分类标准、分类讨论与不重不漏

先想：先保证它确实是二次方程，再保证有两个不同实根，最后用根与系数关系保证两根都为正。

1. 二次项不退化：m-1≠0。
2. Δ=(-2m)²-4(m-1)(m+2)=4(2-m)>0，所以m<2。
3. 两根和2m/(m-1)>0，得到m<0或m>1。
4. 两根积(m+2)/(m-1)>0，得到m<-2或m>1。
5. 四组条件取交集，得到m<-2或1<m<2。
6. 代回m=-2、1、2：分别出现零根、降次、重根，三个边界都不能取。

答案：m<-2 或 1<m<2。

检查：每一段同时满足二次、Δ>0、两根和为正、两根积为正；边界已逐个代回。

先想：设三个连续整数为n、n+1、n+2，用“包含首末整数、排除相邻整数”反推两个端点。

1. n是最小整数解，所以n-1≤2m-1<n，化为n/2≤m<(n+1)/2。
2. n+2是最大整数解，所以n+2≤m+3<n+3，化为n-1≤m<n。
3. 两区间相交要求整数n只能是1或2。
4. n=1时得到1/2≤m<1；n=2时得到1≤m<3/2。
5. 合并为1/2≤m<3/2。
6. m=1/2时整数解为1、2、3；m=3/2时只剩3、4，因此左闭右开正确。

答案：1/2≤m<3/2。

检查：边界附近各取一个参数直接列整数解，个数与开闭端点一致。

先想：令t=√(x+1)≥0，把根式定义域直接装进新变量，避免平方产生增根。

1. 由x=t²-1，原式等价于a=t²-t-1=(t-1/2)²-5/4，其中t≥0。
2. 抛物线在t=1/2处最小值为-5/4；边界t=0对应a=-1。
3. a<-5/4时无交点；a=-5/4时一个t。
4. -5/4<a≤-1时水平线与t≥0部分有两个交点。
5. a>-1时左侧交点落到t<0，只剩一个有效交点。
6. a=-1时t=0、1，对应x=-1、0，确有两个不同实根。

答案：a<-5/4：0个；a=-5/4：1个；-5/4<a≤-1：2个；a>-1：1个。

检查：所有t都满足t≥0，并由x=t²-1一一还原，没有平方增根。

先想：左边是点x到1与-3的距离之和，两定点间距离4就是最小值。

1. 当-3≤x≤1时，两段距离首尾相接，距离和恒等于4。
2. k<4时小于最小值，无解。
3. k=4时区间[-3,1]内每个x都是解，因此有无数个解。
4. k>4时在区间左、右两侧各有一个解，共两个不同实根。

答案：k<4：0个；k=4：无数个；k>4：2个。

检查：最小值处对应一整段，不可误判为一个解。

先想：配方后分左右两个单调分支；同一个高度必须同时被两个分支命中。

1. f(x)=(x-2)²-1，在[0,2]上从3降到-1，在[2,5]上从-1升到8。
2. a<-1无交点；a=-1只有顶点一个交点。
3. -1<a≤3时左右分支各命中一次，共两个交点。
4. 3<a≤8时只有右分支命中一次；a>8无交点。
5. a=3时交点为x=0、4，可以取；a=-1和a=8都只有一个交点。

答案：-1<a≤3。

检查：没有把定义域外的另一个抛物线交点计算进去。

先想：二次式开口向上；存在x使它不大于0，当且仅当关于x的最小值不大于0。

1. 配方：x²-2ax+a+2=(x-a)²-a²+a+2。
2. 关于x的最小值是-a²+a+2。
3. 存在性条件为-a²+a+2≤0，即(a-2)(a+1)≥0。
4. 得到a≤-1或a≥2。
5. a=-1、2时原式分别化为(x+1)²≤0、(x-2)²≤0，都有一个解，所以两端可取。

答案：a≤-1 或 a≥2。

检查：这里问“存在”，不是“任意x都成立”；边界等号也构成非空解集。

先想：先用三角形不等式得到存在范围，再在a跨过4时切换最长边。

1. 存在性：|4-3|<a<4+3，即1<a<7；区间外不能组成三角形。
2. 1<a≤4时最长边是4，比较4²与3²+a²，临界值a=√7。
3. 4≤a<7时最长边是a，比较a²与3²+4²，临界值a=5。
4. 合并得到钝角：1<a<√7或5<a<7；直角：a=√7或a=5；锐角：√7<a<5。

答案：不能：a≤1或a≥7；钝角：1<a<√7或5<a<7；直角：a=√7或5；锐角：√7<a<5。

检查：所有角型范围都在1<a<7内；a=4虽切换最长边，但前后结论一致，不重复列入。

先想：两个二次式都能因式分解；先列候选根，再看不同候选是否重合。

1. x²-(a+1)x+a=(x-1)(x-a)。
2. x²-(a+3)x+3a=(x-3)(x-a)。
3. 最终不同实根集合为{1,3,a}，a虽然来自两个因式，也只算一个根。
4. 要有三个不同元素，只需a≠1且a≠3。
5. a=1或3时集合都退化为{1,3}，只有两个不同实根。

答案：a∈R 且 a≠1、a≠3。

检查：数的是集合{1,3,a}的不同元素，不是因式给出根的次数。