \frac{2}{3} = 18 \times \frac{3}{2} = 27$ ．

量率对应

对于“A是B的 $\frac{A}{B}$ ”这句话，其中，有三个基本的数量：

我们把B看做标准量，当标准量确定下来后，一个数量A总与一个分率（ $\frac{A}{B}$ ）相对应，这个数量A我们称之为对应数量，它所占的分率 $\frac{A}{B}$ 称之为对应分率．则有以下关系：

1． $对应数量 = 标准量 \times 对应分率$

2． $对应分率 = \frac{对应数量}{标准量}$

3． $标准量 = \frac{对应数量}{对应分率}$

解分数应用题的关键是找出已知数量的对应分率，把不对应的关系转化为相对应的关系．

在标准量不确定的情况下，我们经常选择将标准量看做“单位 $1$ ”．

如何寻找单位“ 1 ”

$\begin{matrix} 比 \\ 占 \\ 是 \end{matrix}} + 后面的量（单位 " 1 " 的量）$

引例

：如何选取标准量？（填几分之几）

⑴ 黄老师的身高是 $180 c m$ ，隔壁林老师的身高是 $150 c m$ ，则黄老师的身高是林老师的，林老师的身高是黄老师的，黄老师比林老师高了，林老师比黄老师矮了．

⑵ 甲数比乙数多 $\frac{3}{7}$ ，那么乙数比甲数少，甲数是乙数的，乙数是甲数的．

02

例题教师示范

例题 14教师示范A1-07-001难度 A · 基础

⑴某年级有 $198$ 人，其中女同学人数占全年级人数的 $\frac{6}{11}$ ，则该年级有女生人．

⑵某年级有学生 $324$ 人，其中男生 $180$ 人，则女生人数是男生的（填几分之几）．

⑶某年级有女生 $93$ 人，该年级男生占全年级人数的 $\frac{4}{7}$ ，则该年级共有学生人．

查看答案解析

解：⑴ 女生人数为 $198 \times \frac{6}{11} = 108$ 。⑵ 女生有144人，占男生的 $144 \div 180 = \frac{4}{5}$ 。⑶ 男生占七分之四，所以女生占七分之三；全年级人数为 $93 \div \frac{3}{7} = 217$ 。

答：⑴ 108人；⑵ $\frac{4}{5}$ ；⑶ 217人。

03

练习随堂完成

练习 11随堂完成A1-07-014

将 $20$ 克糖倒入 $80$ 克水中．求⑴ 糖占水的几分之几？⑵ 糖占糖水的几分之几？⑶ 糖比水少几分之几？

查看答案解析

解：糖20克，水80克，糖水共100克。三问要分别以水、糖水、水为标准量： $2080 = 14 ； 20100 = 15 ； \frac{80 - 20}{80} = 34$ 。

答：糖占水的 $14$ ，占糖水的 $15$ ，比水少 $34$ 。

练习 10随堂完成A1-07-019

⑴ $3.5$ 的 $\frac{5}{7}$ 是 $________$ （填最简分数）．

⑵ $24$ 等于乙数的 $\frac{4}{5}$ ，则乙数是 $________$ ．

⑶ 某数的 $\frac{9}{20}$ 恰是 $6.4$ 的 $\frac{3}{8}$ ，则这个数是 $________$ ．

⑷ 一个数的 $\frac{2}{3}$ 是 $4$ ，那么这个数的 $\frac{1}{4}$ 是 $________$ ．

查看答案解析

解：逐题先确定“求一个量”还是“已知分率求标准量”，再按乘除关系列式并约分。四个结果依次为 $52 ； 30 ； 163 ； 32$ 。

答：⑴ $52$ ；⑵ 30；⑶ $163$ ；⑷ $32$ 。

知识模块 02 · 解题模型

连续量率与传递

处理A是B的几分之几、B又是C的几分之几等多级传递关系。

例题 1随堂练习 0作业 1

本模块知识点

连续量率分率传递连乘关系

解题路径

画出量率链
统一标准量
沿链相乘或逆向相除

01

例题教师示范

例题 13教师示范A1-07-002难度 B · 巩固

⑴班里有 $15$ 名学生参加科技组，参加美术组的学生人数是参加科技组人数的 $\frac{4}{5}$ ，参加合唱组的学生人数是参加美术组人数的 $\frac{2}{3}$ ，参加合唱组的有 $________$ 名学生．

⑵校园里栽的杨树是松树的 $\frac{3}{4}$ ，栽的松树是柳树的 $\frac{4}{5}$ ，已知栽了 $120$ 棵杨树，校园里栽了 $______$ 棵柳树．

⑶六（一）班在运动会中得到 $42$ 分，是六（二）班的 $\frac{6}{7}$ ，六（三）班的得分比六（二）班多 $\frac{5}{7}$ ，则六（三）班的得分是分．

查看答案解析

解：

⑴美术组： $15 \times \frac{4}{5} = 12$ 人；合唱组： $12 \times \frac{2}{3} = 8$ 人；

⑵松树： $120 \div \frac{3}{4} = 160$ 棵；柳树： $160 \div \frac{4}{5} = 200$ 棵；

⑶六（二）班： $42 \div \frac{6}{7} = 49$ 分；六（三）班： $49 \times (1 + \frac{5}{7}) = 84$ 分．

答：⑴ 8人；⑵ 200棵；⑶ 84分。

02

作业独立完成

作业 11独立完成A1-07-020

⑴ 某超市去年上半年销售收入为 $450$ 万元，占全年销售收入的 $\frac{3}{5}$ ，那么去年第三、第四季度平均销售 $_______$ 万元．

⑵ 某校捐款支援希望工程，六（1）班学生捐的款占全校捐款数的 $\frac{5}{51}$ ，该班男生捐款 $300$ 元，占全班捐款数的 $\frac{3}{5}$ ，那么这所学校支援希望工程共捐款 $________$ 元.

⑶ 甲物体重量的 $\frac{3}{14}$ 是 $84$ 千克，乙物体重量是 $84$ 千克的 $\frac{3}{14}$ ，则乙物体是甲物体重量的 $________$ ，甲比乙重的部分是乙物体重量的 $________$ （不含单位，填最简分数）．

查看答案解析

解：⑴ $450 \div \frac{3}{5} = 750$ 万元，下半年共300万元，两个季度平均150万元。⑵ $300 \div \frac{3}{5} = 500 ； 500 \div \frac{5}{51} = 5100$ 。⑶ $A = 84 \div \frac{3}{14} = 392 ； B = 84 \times \frac{3}{14} = 18$ 。所以 $\frac{B}{A} = \frac{9}{196} ； \frac{A - B}{B} = \frac{187}{9}$ 。

答：⑴ 150；⑵ 5100；⑶ $\frac{9}{196} ， \frac{187}{9}$ 。

知识模块 03 · 解题模型

增减率与基准量转换

解决“甲比乙多”与“乙比甲少”中标准量改变造成的分率变化。

例题 1随堂练习 2作业 1

本模块知识点

增加率减少率基准量转换还原问题

解题路径

明确比较基准
用1±分率写出新旧关系
换基准时先求两量之比

01

例题教师示范

例题 12教师示范A1-07-003难度 C · 综合

⑴ 某工厂去年的总产值为 $60$ 万元，今年的总产值比去年多 $\frac{1}{4}$ ，今年的总产值是万元；

⑵ 某工厂去年的总产值为 $60$ 万元，去年的总产值比今年多 $\frac{1}{4}$ ，今年的总产值是万元；

⑶ 某工厂去年的总产值为 $120$ 万元，今年的总产值比去年少 $\frac{1}{4}$ ，今年的总产值是万元；

⑷ 某工厂去年的总产值为 $120$ 万元，去年的总产值比今年少 $\frac{1}{4}$ ，今年的总产值是万元．

查看答案解析

解：

此题主要考察单位“ $1$ ”的选取

⑴去年为单位“ $1$ ”，今年 $= 60 \times (1 + \frac{1}{4}) = 75$ 万元；

⑵今年为单位“ $1$ ”，去年是今年的 $(1 + \frac{1}{4})$ ，今年 $= 60 \div (1 + \frac{1}{4}) = 48$ 万元；

⑶去年为单位“ $1$ ”，今年 $= 120 \times (1 - \frac{1}{4}) = 90$ 万元；

⑷今年为单位“ $1$ ”，去年是今年的 $(1 - \frac{1}{4})$ ，今年 $= 120 \div (1 - \frac{1}{4}) = 160$ 万元．

答：⑴ 75万元；⑵ 48万元；⑶ 90万元；⑷ 160万元。

02

练习随堂完成

练习 9随堂完成A1-07-017

水结成冰时，体积增加了 $\frac{1}{10}$ ，当冰融化成水后，体积减少了（填“几分之几”）．

查看答案解析

解：把水的体积看作1，结冰后的体积为 $1110$ 。融化时减少量仍为 $110$ ，但此时要以冰的体积为标准量，所以减少率为 $110 \div 1110 = 111$ 。

答： $111$ 。

练习 8随堂完成A1-07-029

⑴某牧场有 $1200$ 头牛，羊的总数比牛少 $\frac{1}{6}$ ，这个牧场有多少头羊？

⑵某牧场有 $1200$ 头牛，比羊的总数少 $\frac{1}{6}$ ，这个牧场有多少头羊？

查看答案解析

解：⑴ 求1200的六分之五，用乘法；⑵ 已知一个数的六分之五是1200，用除法。对应算式为 $1200 \times 56 = 1000 ； 1200 \div 56 = 1440$ 。

答：⑴ 1000；⑵ 1440。

03

作业独立完成

作业 10独立完成A1-07-031

⑴一商品原价 $500$ 元，降价 $100$ 元出售，则实际上是按照原价的 $______$ 折出售的．

⑵比 $\frac{1}{4}$ 千克的 $\frac{4}{5}$ 少 $\frac{1}{6}$ 的数是千克．

⑶学校举行运动会，六⑴班报名参加比赛的人数是全班人数的 $\frac{2}{5}$ ，且比不报名参加比赛的人数少 $9$ 人，那么六⑴班全班有 $______$ 人

查看答案解析

解：⑴ 折扣率为 $400500 = 80 %$ 。⑵ 连续取总量的四分之一、五分之四，再减去六分之一损耗，结果为 $16$ 千克。⑶ 9人对应全班的五分之三与五分之二之差，即五分之一，所以总人数45。

答：⑴ 80%，即八折；⑵ $16$ ；⑶ 45人。

知识模块 04 · 应用模型

量差与对应分率

由两量之差及其对应分率求标准量，再求其他数量。

例题 1随堂练习 2作业 2

本模块知识点

量差对应和差问题对应分率

解题路径

找出差量对应的分率差
差量除以分率差求单位1
按对应分率求各量

01

例题教师示范

例题 11教师示范A1-07-004难度 C · 综合

⑴ $A$ 桥长 $1176$ 米， $A$ 桥比 $B$ 桥长 $\frac{1}{48}$ ，则 $B$ 桥长米.

⑵食堂买来的糯米是大米的 $\frac{2}{5}$ ，糯米比大米少 $420$ 千克，则买来的大米有千克，糯米有千克．

查看答案解析

⑵食堂买来的糯米是大米的 2 5 ，糯米比大米少 4 2 0 千克，则买来的大米有千克，糯米有千克．

此题主要考察标准量的选取，并找到对应数量所占的对应分率.

⑴ $1176 \div (1 + \frac{1}{48}) = 1152$ （米）

⑵糯米比大米少 $\frac{3}{5}$ ，以大米为标准量，则糯米少了的 $420$ 千克占了 $\frac{3}{5}$ ，

$∴$ 大米： $420 \div \frac{3}{5} = 700$ 千克，糯米： $700 - 420 = 280$ 千克

02

练习随堂完成

练习 7随堂完成A1-07-013

如图所示，两个四边形重叠部分（图中阴影）面积占 $B$ 的 $\frac{1}{8}$ ，占 $A$ 的 $\frac{1}{3}$ ，则四边形 $A$ 的面积比四边形 $B$ 的面积少_______%．

$四边形A与四边形B相交，阴影为两图形的公共部分$

查看答案解析

解：设重叠面积为S，则 $S = \frac{B}{8} = \frac{A}{3}$ ，所以A等于3S，B等于8S。A比B少的部分占B的 $\frac{8 S - 3 S}{8 S} = 58$ 。

答：少62.5%。

练习 6随堂完成A1-07-022

超市进了一批可乐，卖出了全部的 $\frac{3}{8}$ ，此时剩余的比卖出的多 $16$ 箱，这批可乐共有多少箱？

查看答案解析

解：卖出部分占全部的八分之三，剩余部分占八分之五；“剩余比卖出多16箱”对应全部的 $\frac{5}{8} - \frac{3}{8} = \frac{1}{4}$ 。所以总箱数为 $16 \div \frac{1}{4} = 64$ 。

答：这批可乐共有64箱。

03

作业独立完成

作业 9独立完成A1-07-018

长途客车从 $A$ 市前往 $B$ 市，途中经过 $C$ 市并停下吃饭，已知上午行了全程的 $\frac{3}{7}$ ，下午行程比上午多 $54$ 千米才到达 $B$ 市，长途客车下午需行多少千米路？

查看答案解析

解：下午行程占全程 $47$ ，比上午多的54千米对应全程的 $47 - 37 = 17$ 。全程为 $54 \div 17 = 378$ ，下午行216千米。

答：全程378千米，下午行216千米。

作业 8独立完成A1-07-023

一个饲养场养了一些白兔和灰兔，其中灰兔有 $120$ 只，白兔比灰兔的 $\frac{5}{6}$ 少 $10$ 只，这个饲养场一共养了多少只兔子？如果灰兔比白兔的 $\frac{5}{6}$ 少 $10$ 只，那么情况又如何？

查看答案解析

⑴ 白兔： 1 2 0 × 5 6 − 1 0 = 9 0 只，此时饲养场共养了 1 2 0 + 9 0 = 2 1 0 只兔子；

⑵ 白兔： $(120 + 10) \div \frac{5}{6} = 156$ 只，此时饲养场共养了 $120 + 156 = 276$ 只兔子．

知识模块 05 · 解题模型

增减变化的逆向还原

处理先减少再恢复、由变化后的量反求原量等逆向百分率与分率问题。

例题 1随堂练习 1作业 0

本模块知识点

逆向还原现量与原量基准量变化互逆分率

解题路径

把原量设为单位1
写出变化后对应的1±分率
用目标量除以变化后分率还原

01

例题教师示范

例题 10教师示范A1-07-005难度 D · 提升

填几分之几：

⑴若小李的体重比原来轻了 $\frac{1}{10}$ ，现在只需增加就能和原来一样重．

⑵冰化成水，体积减少了 $\frac{1}{12}$ ，水结成冰，体积增加了．

查看答案解析

解：

此类题目在期中、期末考中经常出现，这里涉及到一个量率对应的问题，
⑴(新竹园期中试卷)把原体重记为单位 $" 1 "$ ，则一开始是在原体重的基础上减少 $\frac{1}{10}$ ，变为 $\frac{9}{10}$ ；

后来是在现体重的基础上增加回 $" 1 "$ ，故增加了现体重的： $\frac{1}{10} \div \frac{9}{10} = \frac{1}{9}$ ；

⑵（延安中学期末试卷）经典题型，在各校周练中经常出现，如九峰、张江、延安

题目中的体积减少 $\frac{1}{12}$ ，是对于冰来说，减少了冰体积的 $\frac{1}{12}$ ．
而水结成冰增加的体积应该是对于水来说的，虽然同样是那么大的体积，
但是占的比例就不同了，体积增加了 $\frac{1}{12} \div (1 - \frac{1}{12}) = \frac{1}{11}$ ．

答：⑴ 1/9；⑵ 1/11。

02

练习随堂完成

练习 5随堂完成A1-07-026

小虎看一本书，第一天看了 $49$ 页，恰好是全书的 $\frac{5}{8}$ 还多 $4$ 页．问这本书共有多少页？

查看答案解析

解：设全书有 $x$ 页。第一天看的49页比全书的八分之五多4页，所以 $49 = \frac{5 x}{8} + 4 ， \frac{5 x}{8} = 45$ 。于是 $x = (49 - 4) \div 58 = 72$ 。

答：这本书共有72页。

知识模块 06 · 应用模型

剩余量与部分量建模

处理读书、库存和最小整数问题。连续变化题先统一总量；“至少”题还必须把分率产生的整除条件、非负条件和最小性一起证明。

例题 4随堂练习 2作业 3

本模块知识点

前置：单位1与一元一次方程剩余量与部分量多次使用整数整除约束非负与最小性证明

解题路径

设总量为单位1或正整数未知数
逐次写出已用量与剩余量
把每次必须为整数转成整除条件并列出非负约束
求出候选后从小到大排除，最后回代全过程

01

例题教师示范

例题 9教师示范A1-07-006a难度 C · 综合

独立题说明：本卡只保留小林的读书问题；小杰与小王两题分别使用后缀稳定编号。

⑴小林看一本书，第一天看了这本书的 $\frac{1}{5}$ ，第二天看了这本书的 $\frac{4}{9}$ ，这时还有 $32$ 页没有看，这本书有多少页？

查看答案解析

解：把全书页数看作单位1。未读部分占 $1 - 15 - 49 = 1645$ ，所以总页数为 $32 \div 1645 = 90$ 。

答：这本书有90页。

例题 8教师示范A1-07-006b难度 C · 综合

小杰看一本书，第一天读了 $49$ 页，第二天读了全书的 $\frac{1}{8}$ 还多 $2$ 页，这两天读的书恰是这本书的 $\frac{1}{2}$ ，这本书共有多少页？

查看答案解析

解：设全书有x页。第二天读 $\frac{x}{8} + 2$ 页，按题意 $49 + \frac{x}{8} + 2 = \frac{x}{2}$ 。移项得 $\frac{3 x}{8} = 51$ ，所以x等于136。

答：这本书有136页。

例题 7教师示范A1-07-006c难度 C · 综合

小王看一本故事书，第一天看了全书的 $\frac{1}{5}$ 多 $5$ 页，第二天看了全书的 $\frac{1}{8}$ 少 $8$ 页，最后还剩下 $138$ 页，求这本故事书总共有多少页？

查看答案解析

解：设全书有x页。两天后剩余 $x (1 - 15 - 18) - 5 + 8 = 138$ ，即 $\frac{27 x}{40} = 135$ ，所以x等于200。

答：这本故事书有200页。

例题 6教师示范A1-07-007难度 D · 提升

海滩上有一堆核桃．第一天猴子吃掉了这堆核桃的个数的 $\frac{2}{5}$ ，又扔掉 $4$ 个到大海中去，第二天吃掉的核桃数再加上 $3$ 个就是第一天所剩核桃数的 $\frac{5}{8}$ ，那么这堆核桃至少剩下多少个？

查看答案解析

解：设原有x个。第一天后剩 $\frac{3 x}{5} - 4$ 个，第二天吃 $\frac{3 x - 44}{8}$ 个，最后剩 $\frac{9 x + 60}{40}$ 个。由第一天吃掉的数量为整数，x是5的倍数；又由第二天吃掉的数量为非负整数，3x减44是8的非负倍数。从小到大检验x等于5、10、15、20，前三个不满足非负或整除，x等于20首次成立。此时第一天剩8个，第二天吃2个。

答：至少剩6个。

02

练习随堂完成

练习 4随堂完成A1-07-015

新华书店运来一批图书，第一天卖出总数的 $\frac{1}{8}$ 多 $16$ 本，第二天卖出总数的 $\frac{1}{2}$ 少 $8$ 本，还余下 $67$ 本．这批图书一共多少本？

查看答案解析

解：设总数为x。按“第一次取八分之一多16、第二次取二分之一少8、余67”列式： $x - (\frac{x}{8} + 16) - (\frac{x}{2} - 8) = 67$ 。整理得 $\frac{3 x}{8} = 75 ， x = 200$ 。

答：总数是200。

练习 3随堂完成A1-07-021

小虎计划三天看完一本书，第一天看了全书的 $\frac{2}{7}$ ，第二天看了全书的 $\frac{3}{5}$ ，整本书共 $140$ 页．

⑴ 第三天小虎应看完全书的几分之几？

⑵ 第三天小虎应看几页？

⑶ 小虎第二天比第一天多看了几分之几？

查看答案解析

解：⑴ 第三天应看的分率为 $1 - 27 - 35 = 435$ 。⑵ 第三天应看 $140 \times 435 = 16$ 页。⑶ 第一天看 $140 \times 27 = 40$ 页，第二天看 $140 \times 35 = 84$ 页；第二天比第一天多看的分率为 $\frac{84 - 40}{40} = 1110$ 。

答：⑴ $435$ ；⑵ 16页；⑶ $1110$ 。

03

作业独立完成

作业 7独立完成A1-07-016

学校图书室内有一架故事书，借出总数的 $\frac{3}{4}$ ，又放上 $60$ 本，这时架上的书是原来总数的 $\frac{1}{3}$ ．求现在书架上放着多少书？

查看答案解析

解：设原有x本。增加60本后，原来的四分之一变成现在的三分之一，因此 $\frac{x}{4} + 60 = \frac{x}{3}$ ，解得 $x = 720$ 。现在的数量为 $720 \times 13 = 240$ 。

答：原有720本，现在有240本。

作业 6独立完成A1-07-033

小虎看一本书，第一天看了全书的 $\frac{1}{8}$ 再加上 $16$ 页，第二天看了全书的 $\frac{1}{6}$ 少 $2$ 页，第三天看了余下的 $88$ 页，这本书共有多少页？

查看答案解析

根据题意，把这本书的总页数看成“整体 1 ”，如果小虎第一天少看 1 6 页书，则正好是看了全书的 1 8 ，如果第二天多看 2 页，也是正好看了全书的 1 6 ，那么多剩下的书的页数应该是 8 8 − 2 + 1 6 = 1 0 2 页，而如果整体来看，全书剩下 ( 1 − 1 8 − 1 6 ) = 1 7 2 4 部分没有看，则说明 1 0 2 页正好对应的整体部分就是 1 7 2 4 ，所以这本故事书总共有 1 0 2 ÷ 1 7 2 4 = 1 4 4 页．

作业 5独立完成A1-07-034

李大娘把养的鸡分别关在东、西两个院内．已知东院养鸡 $40$ 只；现在把西院养的鸡 $\frac{1}{4}$ 卖给商店， $\frac{1}{3}$ 卖给加工厂，再把剩下的鸡与东院全部的鸡和起来，其数目恰好等于原来东、西两院养鸡总数的 $50 %$ ．原来东、西两院一共养鸡多少只？

查看答案解析

解：设西院原有 $W$ 只鸡。西院卖出原有鸡的四分之一和三分之一后，剩下的分率为 $1 - 14 - 13 = 512$ 。题目给出的等量关系是“东院40只加上西院剩下的鸡，等于原来两院总数的百分之五十”，因此 $40 + \frac{5 W}{12} = 12 (40 + W)$ 。方程两边同乘12，得 $480 + 5 W = 240 + 6 W ， W = 240$ 。原来两院总数为 $40 + 240 = 280$ 只。

答：原来东、西两院一共养鸡280只。

知识模块 07 · 提升模型

动态人数与不变量

人数加入、物品取用或容器变化时，总量或差量保持不变。

例题 2随堂练习 1作业 1

本模块知识点

不变量动态分率人数变化容器重量

解题路径

找保持不变的总量、差量或容器量
分别表示变化前后
建立等量关系

01

例题教师示范

例题 5教师示范A1-07-008难度 C · 综合

某校六年级学生参加大扫除的人数是未参加人数的 $\frac{1}{4}$ ，后来又来了 $2$ 个同学主动要参加，实际参加的人数是未参加的 $\frac{1}{3}$ ，问该年级共有学生多少人？

查看答案解析

原来参加大扫除的人数占总人数的 $\frac{1}{5}$ ，增加两人后

现在参加大扫除的人数占总人数的 $\frac{1}{4}$ ，故新增的两人占总人数的比例为 $\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{20}$

$∴$ 总人数： $2 \div \frac{1}{20} = 40$

例题 4教师示范A1-07-009难度 C · 综合

一瓶可乐饮料，一次喝掉一半后，连瓶共重 $700$ 克，如果喝掉饮料的 $\frac{1}{3}$ 后，连瓶共重 $800$ 克，求瓶子的重量？

查看答案解析

瓶重不变，抓住这个关键．有题中两个条件可知：

瓶重+饮料重 $(1 - \frac{1}{3}) = 800$ 克；瓶重+饮料重 $(1 - \frac{1}{2}) = 700$ 克；

所以饮料重 $(800 - 700) \div [(1 - \frac{1}{3}) - (1 - \frac{1}{2})] = 600$ 克，瓶重 $700 - 600 \times \frac{1}{2} = 400$ 克．

02

练习随堂完成

练习 2随堂完成A1-07-027

有两段布，一段布长 $40$ 米，另一段布长 $30$ 米，把两段布都用去相同的长度后，发现短的一段布剩下的长度是长的剩下部分的 $\frac{3}{5}$ ，每段布用去多少米？

查看答案解析

解：设两段布各用去 $u$ 米。长的一段布剩 $40 - u$ 米，短的一段布剩 $30 - u$ 米。按题意列式并求解： $30 - u = 35 (40 - u) ； 150 - 5 u = 120 - 3 u ； 30 = 2 u ； u = 15$ 。回代后两段布分别剩25米和15米，且短布剩余长度确为长布剩余长度的五分之三。

答：每段布都用去15米。

03

作业独立完成

作业 4独立完成A1-07-030

黄老师和高老师手拉着手排队等公交车，他发现，排在他俩前面的人数是总人数的 $\frac{2}{3}$ ，排在他俩后面的人数是总人数的 $\frac{1}{4}$ ．求总人数是多少？

查看答案解析

解：设公交车队伍共有 $N$ 人。排在两位老师前面和后面的人互不重复，两部分合计占总人数的 $23 + 14 = 1112$ ；余下的十二分之一正好对应黄老师和高老师两人。列式为 $\frac{2 N}{3} + \frac{N}{4} + 2 = N ； \frac{N}{12} = 2 ； N = 24$ 。

答：公交车队伍共有24人。

知识模块 08 · 提升模型

多对象量率分配

处理三人分配、多季度产量和多奖项比例等多个对象的量率关系。

例题 3随堂练习 0作业 2

本模块知识点

多对象分配部分与整体比例链线性关系

解题路径

选择统一标准量
逐个对象用同一单位表示
利用总和或差量确定单位量

01

例题教师示范

例题 3教师示范A1-07-010难度 D · 提升

甲、乙、丙三人加工零件，甲完成全部零件的 $\frac{2}{5}$ ，丙加工的零件是乙加工零件数的 $\frac{5}{7}$ ，且丙比乙少生产 $36$ 个零件，则甲生产了 $______$ 个零件，乙生产了 $_______$ 个零件，丙生产了 $______$ 个零件．

查看答案解析

$144 ； 126 ； 90$ ，将甲、乙、丙三人加工零件总数看作单位“ $1$ ”，则乙丙合起来占了 $\frac{3}{5}$ ，乙丙生产零件的比例是 $1 : \frac{5}{7} = 7 : 5$ ，则乙生产了总零件的 $\frac{3}{5} \times \frac{7}{12} = \frac{7}{20}$ ，丙生产了总零件的 $\frac{3}{5} \times \frac{5}{12} = \frac{1}{4}$ ，所以总零件是： $36 \div (\frac{7}{20} - \frac{1}{4}) = 36 \div \frac{1}{10} = 360$ 个，所以甲生产了 $360 \times \frac{2}{5} = 144$ 个零件，乙生产了 $360 \times \frac{7}{20} = 126$ 个零件，丙生产了 $360 \times \frac{1}{4} = 90$ 个零件

例题 2教师示范A1-07-011难度 D · 提升

某煤矿去年第一季度采煤量等于去年其他季度采煤量的 $\frac{5}{23}$ ，第二季度采煤量等于去年其他季度采煤量的 $\frac{3}{11}$ ，第三季度采煤量等于去年其他季度采煤量的 $\frac{2}{5}$ ，第四季度采煤 $9900$ 吨，该煤矿去年采煤 $_________$ 吨．

查看答案解析

第一季度的采煤量占去年全年采煤量的 $\frac{5}{23} \div (1 + \frac{5}{23}) = \frac{5}{28}$ ，第二季度采煤量占去年全年采煤量的 $\frac{3}{11} \div (1 + \frac{3}{11}) = \frac{3}{14}$ ，第三季度采煤量占去年全年采煤量的 $\frac{2}{5} \div (1 + \frac{2}{5}) = \frac{2}{7}$ ，所以第四季度采煤量占去年全年采煤量的 $1 - \frac{5}{28} - \frac{3}{14} - \frac{2}{7} = \frac{9}{28}$ ，所以去年采煤 $9900 \div \frac{9}{28} = 30800$ 吨．

例题 1教师示范A1-07-012难度 E · 挑战

某次数学竞赛一、二、三等奖.已知：

⑴ 甲、乙两校获一等奖的人数相等；

⑵ 甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的比例是乙校相应比例的 $\frac{5}{6}$ ；

⑶ 甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的 $\frac{1}{5}$ ；

⑷ 甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的 $\frac{1}{2}$ ；
⑸ 甲校获二等奖的人数是乙校二等奖人数的 $4.5$ 倍.
那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的比例是多少？

查看答案解析

解：

甲、乙两校获一等奖的人数相等，而甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的比例是乙校相应的比例的 $\frac{5}{6}$ ，说明甲校的人数是乙校的 $\frac{6}{5}$ .
设乙校的总人数为“ $1$ ”，则甲校的总人数为 $\frac{6}{5}$ ，两校总人数为 $1 + \frac{6}{5} = \frac{11}{5}$ .
甲、乙两校获二等奖的人数总和为 $(\frac{6}{5} + 1) \times \frac{1}{5} = \frac{11}{25}$ .甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的 $4.5$ 倍，所以甲校获二等奖的人数为 $\frac{11}{25} \times \frac{4.5}{4.5 + 1} = \frac{9}{25}$ ，乙校获二等奖的人数为 $\frac{11}{25} - \frac{9}{25} = \frac{2}{25}$ .
甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的 $\frac{1}{2}$ ，所以甲校获三等奖的人数为 $\frac{6}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{5}$
甲校获一等奖的人数为 $\frac{6}{5} - \frac{9}{25} - \frac{3}{5} = \frac{6}{25}$ .乙校获一等奖的人数与甲校相同，也为 $\frac{6}{25}$ ，乙校一等奖占总人数的 $\frac{6}{25} \div 1 = \frac{6}{25}$ .

答：6/25。

02

作业独立完成

作业 3独立完成A1-07-024

某厂共有 $4$ 个车间．第一车间的人数是其余车间总人数的 $\frac{1}{3}$ ，第二车间的人数是其余车间总人数的 $\frac{1}{4}$ ，第三车间的人数是其余车间总人数的 $\frac{1}{5}$ ，第四车间有 $460$ 人．该厂共有人

查看答案解析

第一车间是其余车间总人数的 1 3 ，所以第一车间的人数占该厂总人数的 1 1 + 3 = 1 4 ；第二车间的人数是其余车间总人数的 1 4 ，所以第二车间的人数占该厂总人数 1 1 + 4 = 1 5 ；第三车间的人数是其余车间总人数的 1 5 ，所以第三个车间的人数占该厂总人数的 1 1 + 5 = 1 6 ．又因为该厂共有四个车间，所以第四个车间的人数占该厂总人数的 1 − 1 4 − 1 5 − 1 6 = 2 3 6 0 ．因为第四车间共有460人，所以该厂共有 4 6 0 ÷ ( 1 − 1 4 − 1 5 − 1 6 ) = 1 2 0 0 人．

作业 2独立完成A1-07-032

上海市举办作文竞赛，设一、二、三等奖若干名．竞赛结果，获一、二等奖的占获奖总人数的 $\frac{2}{5}$ ，获二、三等奖的占获奖总人数的 $\frac{9}{10}$ ，获二等奖的人数占总人数的几分之几？

查看答案解析

解：设获奖总人数为单位1。把“一、二等奖”与“二、三等奖”两部分相加，二等奖被计算两次，其余奖项各一次，所以 $\frac{2}{5} + \frac{9}{10} = 1 + r$ 。因此 $r = \frac{3}{10}$ 。

答：获二等奖的人数占总人数的 $\frac{3}{10}$ 。

知识模块 09 · 综合训练

量率对应综合训练

每个分率必须说明所对应的标准量；更换比较基准时先求两量之比，图形题先用同一重叠量建立等式。

例题 0随堂练习 1作业 1

本模块知识点

量率综合比较基准的唯一性图形重叠量分数应用题综合百分比应用

解题路径

圈出每个“占、比、多、少”后的标准量
用同一单位表示相关数量或标出公共重叠量
选择算术法或方程法并完整列式
结论写明单位或比较基准，避免只写孤立数值

01

练习随堂完成

练习 1随堂完成A1-07-025

⑴ 如果 $a$ 除以 $b$ 等于 $7$ 除以 $8$ ，那么 $b$ 就是 $a$ 的 $________$ ．

⑵ 小成生日时订了一个蛋糕，妈妈分给小成 $\frac{1}{3}$ ，再把剩下的 $\frac{3}{5}$ 分给小成爸爸，最后剩下的给妈妈，那么他们三人分得的蛋糕由多到少排列应为 $________$ ．

⑶ $2002$ 年 $12$ 月 $3$ 日，中国上海以大约 $\frac{61}{100}$ 的得票率获得了 $2010$ 年世博会的主办权.已知有 $88$ 个成员国参加了投票，那么中国上海获得了 $_____$ 票．

⑷ 一台机器 $1$ 小时生产农药 $\frac{1}{8}$ 吨， $3$ 台这样的机器 $5$ 小时 $12$ 分钟总共生产农药 $______$ 吨．

查看答案解析

解：⑴ 由 $\frac{a}{b} = 78$ 可得 $\frac{b}{a} = 87$ 。⑵ 小成、爸爸、妈妈分得蛋糕的分率依次为 $13 = 515 ； 23 \times 35 = 25 = 615 ； 23 \times 25 = 415$ ，所以爸爸最多，小成其次，妈妈最少。⑶ 题干给的是大约百分之六十一，按此估算 $88 \times 61 % = 53.68 \approx 54$ ，不能把估算结果表述为精确票数。⑷ 每台机器每小时生产八分之一吨，三台机器工作时间为 $5 + 1260 = 265$ 小时，所以总产量为 $18 \times 3 \times 265 = 3920$ 吨。

答：⑴ $87$ ；⑵ 爸爸、小成、妈妈；⑶ 约54票（按约百分之六十一估算并四舍五入）；⑷ $3920$ 。

02

作业独立完成

作业 1独立完成A1-07-028

⑴ $50$ 千克花生可榨油 $12$ 千克，则每千克花生可榨油 $______$ 千克，榨油 $1$ 千克需要花生 $_______$ 千克.

⑵一条绳子减去 $3$ 米正好是原来的 $\frac{1}{3}$ ，这根绳子长是 $______$ 米

⑶学而思超市有进口水果 $120$ 千克，恰好是国产水果的 $\frac{4}{5}$ ，超市有国产水果 $_______$ 千克.

⑷一根电线第一次用去它的 $\frac{2}{5}$ ，第二次用去它的 $4$ 米，余下的电线和第一次用去的一样长，这根电线原长是 $_______$ 米．

查看答案解析

解：⑴ 约分并取倒数。⑵ 设全长L，由 $L - 3 = \frac{L}{3}$ 得 $L = 92$ 。⑶ 已知部分量求总量，用120除以五分之四。⑷ 设全长L，由 $\frac{3 L}{5} - 4 = \frac{2 L}{5}$ 得L等于20。

答：⑴ $625 ， 256$ ；⑵ $92$ ；⑶ 150；⑷ 20。