完整体系 / 全等三角形 / d-congruence-construction
全等证明、辅助线与综合应用
三角形高难样板课｜从证明目标反推辅助线
核心问题：AD是△ABC的中线。图上没有一条线段等于2AD，怎样证明|AB−AC|<2AD<AB+AC？
TOP-TIER EXPLANATION
一题贯穿：倍长中线为什么不是猜出来的
AD是△ABC中BC边上的中线。证明：|AB−AC|<2AD<AB+AC。
先不要看答案。右方向键依次完成“提问—揭示—进入下一步”，左方向键可以退回。
倍长中线：把半条中线变成整条线段
逐层看见“造出2AD—搬运AB—进入新三角形”的完整因果链。
- 1只看原图：目标中的2AD还不是一条完整边。
先让学生看见：不是不会定理，而是目标量还不能用
教师这样讲：只投原图和题目，不提示“倍长中线”。先给学生一分钟观察，再追问目标中的三个量是否都已经是某个三角形的边。
先问学生：AB、AC、AD都在图上；目标中的哪个量还不是一条可以直接使用的完整线段？
GENERALIZE THE FIRST PRINCIPLE
从母题提炼成可以迁移的通法
辅助线不是给图添线，而是把结论中看不见、暂时用不了的量，变成定理能直接处理的边、角或不变量。
学生版：目标里缺什么，就构造什么；构造后既要接得上已知，也要回得去目标。
目标中有2AD，但原图中只有AD，所以先把2AD变成一条完整线段。
延长AD至E并令DE=AD，就得到AE=2AD。
要使用三角形不等式，还要把AB、AC和AE放进同一个三角形。
中线给出BD=DC，结合AD=DE和对顶角，可用SAS把AB搬成CE。
于是双边界恰好变成△ACE中任意一边都小于另两边之和。
把本质变成可以照做的动作
翻译目标
圈出结论中在原图里看不见或暂时不能使用的量。
造出目标量
用延长、截取、连结或作垂线，把它变成真实的边或角。
接上已知
利用中点、等角、公共边或不变量，让构造进入严格推理。
回扣结论
检查最后得到的关系能否直接代换成原题结论；不能回扣就重选路线。
BEFORE CLASS
先修知识与本讲边界
共同核心是全等判定、性质、对应关系和规范证明；倍长中线、截长、60°旋转和面积不变量属于综合迁移。学生先能独立完成共同核心，再进入校优与四校迁移层；不能背辅助线图谱代替判定依据。
OBSERVABLE OBJECTIVES
学完以后要能做到
- 1给出一组边角条件时，能判断是否足以唯一确定三角形，并用反例否定AAA或SSA。
- 2看到边相等或角相等目标时，能在30秒内圈出候选三角形并写出对应顺序。
- 3能从目标中的2AD反推倍长中线，在△ACE中独立证明|AB−AC|<2AD<AB+AC，并解释每一步为何必要。
- 4能完成角平分线正命题与逆命题的证明，准确使用点到直线距离和HL。
- 5能把同向等边三角形识别为同一中心、同一方向的60°旋转，并说明线段整体映射。
- 6能用面积分割消去动点位置，得到对任意位置都成立的距离不变量。
- 7能按所选支路写出“已有关系—关键依据—关系转移—回扣目标”的完整证明，不跳步、不乱对应。
TEACHING SCRIPT
这一讲怎么教、怎么学
前置检查：三条旧知识够不够用
教师动作：只检查“中线→中点”“SAS三项条件”“三角形任意两边之和大于第三边”，不提前出现辅助线。
学生证据：能把AD是中线翻译为BD=DC，并准确说出对顶角和三角形不等式。必须解决的问题：2AD在哪里
教师动作：投屏原图与双边界，不给任何构造提示，追问目标中哪个量还不是一条边。
学生证据：指出2AD在原图中不可直接使用，并说明三个目标量不在同一个三角形。建立直觉：先造量，再搬运
教师动作：逐层显示“延长AD—取DE=AD—观察△ACE”，在显示全等前让学生预测还缺哪条边。
学生证据：能提出AE=2AD，并预测需要把AB搬成CE。一句话命名本质
教师动作：先请学生复述刚才做了什么，再给出本质句；不要求背技巧名称。
学生证据：能说出“把不可用的2AD变成AE，再让目标进入△ACE”。严格证明：依据—作用—回扣
教师动作：遮住答案，逐项补齐SAS和对应顺序；上界、下界分别由学生完成代换。
学生证据：能完整写出△ADB≌△EDC，并证明双边界而不是只证一侧。反例划界：三种错误构造
教师动作：依次删去DE=AD、中点条件或回扣步骤，让学生标出证明链断点。
学生证据：能把错误定位到造量、判定、搬运或回扣，而不是笼统说“辅助线不对”。引导变式：只证下界
教师动作：保留同一构造，只问如何从△ACE的另两条不等式得到绝对值下界。
学生证据：能分别推出AE>CE−AC和AE>AC−CE，再合并绝对值。独立变式：撤掉图与提示
教师动作：换字母、换图形朝向，只给文字题；教师不再提醒延长哪条线。
学生证据：能自主选择中线延长方向、写全SAS并完成双边界。迁移地图：同一原则的三条支路
教师动作：只比较截长、旋转、面积三种目标翻译，不在本节展开新的完整证明。
学生证据：能判断边差、统一转角、动点距离分别优先进入哪条支路。出口检测：目标—构造—闭环
教师动作：收一张只写三行的出口条，并按具体断点分配同源补练。
学生证据：能独立写出目标量、关键构造和最后回扣；教师得到可执行的错因证据。- 障碍：2AD不是原图中的完整边
- 造量：延长AD至E，令DE=AD，所以AE=2AD
- 接已知：BD=DC，AD=DE，∠ADB=∠EDC
- 搬运：△ADB≌△EDC（SAS），所以CE=AB
- 定理：在△ACE中读取两边之和与两边之差
- 回扣：|AB−AC|<2AD<AB+AC
KNOWLEDGE EXPLANATION
知识精讲
判定的本质：条件能否唯一锁定图形
能判全等，不是因为“条件有三个”，而是因为这些条件只能拼出一种三角形。
SSS用三条边锁定形状；SAS用两边及夹角锁定张口；ASA、AAS用一边和两角锁定尺度与形状；HL是直角三角形的特殊唯一性。
AAA只锁定形状而不锁定大小，SSA中已知角不是两已知边的夹角，定长圆可能与射线出现两个交点。
- AAA可以得到大小不同的相似三角形。
- SSA一般可能产生两个三角形，不能写成全等判定。
目标翻译：先让目标量成为对应元素
想证哪两条边相等，就先找两个分别包含它们、且能按同一顺序对应的三角形。
对应顺序不是全等以后再补写，而是选三角形时就决定。第一顶点对应第一顶点，第二对应第二，第三对应第三。
公共边、对顶角和同角常是隐藏的已有条件；只有进入候选三角形，才真正有用。
- 全等成立但目标边不是对应边，证明仍然没有闭环。
- 把△ABC≌△DFE写成错误顺序，会推出错误的对应关系。
关键断点：辅助线只补真正需要的关系
找出当前证明链的关键断点，优先补能同时接上已知、回到目标的条件。
若已有两边，优先检查夹角能否由角平分线、对顶角或公共角得到；若已有一边两角，检查是否能连出公共边或利用平行线。
作完辅助线必须立刻写出新条件及其来源，例如“延长AD至E，使DE=AD”，否则只是图上多了一条无效线。
- 一题画多条线却没有一条进入判定，说明没有先找缺口。
- 为了凑SSA补一条非夹角，仍不能判全等。
倍长中线：用中心对称搬运边
中线给一组等长，倍长再给一组等长，对顶角补齐SAS。
AD是中线意味着BD=DC；延长AD至E并令DE=AD，使D同时成为BC与AE的中点。
△ADB与△EDC全等后，AB可搬成CE，∠BAD可搬成∠CED；原来分散在三角形两侧的量被放进同一个新三角形。
- E必须在AD经过D的反向射线上，才能产生所需的对顶角。
- 只写“AD是中线”不能直接推出AD=DE，后者来自构造。
截长补短：把代数差变成几何线段
目标有边差，就在长边上截出短边，让“长−短”成为图上的剩余线段。
当AB>AC且目标含AB−AC时，在AB上取AE=AC，立刻得到BE=AB−AC。
若AD是角平分线，AE=AC、AD公共、∠EAD=∠DAC可构成SAS，再把DE搬成DC，连接代数差与三角形不等式。
- 在短边AC上继续截取AB不可行，因为截点会跑到线段外。
- 截出等长却不连结产生候选三角形，等长条件无法进入判定。
旋转与面积：高级辅助线是在找不变量
图形在变时，盯住不会变的长度、角度、面积或点像关系。
同向等边三角形把两组60°和等长统一成绕同一点的旋转；旋转保持长度和角度，并把整条线段映到整条线段。
动点题中位置会变，但总面积不变。选择合适的底，就能把两个变化距离放进同一个恒等式。
- 等边三角形方向相反时，B→C与D→E不一定来自同一个同向60°旋转。
- 面积公式中的高必须垂直于所选底所在直线。
VISUAL MODELS
方法迁移图解：把同一原则带到新题
全等支路决策图
把全等题中的“凭感觉作图”变成“按判定缺口作图”。
- 1圈出要证的边或角。
为什么SSA不能判全等
用一张图看见“条件没有唯一锁定图形”。
- 1固定AC与∠A。
角平分线：正向等距，逆向HL
把“到两边距离”落到两个直角三角形。
- 1连结角顶点A与点P。
见边差作截长
把AB−AC变成真实线段BE，再用全等搬运。
- 1识别目标中出现AB−AC。
同向等边三角形：一次60°旋转
把两组局部等边关系统一成同一个刚体变换。
- 1确认两个等边三角形方向相同。
动点不变量：总面积不随P改变
把两个变化距离放进恒定总面积。
- 1冻结斜边上的任意一点P。
DECISION METHODS
题型识别与解题方法
目标—条件缺口表
什么时候用：题目要求证边角关系，但图中没有现成判定链时。
- 圈目标并选择候选三角形。
- 写点对应表与已有条件。
- 对照有效判定找出当前关键断点。
- 优先作能接上已知并回到目标的最少构造。
最后检查：构造条件进入了判定，且全等后的对应元素正好是原目标。
垂足—直角三角形—HL
什么时候用：角平分线、点到两边距离或等距点的正逆命题。
- 分别作到两边的垂线。
- 锁定含公共斜边的两个直角三角形。
- 正向用角条件，逆向用HL。
最后检查：所谓距离确实是垂线段，HL中的斜边与直角边对应正确。
倍长中线法
什么时候用：中线与边和、边差、2倍中线或角关系同时出现。
- 延长中线至等长点。
- 列中点等长、构造等长和对顶角。
- 用SAS全等搬运边角。
- 在新三角形中计算或用不等式。
最后检查：延长方向经过中点；两个三角形的对应顺序没有颠倒。
见差截长、见和补短
什么时候用：目标含两边的和差，且角平分线或等角能提供夹角。
- 把代数差翻译成剩余线段。
- 在长边上截取一段等于短边。
- 连结截点与关键点。
- 用SAS搬运，再用三角形关系收尾。
最后检查：截点在线段内部，等长方向正确，严格不等式没有被写成等号。
等边三角形60°旋转
什么时候用：同一顶点处出现两个同向等边三角形，目标连接两组外点。
- 确定旋转中心与方向。
- 写出每个点的像。
- 把目标线段看成整体的像。
- 用保长、保角得到关系。
最后检查：两组点像来自同一个方向的60°旋转，而不是两次不同变换。
总面积不变量
什么时候用：点沿边移动，题目询问到两条边的距离和、比或线性关系。
- 冻结任意位置P并分割总面积。
- 选择固定边作底，把变化距离作高。
- 令分块面积和等于总面积。
- 约分得到与位置无关的恒等式。
最后检查：每一个高都垂直于对应底所在直线，分块没有重叠或遗漏。
WORKED EXAMPLES
完整例题：先判断，再计算，再检查
先判条件是否真的够
先想：两条已知边分别夹着∠A和∠D，这是SAS；先由边的对应锁定B↔E、C↔F。
- AB=DE，AC=DF。
- ∠BAC=∠EDF是上述两边的夹角。
- 所以△ABC≌△DEF（SAS），对应为A↔D、B↔E、C↔F。
答案：能全等；SAS；△ABC≌△DEF。
检查：若把∠BAC换成∠ABC，就变成SSA，不能使用SAS。
角平分线上的等距与角度
先想：先用两个直角三角形得到PE=PF；角度用四边形AEPF内角和最直接。
- 因为PE⊥AB、PF⊥AC，所以∠AEP=∠AFP=90°。
- 又∠EAP=∠PAF、AP=AP，所以△AEP≌△AFP（AAS）。
- 对应边PE=PF，所以PF=4。
- 四边形AEPF中，∠EPF=360°−70°−90°−90°=110°。
答案：PF=4，∠EPF=110°。
检查：PE、PF必须是垂线段；若没有垂直，不能称为到两边的距离。
倍长中线搬运边
先想：目标三角形缺CE；倍长中线能把原三角形的AB搬成CE。
- AD是中线，所以BD=DC；构造给出AD=DE。
- ∠ADB=∠EDC为对顶角。
- 所以△ADB≌△EDC（SAS），得到CE=AB=7。
- △ACE周长=AC+CE+AE=9+7+10=26。
答案：26。
检查：CE对应AB，不是AC；由全等式的点顺序核对。
见边差作截长
先想：目标出现AB−AC，就在长边AB上截取AE=AC，使差变成BE。
- 在AB上取E，使AE=AC，连结DE；则BE=AB−AC。
- AE=AC，AD公共，∠EAD=∠CAD，所以△AED≌△ACD（SAS）。
- 由对应边得DE=DC。
- 在△BDE中，BE+DE>BD。
- 代入BE=AB−AC、DE=DC，得AB−AC+DC>BD，即AB−AC>BD−DC。
答案：证明成立。
检查：最后使用的是△BDE的严格三角形不等式，不能把“>”写成“≥”。
双等边结构的一次旋转
先想：绕A按构造方向旋转60°，B映到C、D映到E，因此BD整体映到CE。
- 同一旋转把B→C、D→E，所以BD=CE。
- 作AH⊥BD于H。因为AB=AD，等腰三角形三线合一，所以AH同时平分∠BAD和BD，得到∠BAH=60°、BH=HD。
- 在Rt△ABH中，∠ABH=30°，所以AH=AB/2=2；由勾股定理得BH=2√3。
- BD=2BH=4√3，所以CE=4√3。
答案：CE=4√3。
检查：必须确认两个等边三角形同向；反向构造时点像关系会改变。
动点距离的面积不变量
先想：P的位置在变，但△ABP与△ACP始终拼成固定的△ABC；分别用AB、AC作底。
- S△ABC=S△ABP+S△ACP。
- 因为PE⊥AB、PF⊥AC，所以(1/2)AB·AC=(1/2)AB·PE+(1/2)AC·PF。
- 两边同除以(1/2)AB·AC。
- 得到PE/AC+PF/AB=1。
答案：PE/AC+PF/AB=1。
检查：AB对应的高是PE，AC对应的高是PF，不能交换分母。
一次构造接通双边界
先想：目标含2AD，先把中线延长一倍得到AE=2AD；再把AB搬成CE，使双边界成为△ACE中一条边与另两边的和差关系。
- 延长AD至E，使DE=AD，则AE=2AD。
- BD=DC，AD=DE，∠ADB=∠EDC，所以△ADB≌△EDC（SAS）。
- 由对应边得CE=AB。
- 在△ACE中，AC+CE>AE，代入CE=AB、AE=2AD，得到2AD<AB+AC。
- 又AE+AC>CE且AE+CE>AC，所以AE>CE−AC且AE>AC−CE，即AE>|AC−CE|。
- 代入CE=AB、AE=2AD，得到|AB−AC|<2AD，合并即证。
答案：|AB−AC|<2AD<AB+AC。
检查：CE=AB、AE=2AD均有明确来源；上下界都来自真实三角形△ACE，若图形退化则不能继续使用严格不等号。
DIAGNOSE IN CLASS
先暴露问题，再做针对性训练
课前8分钟诊断
不画多余辅助线。每题写“能/不能 + 一句理由”，教师按错因分组。
两个三角形有三个角分别相等，能否判定全等？为什么？
教师核对：答案与错因
- 三个角只确定形状。
- 把一个三角形按比例放大，三个角不变但边长改变，因此不全等。
答案：不能；AAA只能保证形状相同，不能保证大小相同。 错因码：error-congruence-invalid-criterion
已知两边对应相等。要使用SAS，还必须补什么条件？
教师核对：答案与错因
- SAS中的A是两条已知边所夹的角。
- 非夹角只构成SSA，一般不能判全等。
答案：两组已知边的夹角对应相等。 错因码：error-congruence-invalid-criterion
已知△ADB≌△EDC。若要把CE与AB写成全等式两侧的第一条边，并规定左侧前两个顶点依次为C、E，应怎样重写全等式？
教师核对：答案与错因
- CE的端点C、E必须分别对应B、A。
- 剩余点D对应D，因此顺序为CED↔BAD。
答案：△CED≌△BAD。 错因码：error-congruence-correspondence
当堂撤架练习
三题只改变一个难点：先完成搬运，再证明上界，最后独立完成双边界。每题都写“目标—构造—依据—回扣”。
AD是△ABC的中线，延长AD至E，使DE=AD。证明CE=AB，并逐项写出SAS的三个条件。
查看对应图解：倍长中线：把半条中线变成整条线段 ↑教师核对：答案与错因
- AD是中线，所以BD=DC。
- 构造给出AD=DE。
- ∠ADB=∠EDC是对顶角。
- 由SAS得△ADB≌△EDC，所以CE=AB。
答案：BD=DC，AD=DE，∠ADB=∠EDC，所以△ADB≌△EDC（SAS），故CE=AB。 错因码：error-median-midpoint-unused
AD是△ABC的中线。不照抄母题证明，只证明2AD<AB+AC，并说明最后使用的是哪个三角形。
查看对应图解：倍长中线：把半条中线变成整条线段 ↑教师核对：答案与错因
- 延长AD至E，使DE=AD，所以AE=2AD。
- 由BD=DC、AD=DE、∠ADB=∠EDC，得△ADB≌△EDC（SAS），所以CE=AB。
- 在△ACE中AC+CE>AE，代入即得2AD<AB+AC。
答案：延长AD至E使DE=AD，由SAS得CE=AB；在△ACE中AC+CE>AE，故2AD<AB+AC。 错因码：error-inequality-transfer
只给文字：AD是△ABC的中线。请自行作辅助线并证明|AB−AC|<2AD<AB+AC；证明后说明若D不是中点，哪一步首先失效。
查看对应图解：倍长中线：把半条中线变成整条线段 ↑教师核对：答案与错因
- 延长AD至E，使DE=AD，则AE=2AD。
- BD=DC，AD=DE，∠ADB=∠EDC，所以△ADB≌△EDC（SAS），故CE=AB。
- 在△ACE中，AC+CE>AE，得到2AD<AB+AC。
- 由AE+AC>CE且AE+CE>AC，得到AE>|AC−CE|，即|AB−AC|<2AD。
- 若D不是中点，BD=DC不能成立，SAS链条首先断开。
答案：倍长AD得到AE=2AD，由SAS搬运AB=CE，再在△ACE中使用三角形三边关系；若D不是中点，BD=DC首先失效。 错因码：error-inequality-transfer
TIERED HOMEWORK
分层作业：做到哪一层，由证据决定
分层作业单
基础必会全部完成；校优提高由当堂证据决定；四校迁移只给已稳定掌握共同核心的学生。题号按讲义要求倒序。
已知AB=PQ，AC=PR，∠BAC=∠QPR。写出全等式和判定。
教师核对：答案与评分要点
- A对应P，AB对应PQ，所以B对应Q。
- AC对应PR，所以C对应R。
- 两边及夹角对应相等，使用SAS。
答案：△ABC≌△PQR（SAS）。 错因码：error-congruence-correspondence
∠BAC=52°，P在内角平分线上，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，PE=6。求PF和∠EPF。
查看对应图解：角平分线：正向等距，逆向HL ↑教师核对：答案与评分要点
- 角平分线上的点到两边距离相等，所以PF=PE=6。
- ∠EPF=360°−90°−90°−52°=128°。
答案：PF=6，∠EPF=128°。 错因码：error-distance-not-perpendicular
AD是△ABC的中线，延长AD至E，使DE=AD。若AB=6，AC=11，AE=12，求△ACE周长。
查看对应图解：倍长中线：把半条中线变成整条线段 ↑教师核对：答案与评分要点
- 由△ADB≌△EDC（SAS）得CE=AB=6。
- 周长=AC+CE+AE=11+6+12=29。
答案：29。 错因码：error-median-midpoint-unused
在△ABC中，AD平分∠BAC，D在BC上，AB=16，AC=10，BD=8，DC=5。在AB上取E，使AE=AC，连结DE。先证明△AED≌△ACD，再求BE、DE及(AB−AC)−(BD−DC)。
查看对应图解：见边差作截长 ↑教师核对：答案与评分要点
- AE=AC，AD公共，∠EAD=∠CAD，所以△AED≌△ACD（SAS）。
- BE=AB−AE=16−10=6；由全等得DE=DC=5。
- (AB−AC)−(BD−DC)=6−3=3。
答案：BE=6，DE=5，差为3。 错因码：error-cut-congruence-link
△ABC与△ADE是同向等边三角形，AB=AD=6，∠BAD=90°。求CE。
查看对应图解：同向等边三角形：一次60°旋转 ↑教师核对：答案与评分要点
- 绕A同向旋转60°得BD=CE。
- △ABD中AB=AD=6且夹角90°，所以BD=6√2。
- 故CE=6√2。
答案：6√2。 错因码：error-rotation-orientation
等腰直角△ABC中，∠A=90°，AB=AC=16。P在BC上，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F。若PE=7，求PF。
查看对应图解：动点不变量：总面积不随P改变 ↑教师核对：答案与评分要点
- 面积不变量给PE/AC+PF/AB=1。
- AB=AC=16，所以PE+PF=16。
- PF=16−7=9。
答案：9。 错因码：error-area-base-height
MATHEMATICAL THINKING
这节课真正训练的思想
逆向分析
从结论倒推需要的对应元素与判定缺口，再回到已知选择构造。
转化
用全等、旋转或面积把陌生关系转成已知定理能够处理的形式。
对称
中点、角平分线和旋转中心都在组织成对关系；看见“成对”比记住具体图更重要。
不变量
动点位置和图形外观会改变，但刚体变换的长度角度、整体面积不变。
演绎与表达
每一步都回答“由什么得到什么”，结论必须由已声明的判定与对应关系推出。
ERROR DIAGNOSIS
不是只说“粗心”，而是定位错误模型
把AAA或SSA当全等判定
表现：看到三个条件就写全等，没有检查图形是否唯一。
修复：回到定长圆与射线反例；只允许SSS、SAS、ASA、AAS、HL。
对应顺序混乱
表现：全等式前后顶点不对应，随后搬错边角。
修复：先写点对应表，再写全等式；目标边必须位于同一对应位置。
把任意线段当距离
表现：没有垂直符号就使用“角平分线上的点到两边距离相等”。
修复：补出垂足并写90°；距离是点到直线的垂线段长度。
逆命题只写等距
表现：由PE=PF直接宣布AP是角平分线。
修复：锁定两个直角三角形，用公共斜边AP和直角边PE=PF完成HL。
忘记中线给出的中点等长
表现：写了AD是中线，却没有写BD=DC。
修复：每见“中线”，第一行立即翻译成所在边的两段相等。
倍长点取错方向
表现：E没有取在AD经过D的反向延长线上。
修复：按A—D—E共线的顺序标点，再写DE=AD。
漏掉对顶角
表现：已有两组边相等，却说还缺一个角。
修复：检查两条相交直线；∠ADB与∠EDC是SAS中的夹角。
截点落在错误边上
表现：目标是长边减短边，却在短边上截长边。
修复：先比较大小；长边上截取短边，剩余段才等于边差。
截出等长却没有搬运
表现：写AE=AC后直接跳到DE=DC。
修复：连DE，列AE=AC、AD公共、角平分线给夹角，再用SAS。
全等后不会回到不等式
表现：证明全等后停住，或把三角形不等式写成等号。
修复：在新三角形中写严格边和关系，再代回被搬运的线段。
旋转中心判断错误
表现：看到60°就随意选中心。
修复：中心必须在变换前后到对应点等距；本结构共同顶点A才是中心。
忽略等边构造方向
表现：只看两个60°，没有判断顺时针或逆时针。
修复：在图上画旋转箭头；B→C与D→E必须同向。
只搬点，不搬整条线段
表现：知道B→C、D→E，却不能推出BD与CE关系。
修复：明确写“线段BD在该旋转下整体映成线段CE”。
把有向角写成普通锐角
表现：线段方向旋转60°，却只写两直线夹角一定为60°。
修复：区分有向角与小于等于90°的夹角；先声明从哪条射线转向哪条射线。
只验证一个动点位置
表现：在中点或端点算对，就当作对任意P成立。
修复：冻结任意P，用恒等式证明，不能依赖特殊位置。
面积的底高配错
表现：用AB作底却把PF当高。
修复：AB对应到AB的垂距PE；AC对应到AC的垂距PF。
面积约分后的分母写反
表现：从AB·AC=AB·PE+AC·PF约分时交换分母。
修复：逐项除以AB·AC：AB·PE得到PE/AC，AC·PF得到PF/AB。
MASTERY EVIDENCE
训练与掌握门禁
6个题族各1道本设备未见题；自动题核对最终结果，证明题进入教师量规，不得自动放行。
修复后更换数字、图形方向或表示方式，再做6个题族各1道未见B题；所有证明题需教师确认。
能面对没有标注辅助线的陌生图，在90秒内写出目标、所选证明支路、已有关系、推理断点和必要构造，并完成至少一道跨方法综合证明。
D+1：两道撤架证明 → D+7：与等腰三角形混合 → D+30：与相似或四边形混合 → D+90：四校风格陌生图迁移
证明题教师量规：证明题不使用字符串自动判分。四项通用“必须”项要全部成立；构造、判定、对应三项只在该题型实际使用时启用，并以题库中的逐题量规为准。等价的严谨证明允许通过。
明确要证什么，并选出包含目标量的候选三角形、点像/线段像或不变量。
把中线、角平分线、垂直、等边等语言准确翻成边角关系。
题目需要辅助线时，每条线有明确作法且确实进入后续推理。
使用全等或变换时，所需条件完整，判定或变换依据正确。
涉及全等或变换时，全等式点顺序、对应边角或点像表前后一致。
能把全等、旋转或面积恒等式转回题目需要的数量关系。
关键依据写出，最后一句直接回答原题，不以“显然”跳过核心步骤。
A卷失败记录到具体errorCode，只开放对应补讲和repair题；repair全对只证明错误已修复。B卷或证明量规未通过，不记录即时掌握；题池用尽立即停止。
SOURCE TRACE
来源与尚待闭合的证据
本讲以全等三角形的判定、性质和演绎推理为共同核心；辅助线构造是对共同核心的综合运用，不扩大为未经核实的统一考试范围。
中华人民共和国教育部 · 义务教育数学课程标准（2022年版） ↗用于确认上海课程处于五四学制教材实施与版本过渡背景；本讲具体编排仍需逐册建立章节矩阵。
上海市教育委员会 · 2026年春季上海市中小学教学用书目录 ↗本讲突出目标翻译、条件盘点、转化、不变量和规范证明，不以偏怪技巧替代通性通法。
上海市教育考试院 · 2025年上海市初中学业水平考试数学科目试卷专家点评 ↗